Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача icon

Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача



НазваниеЕ. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача
Е.Б. Дуэль<><><>В данной статье рассмотрена задача
Дата конвертации24.07.2012
Размер87,98 Kb.
ТипЗадача
скачать >>>

D-робастное управление нестационарным объектом

Е.Б. Дуэль


В данной статье рассмотрена задача робастного управления линейной нестационарной системой в условиях неполной информации о ее параметрах. Поставлены задачи робастной и d-робастной стабилизации объекта и найдены условия существования их решения.


1. Робастное управление нестационарным линейным объектом. Постановка задачи

Пусть управляемый и наблюдаемый линейный нестационарный динамический объект описывается системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений:

(1)

где

На управление наложены ограничения вида

. (2)

Начальное условие принадлежит заранее известному подмножеству

. (3)

Матрицы содержат параметры, подверженные неконтролируемым возмущениям. (Для определенности будем считать, что размерности матриц и - и соответственно.)

Предполагается, что нестационарные матрицы



измеримы по Лебегу на всем конечном интервале управления объектом (1) в множестве и почти всюду на удовлетворяют включению

, (4)

где - заданные матрицы, а символ “co” обозначает выпуклую оболочку.

Выпуклые многогранники в (4) задают структуру параметрической неопределенности в описании системы (1). Ее частным случаем является интервальная неопределенность

(5)

Задача управления объектом (1) заключается в построении такой стратегии , при которой минимизируется функционал

. (6)

Определение 1. Робастным будем считать управление, которое обеспечивает решение поставленной задачи (1)-(6) при начальных условиях из заданного подмножества , любых неизвестных значениях параметрических возмущений из определенной параметрической области и удовлетворяющее наложенным на него ограничениям .

Рассмотрим задачу робастного управления (1)-(6).


2. Робастная стабилизация линейных нестационарных систем

Определение 2. Будем называть систему робастно стабилизируемой, если для нестационарного объекта вида (1) найдется регулятор с постоянными параметрами, который обеспечит асимптотическое движение системы "объект-регулятор" при любых неизвестных значениях параметрических возмущений , из любого к при .

Рассмотрим задачу робастной стабилизации системы (1)-(6).

Управление для объекта (1) будем синтезировать на модели

(7)

с функционалом

, (8)

где задан интервал управления , матрицы и – положительно определены, а положительно определенная матрица является решением уравнения Риккати – Лурье:

. (9)

Оптимальное управление для модели (8) определяется соотношением

, (10)

где матрица , соответствует решению уравнения Риккати



Учитывая (9), положим, что , т.е. для .

Матрицы и назначаются так, чтобы управление (10) обеспечивало бы приемлемое поведение модели на интервале управления и соответствующее этому поведению значение функции качества.

Оптимальное значение функционала будет определяться соотношением

.

Определим множество значений матриц при открытом интервале управления, при которых объект (1) стабилизируем с управлением

, (11)

где матрица является решением уравнения (9). Для этого введем в рассмотрение функцию Ляпунова

. (12)

Тогда



Пусть таковы, что

(13)

т.е. множество значений матриц образуют границу замыкания множества . Тогда для всех , при которых матрица отрицательно определена, система (1), (11) стабилизируема.

Учитывая, что третье слагаемое в (13) принимает минимальное значение при , а первые два слагаемых принимают максимальное значение при , то можно сделать следующее заключение.

Вывод: Система (1) с интервально заданной параметрической неопределенностью и управлением

, (14)

где матрица является решением уравнения (9), робастно стабилизируема, если матрица

(15)

отрицательно определена.

Замечание. Существенно, что должно быть таким, чтобы .

Определение 3. Будем называть систему d-робастно стабилизируемой, если для нестационарного объекта вида (1) найдется регулятор с постоянными параметрами, который обеспечит асимптотическое движение системы "объект-регулятор" при любых неизвестных значениях параметрических возмущений , из любого , при заданных для некоторых компонент вектора состояния системы целевых условиях и заданном интервале управления . Здесь - фиксированные неотрицательные постоянные. Очевидно, что в общем случае время должно зависеть от начального состояния и параметров системы.

Рассмотрим задачу d-робастной стабилизации с заданным интервалом управления и заданной областью возможных терминальных значений состояния системы. Пусть состояние системы на правом конце должно подчиняться условию

. (16)

Пусть , образуют границу замыкания множества , на котором выполняется условие (16), т.е. , где : . Тогда уравнение динамики системы с управлением (11) будет иметь вид

(17)

Запишем решение уравнения (17):

. (18)

Применим к обеим частям уравнения (18) оператор такой, что . В явном виде представляет собой умножение слева на матрицу размерности , у которой на главной диагонали с первой до -й строки стоят единицы, а все остальные элементы – нули.

Тогда (18) примет вид

. (19)

Умножим обе части равенства (19) справа на :

. (20)

Если - вектор из : , то



Учитывая, что , получим

. (21)

Прологарифмировав (21), получим выражение, определяющее границу множества :

. (22)

Пусть , тогда

(23)

Из условия (23) видно, что наихудшими возможными значениями параметрических возмущений являются , .

Вывод: Будем называть систему (1) с интервально заданной параметрической неопределенностью и управлением (11) d-робастно стабилизируемой, если выполняется условие: матрица , где

, (24)

отрицательно полуопределена.

Отметим, что если условие отрицательной полуопреденности матрицы не выполняется, следует, учитывая ограничения, наложенные на управляющие воздействия, назначить другие матрицы и в уравнении (9), решением которого является матрица .

Однако робастное управление (11) требует для своей реализации знания всего состояния объекта, что делает его для многих практических задач нереализуемым. Конструирование нестационарной системы с неполной информацией о состоянии системы рассмотрено ниже.


3. Робастное управление стохастическим нестационарным объектом с неполной информацией о состоянии

Нестационарный объект с неполной информацией о параметрах описывается линейным стохастическим дифференциальным уравнением

(25)

где - матрицы параметров, подвергающихся неконтролируемым возмущениям.

Состояние объекта (25) измеряется на фоне шумов:

. (26)

В (25) и (26):



Предполагается, что нестационарные белые шумы имеют следующие интенсивности:

, . (27)

Задан функционал качества

, (28)

где , , – положительно определенные матрицы соответствующих размерностей, интервал управления  задан.

Задана цель управления:

(29)

где .

Требуется построить регулятор с постоянной матрицей усиления, при котором достигается цель управления (29) и минимизируется функционал (28).

Пусть – наихудшие значения параметров объекта, оценки его начального состояния и интенсивности шумов, при которых достигается цель управления. Таким образом, – граница множества возможных значений ,, .

Определим матрицу как решение уравнения типа Риккати-Лурье

. (30)

Такое назначение весовой матрицы штрафа при первом слагаемом позволяет построить робастный регулятор, т.е. регулятор с постоянными параметрами при заданном интервале управления .

В соответствии с теоремой разделения, задача конструирования системы управления разбивается на две подзадачи:

1. построение наблюдателя с функционалом качества

, где ;

2. построение регулятора с функционалом качества

.

Построим робастный наблюдатель (робастный фильтр Калмана):

(31)

где , (32)

. (33)

Робастный регулятор будет иметь вид:

. (34)

Объединим уравнения, описывающие объект и наблюдатель в уравнение:

, (35)

Введем обозначения:

. (36)

Тогда уравнение (35) при наихудших значениях параметров объекта, оценки его начального состояния и интенсивности шумов примет вид:

(37)

где

, . (38)

Найдем второй момент процесса . Определим:

. (39)

Тогда уравнение для вторых моментов будет иметь вид

(40)

где .

Отметим, что уравнение (40) содержит параметры системы, начальные условия и интенсивности шумов, значения которых находятся на границе возможных возмущающих воздействий. Так как матрица вторых моментов содержит матрицу , то будет выполняться следующее равенство:

. (41)

Запишем решение уравнения (40):

,

откуда

. (42)

Для получения каждого из интересующих нас диагональных элементов матрицы необходимо умножить обе части уравнения (42) слева на и справа на , где . После осуществления этой процедуры получаем

, (43)

где нижний индекс означает –ю строку, а верхний индекс - -й столбец.

Полученное соотношение (43) следует использовать для определения границы множества возможных значений ,, .

Вывод: Таким образом, для того, чтобы объект (25) можно было назвать d-робастно стабилизируемым с управлением (34), необходимо и достаточно, чтобы для всех ,, , но выполнялось условие:

. (44)


Список литературы

  1. Афанасьев В.Н. Аналитическое конструирование детерминированных непрерывных систем управления. Учеб. пособие. – МГИЭМ. М.,2003.–122 с.

  2. Афанасьев В.Н. Алгоритмическое конструирование систем управления с неполной информацией. Учеб. пособие. – МГИЭМ. М., 2004. – 148 с.




Нажми чтобы узнать.

Похожие:

Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача iconОбщая информация о проекте
В данной статье будет рассмотрена разработка одного из ее составляющих – создания “playlist”. Данная система будет расположена и...
Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача iconЗачетная работа по творчеству А. С. Пушкина. 9 класс
«Дуэль состоялась 27 января (8 февраля по новому стилю) 1837 года в нескольких верстах от Петербурга». С кем была дуэль и кто был...
Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача iconКонтрольная работа по дисциплине «Информационные системы в экономике» на тему «Учёт реализации продукции» План поставки задачи
В данной работе будет рассмотрена задача следующего содержания: учёт реализации продукции
Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача iconМ. Ю. Лермонтова (сравнительная характеристика) "Демон" и "Мцыри" М. Ю. Лермонтова (сравнительная характеристика) в настоящей статье ставится задача
В настоящей статье ставится задача сравнительного рассмотрения некоторых тем и образов, получивших отражение в поэмах М. Ю. Лермонтова...
Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача iconКритерии оценивания проектной деятельности учащихся
В данной статье не ставится задача подробного анализа метода проектов на обобщающем уровне. Рассмотрим лишь один его компонент, который,...
Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача iconКритерии оценивания проектной деятельности учащихся
В данной статье не ставится задача подробного анализа метода проектов на обобщающем уровне. Рассмотрим лишь один его компонент, который,...
Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача iconСекреты локального поиска
Перерыть эту кучу вручную задача для терпеливых пользователей, имеющих вагон свободного времени. Тем же, кто это время ценит, лучше...
Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача iconВведение Задача №1 Задача №2 Задача №3 Задача №4 Задача №5 Задача №6 Заключение
Следовательно, объектом экономического анализа являются все направления хозяйственной деятельности предприятия
Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача iconСведения об
В статье рассмотрена характеристика налога как экономико-правовой категории, формирование каналов денежных средств в налогообложении,...
Е. Б. Дуэль в данной статье рассмотрена задача iconСведения об
В статье рассмотрена характеристика налога как экономико-правовой категории, формирование каналов денежных средств в налогообложении,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы