Тема урока по алгебре icon

Тема урока по алгебре



НазваниеТема урока по алгебре
Дата конвертации23.07.2012
Размер137,61 Kb.
ТипУрок
скачать >>>

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №17

Г. КРАСНОДАРА


Тема урока по алгебре:

«Решение логарифмических уравнений».

11 класс



учитель :

МОУ СОШ №17

г. Краснодара

Аблёзгова

Наталия Александровна


Краснодар, 2009г.

План-конспект проведения урока.

Предмет:11 класс.

Тема урока: «Решение логарифмических уравнений».

Форма урока: комбинированный урок

Тип урока: Урок повторного контроля знаний. Обобщение и закрепление пройденного материала.

Цели урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся по 1.Обучающая - вторичное осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению. Закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появление типичных ошибок.


2.Развивающая - развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.


3.Воспитывающая - воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.


ЗАДАЧИ УРОКА:

  • выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.

  • осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений.

  • использовать авторскую презентацию для

  • познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений


Методы и педагогические приемы:

Методы самообучения
Приемы устного опроса.
Приемы письменного контроля.

Коллективная учебная деятельность.

Организация работы в группах.

Повышение интереса к учебному материалу.

Текстовой комментарий- пояснение

Данные слайды и материал мультимедийной разработки можно использовать как непосредственно на уроке алгебры, так и в качестве учебного пособия для домашней работы.

Программы необходимые для запуска проекта:

Microsoft Word, Miсrosoft PowerPoint, Проигрыватель Windows Media

Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы.





Конспект урока:

1. Решение простейших уравнений:

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:


log a x = b, a > 0, a № 1.

log a f(x) = b, a > 0, a № 1.

log f(x) b = c, b > 0.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:


если logb a = c, то a = bc.


Решить уравнение

log2 x = 3.

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 23, x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Ответ: x = 8.

Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a ? 1.


Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе



Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = ab проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

log3(5х – 1) = 2.

Решение:

ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5.
log3(5х– 1) = 2,
log3(5х – 1) = log332,
5х - 1 =9,
х = 2.

Ответ: 2.

Пример. Решить уравнение




Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 – 2х – 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:


Применим правила действий со степенями, получим 2х2 – 2х – 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х2 – 2х – 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.


Ответ. х1 = –1, х2 = 2.

Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.


Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе



Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))c = b или равносильного уравнения



проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример. Решить уравнение

logx–19 = 2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе



Ответ. x = 4.

2.. Потенцирование.


Суть метода заключается в переходе от уравнения

log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно

не равносильно исходному.

Уравнения вида

loga f(x) = loga g(x) , а > 0, а № 1.


На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Переход от уравнения loga f(x) = loga g(x) к уравнению

f(x) = g(x) называется потенцированием.

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0,

а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример. Решить уравнение

log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств



Потенцируя данное уравнение, получаем х2 – 3х – 5 = 7 – 2х,

х2х – 12 = 0, откуда х1 = –3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.

Ответ. х = –3.

Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x)

с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов:


 

  • logb a + logb c = logb (ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b № 1,

  • logb a – logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b № 1,

  • m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0, b № 1; mОR.

  Пример 1. Решить уравнение

log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств



Применяя преобразования, приходим к уравнению

log6 (x – 1) + log6 (5x + 3) = 2,

log6 ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.

Ответ. х = 3.

  Пример 2. Решить уравнение



Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x – 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.



Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма

(х + 3) 2 = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.

Ответ. х = –4.

  Пример 3. Решить уравнение

log2 (6 – x) = 2log6 x.

Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 – x = x2, откуда х = –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.

Ответ. х = 2.

Уравнения вида

 

Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:









 

Пример 1. Решить уравнение



Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим



Так как 3 = log28, то на области определения получим равносильное уравнение (2–x)/(x–1) = 8, откуда x = 10/9.

Ответ. x = 10/9.

  Пример 2. Решить уравнение



Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).



Ответ. х = 6.

  Пример 3. Решить уравнение



Решение. Область определения уравнения x > –1, x № 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).


Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1) № 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)–1)2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и x = 2.


Ответ. x = 2.

3.Введение новой переменной


Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.




Уравнения вида

где a > 0, a № 1, A, В, Сдействительные числа.


 

Пусть t = loga f(x), tОR. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

 

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения – интервал (0; Ґ).Введём новую переменную t = lg x, tОR.

Уравнение примет вид t 2t – 6 = 0. Его корни t1 = –2, t2 = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

х = 10 –2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).

Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение



Решение. Найдём область определения уравнения



Применив формулу логарифма степени, получим уравнение



Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно



Введём новую переменную t = log3 (–x), tОR. Квадратное уравнение

t 2 – 4t + 4 = 0

имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log3 (–x) = 2, отсюда –х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения.

Ответ. х = –9.

 Уравнения вида

где a > 0, a № 1, A, В, Сдействительные числа , A№0, В№0.


  

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на loga f(x) 0. Учитывая, что loga f(x)Ч logf(x) a=1

(свойство logb a = 1/ loga b), получим уравнение



Замена loga f(x)=t, tОR приводит его к квадратному

At2 + Ct + B = 0.

Из уравнений loga f(x)= t1 , logb f(x)= t2 найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения:

f(x) > 0, f(x) №1.

 

Пример. Решить уравнение



Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 № 1, т.е. x >–2, x № –1.

Умножим обе части уравнения на log5 (x+2) №0, получим



или, заменив log5 (x+2) = t, придем к квадратному уравнению

t 2t – 2 = 0, t1 = –1, t2 =2.

Возвращаемся к первоначальной переменной:

log5 (x+2) = –1, x+2 = 1/5, x = –9/5,

log5 (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

Ответ: x = –9/5, x = 23.

в) log2х – 2 logх2 = –1

Решение:

ОДЗ: x > 0, х ? 1

Используя формулу перехода к новому основанию, получим



Обозначим



Ответ:

4. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих частей.


Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению

loga f(x) = loga g(x), который возможен если f(x) >0, g(x) >0, a >0,

a 1, называется логарифмированием.

Методом логарифмирования можно решать :


Уравнения вида

Уравнения вида

Уравнения вида


Область определения уравнения – интервал (0, Ґ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения





Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно

loga x.

 

Пример. Решить уравнение 32log4 x+2=16x2.

Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.



Используя свойства логарифмов, получим







Ответ x = 1/4

Уравнения вида


Область определения уравнения – интервал (0, Ґ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим



Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения



Введем новую переменную t=loga x , tОR. Решив квадратное уравнение At2 + (B–a)t–loga C=0, найдем его корни t1 и t2. Значение x найдем из уравнений t1 = loga x и t2=loga x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.

  Пример 1. Решить уравнение



Решение. Область определения уравнения х > 0. Так как при х > 0 обе части уравнения положительны, а функция y = log3 t монотонна, то



(1 + log3 x) log3 x = 2.

Введём новую переменную t, где t = log3 x, tОR.

(1 + t) t = 2, t 2 + t – 2 = 0, t1 = –2, t2 = 1.

log3 x = –2 или log3 x = 1,

x = 1/9 или х = 3.

Ответ. х = 1/9; х = 3.

 

Пример 2. Решить уравнение



Решение. Область определения уравнения х >1. Обе части уравнения положительны, прологарифмируем их по основанию 2, получим



Применим формулы логарифма степени и логарифма частного:



Введем новую переменную t=log2x, получим квадратное уравнение

t2 - 3t + 2 = 0,

t1 = 2, t2 = 1, тогда log2 x = 2 или log2 x =1.

Ответ. x = 4, x = 2.


Домашнее задание:
















Проверочная работа

В работе предлагаются задания тренировочного и обобщающего характера.

Цели заданий:

проверить знание основных методов решения логарифмических уравнений,
проверить умение определять метод решения уравнения,
проверить умение реализовать выбранный метод.

Работа рассчитана на 40 минут, подготовлена в 8 вариантах.

Работа состоит из 3 частей. Задания первой части (базовой уровень) содержит задания с выбором ответа (А1-А3) . Задания второй части (повышенный уровень) с кратким ответом (В1-В3) . Третья часть – содержит задания с развернутым ответом. (С 1).

Материал по данной теме был усвоен учащимися следующим образом: обученность - 52% , качество 33%. В таблице дан подробный анализ работы:



А1

А2

А3

В1

В2

В3

С1

74%

68%

69%

45%

62%

37%

12%



Во второй строке таблицы указан процент правильно выполненного задания.


Учитывая контингент учащихся данного класса, можно сделать вывод о

том, что в целом учащиеся усвоили материал по данной теме.




Приложение




























































Нажми чтобы узнать.

Похожие:

Тема урока по алгебре iconРазработка урока по информатике и икт тема: «Пространственная дискретизация»
Цель урока: Помочь учащимся освоить технологию построения и редактирования графиков функций по алгебре в программе ms excel с помощью...
Тема урока по алгебре iconУрок по алгебре в 7 классе. Тема: «Галактика формул и уравнений». Цели урока

Тема урока по алгебре iconРазработка урока по информатике и икт тема: «Построение графиков функций с использованием ms excel»
Цель урока: Помочь учащимся освоить технологию построения и редактирования графиков функций по алгебре в программе ms excel с помощью...
Тема урока по алгебре iconКонспект урока по алгебре в 7 классе Тема урока: «Линейная функция. Прямая пропорциональность»
...
Тема урока по алгебре iconУрок по алгебре и началам анализа в 10 классе. Тема: «решение тригонометрических уравнений»
Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов
Тема урока по алгебре iconДокументы
1. /раб. прог. по алгебре 11/ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА по алгебре.doc
2. /раб....

Тема урока по алгебре iconУрок по алгебре в 7 классе по теме «Свойства степени с целым показателем»
Тема нашего урока «Свойства степени с целым показателем». С понятием «степень» и её некоторыми свойствами вы уже познакомились при...
Тема урока по алгебре iconРазработка урока по алгебре и математическому анализу в классе с углубленным изучением математики по теме

Тема урока по алгебре iconКонспект открытого урока литературы класс: 10 Тема урока: «Тема природы в поэзии Ф. И. Тютчева»
Содействовать развитию исследовательских навыков; расширению кругозора обучающихся
Тема урока по алгебре iconПланы семинарских занятий (очная форма обучения, нормативные сроки) тема 3 тема 4 тема 5 тема 6 тема 7 тема 8 тема 9 тема 10 тема 11 тема 12 тема 13 тема 14 тема 15 тема 16 тема 17 тема 18 тема 19 тема 20 тема 21 тема 22 тема 23 тема 24 тема 25 тема 26
Понятие и соотношение предмета и объекта науки. Предмет теории государства и права
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы