Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400. 68 «Прикладная математика и информатика»

Название	Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400. 68 «Прикладная математика и информатика»
Дата конвертации	03.07.2012
Размер	178,16 Kb.
Тип	Программа дисциплины
	скачать >>>

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет бизнес-информатики

отделение прикладной математики и информатики

Программа дисциплины

Компьютерное моделирование

для направления 010400.68 Прикладная математика и информатика подготовки магистра

для магистерской программы "Математическое моделирование"

Специализация «Анализ и принятие решений»

Автор программы: В.А.Гордин доктор физико-математических наук, vagordin@mail.ru

Одобрена на заседании кафедры

высшей математики на факультете экономики «___»____________ 20 г

Зав. кафедрой Ф.Т.Алескеров

Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г

Председатель [Введите И.О. Фамилия]

Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.

Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]

Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов обучающихся по магистерской программе «Математическое моделирование», специализация «Анализ и принятие решений».

Программа разработана в соответствии с:

Образовательным стандартом Государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «национальный исследовательский университет»;
Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.68 «Прикладная математика и информатика», утвержденным в 2011 г.

2Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины компьютерное моделирование являются 1) углубление теоретических знаний по применяемым в различных областях моделям, основанным на дифференциальных уравнениях (обыкновенных и в частных производных); 2) методам аналитического и асимптотического исследования решений краевых задач, задач с начальными условиями, смешанных задач; 3) отработка навыков численного решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями, но не допускающих аналитического решения.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

Знать важнейшие модели, основанные на уравнениях в частных производных;
Уметь исследовать корректность постановки соответствующих начальных, краевых и смешанных задач;
Знать основные асимптотические методы, используемые для оценки моделей;
Уметь разрабатывать алгоритмы численного исследования моделей, связанных с дифференциальными и разностными уравнениями, например, задачу Коши, краевую задачу, смешанную краевую задачу
Иметь навыки написания компьютерных программ для реализации подобных алгоритмов.

Выпускник по направлению подготовки 010400.68 «Прикладная математика и информатика» с квалификацией (степенью) магистр в соответствии с целями основной образовательной программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в пп. 3.2 и 3.6.1 настоящего ОС ГОБУ ВПО ГУ-ВШЭ, должен обладать следующими компетенциями.

Компетенция	Код по ФГОС / НИУ	Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)	Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
Общенаучная	ОНК-1	Способность к анализу и синтезу на основе системного подхода	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-2	Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам, задачам и лежащим в их основе противоречиям	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-3	Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить качество исследований в некоторой предметной области	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-4	Готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при работе в какой-либо предметной области	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-5	Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь их для решения соответствующий аппарат дисциплины	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-6	Способность приобретать новые знания с использованием научной методологии и современных образовательных и информационных технологий	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-7	Способность порождать новые идеи (креативность)	Стандартные (лекционно-семинарские)
Инструментальные	ИК-2	Умение работать на компьютере, навыки использования основных классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления баз данных	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-1	Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-2	способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-3	способность в составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности в соответствии с профилем подготовки, общаться с экспертами в других предметных областях	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-4	способность критически оценивать собственную квалификацию и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-8	способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей, алгоритмических и программных решений	Стандартные (лекционно-семинарские)

3Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина является обязательной и относится к циклу дисциплин направления ДП вариативной части ДП.В, включающему еще 7 дисциплин по выбору «Экономическая теория», «Институциональная экономика», «Прикладная алгебра», «Неклассические логики и представление знаний», «Автоматическая обработка текста», «Современные модели теории игр» и «Дополнительные главы методов оптимизации».

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

Математический анализ;
Высшая и линейная алгебра;
Теорию дифференциальных уравнений.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

научный семинар Математическое моделирование;
Имитационное моделирование.

4Тематический план учебной дисциплины

1 курс магистратуры, 3-4 модули

№	Название темы	Всего	Аудиторные часы		самост. работа
		часов	лекции	семинары	самост. работа
11	Оценка стоимости европейских опционов и уравнение Блэка-Шоулса-Мертона. Сведение к постоянным коэффициентам и преобразование Фурье	20	2	2	16
22	Метод стационарной фазы и интегралы Лапласа	24	4	4	16
33	Асимптотики решения уравнения Блэка-Шоулса-Мертона	20	4	4	12
44	Корректность задачи Коши для уравнений в частных производных. Последствия некорректности задачи.	10	2	2	6
55	Эллиптические, параболические и гиперболические типы уравнений в частных производных. Краевая задача для эллиптических уравнений.	20	2	2	16
66	Корректность смешанных краевых задач	10	2	2	6
77	Разностные схемы для уравнений в частных производных	30	8	8	14
88	Уравнения газовой динамики. Уравнения гидродинамики. Первые интегралы. Уравнения Навье-Стокса	10	2	2	6
99	Методы Галеркина	8	2	2	4
110	Методы обработки информации, входной для дифференциального уравнения	10	2	2	6
	Итого	162	30	30	102

5Содержание дисциплины

Тема I. Оценка стоимости европейских опционов и уравнение Блэка-Шоулса-Мертона. Сведение к постоянным коэффициентам и преобразование Фурье. Стохастические уравнения и дифференциальные уравнения. Опционы. Уравнение БШМ. Начальное условие для уравнения БШМ. Сведение уравнения БШМ к уравнению с постоянными коэффициентами. Преобразование Фурье и функция Грина для задачи Коши для уравнения БШМ.

Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

Black, Fischer; Myron Scholes (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy 81 (3): 637–654
Merton, Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science (The RAND Corporation) 4 (1): 141–183.
Hull J.C. (1997). Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall

Дополнительная литература

http://en.wikipedia.org/wiki/Black-Scholes

Тема II. Метод стационарной фазы и интегралы Лапласа. Интегралы, зависящие от большого или малого параметра. Интегралы от быстро осциллирующих функций. Оценка асимптотики. Высокочастотная и коротковолновая асимптотика в физике. Метод стационарной фазы для одномерных и многомерных интегралов. Классификация стационарных точек. Фейнмановский интеграл и принцип наименьшего действия. Лемма Эрдейи. Лемма Ватсона. Асимптотические оценки при обратном преобразовании Лапласа.

Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

2. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М., ``Наука'', 1987.

3. Г.Дёч. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М., ``Наука'', 1971.

Дополнительная литература

Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., ``Наука'', 1983.

Тема III. Асимптотики решения уравнения Блэка-Шоулса-Мертона. Применение преобразования Лапласа. Применение леммы Ватсона.

Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

2. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М., ``Наука'', 1987.

3. Г.Дёч. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М., ``Наука'', 1971.

Тема IV. Корректность задачи Коши для уравнений в частных производных. Последствия некорректности задачи. Существование, единственность и непрерывная зависимость от входной информации. Пример Адамара. Параболические и гиперболические уравнения и системы. Обратная задача для уравнения теплопроводности. Теорема Тихонова. Уравнения, корректные по Петровскому.

Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

Тема V. Эллиптические, параболические и гиперболические типы уравнений в частных производных. Краевая задача для эллиптических уравнений. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Условия Шапиро-Лопатинского

Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

Дополнительная литература

1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. М., Наука, 1966.

Тема VI. Корректность смешанных краевых задач. Сведение к задаче в полупространстве. Замораживание коэффициентов. Применение интегральных преобразований. Условия Шапиро – Лопатинского корректности смешанной краевой задачи с заданными граничными условиями.

Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

Дополнительная литература

1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. М., Наука, 1966.

Тема VII. Разностные схемы для уравнений в частных производных. Примеры разностных схем для решения задачи Коши. Порядок аппроксимации. Устойчивость разностной схемы. Порядок сходимости. Применение преобразования Фурье для исследования аппроксимации и устойчивости. Теорема Рябенького-Лакса. Схемы высокого порядка аппроксимации. Схемы «по потоку». Схема Годунова. Разностные аппроксимации эллиптических уравнений – примеры. Итерационные способы решения разностных аппроксимаций для эллиптических уравнений.

Основная литература.

1. С.К.Годунов, В.С.Рябенький. Разностные схемы. М., «Наука», 1970.

2. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

3. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.

Дополнительная литература

V.A.Gordin. Mathematical Problems and Methods in Hydrodynamical Weather Forecasting. Gordon & Breach Publ. House, 2000, 842p.

Гордин В.А. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Вычислительные аспекты. Л., Гидрометеоиздат, 1987.

Тема VIII. Уравнения газовой динамики. Уравнения гидродинамики. Первые интегралы. Уравнения Навье-Стокса. Вывод систем уравнений из физических законов. Существование решения задачи Коши. Роль граничных условий. Первые интегралы «исходные» и дополнительные. Применение первых интегралов для получения устойчивых по Ляпунову частных решений.

Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

2. V.A.Gordin. Mathematical Problems and Methods in Hydrodynamical Weather Forecasting. Gordon & Breach Publ. House, 2000, 842p.

3. Гордин В.А. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Аналитические аспекты. Л., Гидрометеоиздат, 1987.

Тема IХ. Методы Галеркина. Примеры применения галеркинских аппроксимаций.

Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

Тема Х. Методы обработки информации, входной для дифференциального уравнения. Интерполяционный многочлен и его модификации. Сплайн-интерполяция. Константа Лебега и ее оценка. Вариационное согласование информации о функции и производной.

Основная литература.

1. В.А.Гордин. Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.

2. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи (несколько тысяч), приведенные в книге В.А.Гордин. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

6Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год		Параметры
Тип контроля	Форма контроля	3	4	Параметры
Текущий (неделя)	Контрольная работа		1	Письменная работа 100 минут
Текущий (неделя)	Домашнее задание		1	4 задачи для аналитического и компьютерного решения. Срок решения 2 недели.
Итоговый	Экзамен		1	Устный экзамен 150 мин.

6.1Критерии оценки знаний, навыков

При текущем контроле студент должен продемонстрировать понимание пройденного материала, владение методами определения решения или качественного исследования соответствующего дифференциального уравнения. В домашнем задании студент также должен продемонстрировать владение численными методами решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями (задача Коши, краевая задача и т. п.).

Это же должен продемонстрировать студент и на итоговом экзамене

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Основное содержание лекции излагается на слайдах, выполненных в Power Point, и дополняется записями на доске. Слайды рассылаются студентам перед очередной лекцией.

Студенты могут задавать вопросы, как во время занятий, так и по электронной почте.

7Образовательные технологии

Стандартные лекционно-семинарские занятия. Ответы на вопросы студентов.

8Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1Тематика заданий текущего контроля

Несколько тысяч задач имеется в тексте книг:

В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.

В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

8.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

1. Является ли корректной задача Коши для уравнения Гельмгольца

?

2. При каких значениях s для этого уравнения корректна краевая задача с граничным условием

?

3. Как изменится ответ, если в уравнении поменять знак перед

?

4. Оценить константу Лебега для интерполяции многочленом по трем точкам.

8.3Примеры заданий промежуточного /итогового контроля

См. пункт 8.1.

9Порядок формирования оценок по дисциплине

На оценки и промежуточного и окончательного контроля влияет владение студентом аппаратом дифференциальных уравнений и предшествующих математических дисциплин (математическим анализом в линейной алгеброй), а также умение решать задачи по материалу курса.

Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - О_{аудиторная}.

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – О_{сам. работа}.

Промежуточный контроль: 1 контрольная работа, учитываемая с весом 0,2. Домашняя работа учитывается с весом 0,2. Ответ на экзамене учитывается с весом 0,6.

О_{итоговая} = 0,2·О_{дом.зад} +0,2·О_контр + 0,6·О_{экзамен .}

Итоговый контроль: зачет (теоретический вопрос и задача, решение которой подразумевает использование компьютера, время зачета неопределенное).

Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:

• 1 ? О ? 3 - неудовлетворительно,

• 4 ? О ? 5 - удовлетворительно,

• 6 ? О ? 7 - хорошо,

• 8 ? O ?10 -отлично.

Способ округления всех оценок – арифметический.

На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.

В диплом выставляет итоговая оценка по учебной дисциплине.

10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник

Указано по разделам выше.

10.2Основная литература

Указана по разделам выше

10.3Дополнительная литература