Теоретические материалы глава введение в анализ icon

Теоретические материалы глава введение в анализ



НазваниеТеоретические материалы глава введение в анализ
страница1/3
Дата конвертации13.12.2012
Размер200,26 Kb.
ТипДокументы
скачать >>>
  1   2   3
1. /Вводная часть.doc
2. /ГЛАВА 1 Введение в анализ.doc
3. /ГЛАВА 2 Предел и непрерывность.docx
4. /ГЛАВА 3 Дифф. исчисление.docx
5. /ГЛАВА 4 Инт. исчисление.doc
6. /ГЛАВА 5. Линейная алгебра и Аналит.геом.(часть 1).docx
7. /ГЛАВА 5. Линейная алгебра и Аналит.геом.(часть 2).docx
8. /ГЛАВА 6. Функции нескольких переменных.doc
9. /ГЛАВА 7. Дифференциальные уравнения.doc
10. /ГЛАВА 8. Числовые ряды.docx
11. /Заключительная часть.doc
А. П. Девятков, А. А. Макаров, Е. Г. Пыткеев, А. Г. Хохлов
Теоретические материалы глава введение в анализ
Предел и непрерывность
Дифференциальное исчисление функций одного переменного
Интегральное исчисление функций одного переменного
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
5 Векторы 5 Основные определения Определение 6
Функции нескольких переменных
Числовые ряды
Тесты для самоконтроля Область определения функция равна а б в г

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Математический анализ не менее всеобъемлющий, чем сама природа; он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет времена, пространства, силы, температуры.

Ж. Фурье

Цели и задачи

  1. Иметь представление о множествах и отображениях, свойствах действительных чисел.

  2. Знать понятие точных граней множеств, основное свойства отрезка (лемму о покрытиях), основные свойства элементарных функций.

  3. Уметь находить точные грани множеств и функций, решать функциональные неравенства, находить области определения и области значений функций.

1.1. Общие сведения о множествах

1.1.1. Множества. Способы задания множеств

Понятие множества считается первоначальным и неопределяемым. Под множеством понимают совокупность определённых и отличных друг от друга объектов, объединенных общим характерным признаком в единое целое. В математике вместо термина «множество» часто говорят «система», «класс», «семейство», «совокупность».

Объекты или предметы, из которых состоит множество, называют элементами множества.

Множества обычно обозначают большими буквами ,,,,, … , а их элементы – малыми ,,,,, … Если элемент принадлежит множеству , то пишут ; если не принадлежит множеству , пишут .

Множество задаётся или перечислением его элементов, или указанием характеристики свойств элементов.

Если множество состоит из элементов ,,,, то пишут .

Если множество задаётся указанием характерного свойства его элементов, это записывается так: (читается « есть множество таких , что выполнено »)

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом .

1.1.2. Включение и равенство множеств

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . При этом множество называется надмножеством множества .

Если – подмножество множества , то пишут (читается «множество является подмножеством множества », « содержится в »).

Принимается, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Если выполнены оба включения и , то множества и состоят из одних и тех же элементов и называются равными, что обозначается символом .

1.1.3. Операции над множествами

Объединением множеств и называется множество , содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или .

Геометрически объединение множеств интерпретируется с помощью диаграмм Эйлера-Венна. На этих диаграммах множества изображаются в виде кругов, треугольников или геометрических фигур произвольной формы. Геометрическая интерпретация объединения множеств и дана на рис. 1.1.

Операция объединения множеств удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам:

;

Очевидно, что и .

Пересечением множеств и называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит обоим множествам одновременно.

Геометрическая интерпретация пересечения множеств дана на рис. 1.2.

Так же, как и операция объединения, операция пересечения подчиняется коммутативному и ассоциативному законам:

;

Очевидно, что и .

Операции объединения и пересечения взаимно подчиняются дистрибутивным законам:

;







Разностью двух множеств и называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат , но не принадлежат .

Геометрическая интерпретация разности двух множеств дана на рис. 1.3.

Часто все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества, которое называют в этом случае универсальным множеством (например, при изучении функций действительной переменной за универсальное множество можно принять множество всех действительных чисел). Обозначим универсальное множество буквой .

Дополнением множества до универсального множества называется множество .

Геометрическая интерпретация дополнения дана на рис. 1.4.

Очевидно, что , , , , .




Операции объединения и пересечения могут быть определены не только для двух множеств, но и для произвольного их семейства.

Объединением семейства множеств называется совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному множеству из данного семейства.

Пересечением семейства множеств называется совокупность элементов, одновременно принадлежащих всем множествам данного семейства.

Введём также операцию декартова произведения двух произвольных множеств и .

Пара элементов , , , называется упорядоченной, если указан порядок записи элементов и . При этом считается, что тогда и только тогда, когда ,.. Элементы упорядоченной пары называются координатами этой пары ( – первая координата, – вторая).

Декартовым произведением двух множеств и называется множество , состоящее из всевозможных упорядоченных пар , , .

Пример 1. ,





Сравнивая и , видим, что в общем случае .

1.1.4. Общее понятие функции. Основные определения

Пусть , – произвольные множества и – закон (правило), по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент . Тогда говорят, что задано отображение множества в множество , или функция с областью определения и областью значений . Отображение множества в обозначают .

Элемент называется образом элемента .

Совокупность образов всех элементов некоторого подмножества называют образом множества и обозначают :



Совокупность всех тех элементов , образы которых лежат в заданном подмножестве называют полным прообразом множества и обозначают :



Пусть и – две функции. Тогда можно образовать новую функцию , определяемую равенством , которая называется сложной функцией или композицией функций и и обозначается также .

Отображение называется разнозначным, или инъекцией, если различным элементам множества соответствуют различные элементы множества , т.е. из условия следует .

Отображение называется отображением на , или сюръекцией если для любого элемента найдется хотя бы один элемент такой, что . Другими словами, образ .

Отображение называется взаимно-однозначным или биекцией, если каждый элемент является образом ровно одного элемента . Другими словами, отображение одновременно является и инъекцией и сюръекцией.

Если отображение есть взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств и , то можно говорить об обратном отображении.

Отображение называют обратным к отображению , если элементу ставится в соответствие тот элемент , образом которого при отображении является .

Таким образом, равенство равносильно равенству .

Если – отображение, обратное к , то – обратное к , поэтому их называют взаимно обратными отображениями.

1.2. Множество вещественных чисел

1.2.1. Аксиома непрерывности

Из школьного курса математики нам известны интуитивные понятия о множестве вещественных чисел , арифметических операций над ними и правилах сравнения.

В дополнение к этим интуитивным представлениям для строгого построения математического анализа нам будет необходима следующая аксиома.

Аксиома полноты (непрерывности). Если – непустые числовые множества, и для всех и , то существует число такое, что для всех чисел , .

Кратко: если , то существует число такое, что .

Геометрическая иллюстрация к этой аксиоме дана на рис. 1.5.



  1   2   3




Нажми чтобы узнать.

Похожие:

Теоретические материалы глава введение в анализ iconВведение 2 Глава Существующие методы построения корпоративных сетей. 9 Глава Планирование и анализ сетевой инфраструктуры. 21 Глава Планирование и анализ конфигурации пользовательских компьютеров.
Виды атак на сеть. Разработка настроек отвечающих за безопасность сети. 40
Теоретические материалы глава введение в анализ iconВведение 2 Глава Существующие методы построения корпоративных сетей. 9 Глава Планирование и анализ сетевой инфраструктуры. 21 Глава Планирование и анализ конфигурации пользовательских компьютеров.
Виды атак на сеть. Разработка настроек отвечающих за безопасность сети. 38
Теоретические материалы глава введение в анализ iconВведение 1 Глава Теоретические основы бюджетных отношений 3 Глава Анализ Федерального бюджета в 2000-2001 годах 12 Заключение 26 Литература: 27 Приложение 1 29 Приложение 2 31 Приложение 3 33
Только после разработки кейнсианской макроэкономической теории была обнаружена неожиданная закономерность: налогово-бюджетная политика...
Теоретические материалы глава введение в анализ iconВведение Глава 1 Теоретические основы управления персоналом 3
Анализ системы управления персоналом предприятия в компании ОАО «Инмарко» 16
Теоретические материалы глава введение в анализ iconАкадемик Н. И. Вавилов Ученицы 11б класса 411 школы Досаевой Екатерины Болонкина Е. В. Петродворец 1999 год. Содержание: Введение Глава I: Становление Глава II: Лысенковщина Глава III: Арест Глава IV: Путешествия Заключение Список литературы Ссылки Приложение Введение: Очень трудно определить границ

Теоретические материалы глава введение в анализ iconДокументи
1. /Анализ денежных средств ООО , введение и 3 глава/3 глава.doc
2. /Анализ...

Теоретические материалы глава введение в анализ iconСодержание Введение 3 Глава Региональный бюджет, его сущность и значение 4 Глава Анализ регионального бюджета 10 Анализ бюджета Московской области 10 Анализ
Российской Федерации как основанную на экономических отношениях и государственном устройстве Российской Фе­дерации, регулируемую...
Теоретические материалы глава введение в анализ iconСодержание. Введение. 2 Глава Что такое недвижимость? 3 Глава Оценка недвижимости. 4 Глава Расчет видов износа. 7 Глава Факторы, негативно влияющие на рынок недвижимости 17 и пути их устранения. Заключение. 19 Список использованной литературы. 20 Введение
Появился слой новых владельцев недвижимости как в сфере личного потребления, так и во многих сферах предпринимательской деятельности....
Теоретические материалы глава введение в анализ iconАнализ конкурентов. Факторы, влияющие на выбор охвата рынка. Шкрюмова Елена Александровна Группы: мту – 99 г. Краснодар 2002г. Содержани введение. Актуальность темы, уели и задачи курсовой работы. Обзор использованной литературы стр12. Глава I. Теория проблемы стр. 73. Глава II

Теоретические материалы глава введение в анализ iconДокументы
1. /САИО/readme.txt
2. /САИО/Курсовая работа/Методические...

Теоретические материалы глава введение в анализ iconПлан Введение I глава: Основные проявления кризиса современной западной культуры. II глава: Основные философские учения Востока. III глава: 9 уроков мудрости Дао. Заключение Введение
Целью данной работы является рассмотрение кризиса западной культуры и путей возможного преодоления некоторых кризисных моментов
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы