Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» icon

Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика»



НазваниеПрограмма дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика»
Дата конвертации21.07.2012
Размер216.75 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
скачать >>>



Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра






1. Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра.

Программа разработана в соответствии с:

  • Рабочим учебным планом университета по направлению 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра, утвержденным в 2011 г.

2. Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра» являются изучение разделов матричной алгебры, решение систем линейных уравнений и векторного анализа, позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Математические модели в экономике». Курс "Линейная алгебра" будет использоваться в теории и приложениях многомерного математического анализа, дифференциальных уравнений, математической экономики, эконометрики. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами факультета Экономики математической компоненты своего профессионального образования.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать теорию решения матричных уравнений, элементы векторного анализа и аналитической геометрии

  • Уметь применить аппарат линейной алгебры в задачах формирования экономических моделей и решении прикладных задач, используемых в курсах «Математические модели в экономике» и «Теория игр».

  • Иметь навыки в решении систем линейных уравнений и построении диагональных квадратичных форм.


В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция

Код по ФГОС/ НИУ

Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)

Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции

  1. Обще профессиональные компетенции




ОК-10

Основательная теоретическая математическая подготовка, а также подготовка по теоретическим, методическим и алгоритмическим основам курса Линейной алгебры, позволяющая выпускникам работать с современной научно-технической литературой, быстро адаптироваться к новым теоретическим и научным достижениям в области экономического моделирования, использовать аппарат Линейной алгебры при решении прикладных и научных экономических задач


Уверенно владеть теоретическим аппаратом, изложенным в курсе Линейной алгебры;

Владеть методам и средствами решения матричных уравнений, систем линейных уравнений;

Иметь представление о функциональных возможностях наиболее распространенных алгоритмов решения прикладных задач Линейной алгебры, а также необходимые умения по их использованию.


2. Профильно-ориентированные

компетенции


ОК-11

Профильно-ориентированные компетенции определяются отдельно для каждого из разделов курса Линейной алгебры.


Умение работать с аппаратом матричной алгебры,

системами линейных уравнений,

основами векторного анализа

3. Рабочие компетенции


ОК-12

Компетенций, которыми должен обладать выпускник университета с позиций работодателя. Такие компетенции определяют степень готовности выпускника выполнять те или иные конкретные практические работы, связанные с использованием изученного аппарата Линейной алгебры.


Умение формировать математическую модель экономической задачи,

Умение применить необходимое программное обеспечение при решении прикладной экономической задачи

4. Владеть методами количественного и качественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования


ПК-55

Использует классические методы решения задач оптимизации.

Применяет симплекс-метод для решения ЗЛП.

Применяет графический метод решения ЗЛП.

Применяет метод потенциалов решения ТЗ.

Изучение теоретического материала.

Решение задач на практических занятиях.

Выполнение всех видов самостоятельной работы.

5. Способен выбрать инструментальные средства для обработки информации в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы

ПК-57

Анализирует результаты расчетов.

Обосновывает полученные выводы.

Изучение теоретического материала.

Решение задач на практических занятиях.

Выполнение всех видов самостоятельной работы.



4. Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно-научных дисциплин и является базовой для всех специализаций направления 080100.62.


Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

  • Математический анализ



Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

  • Макроэкономика;

  • Микроэкономика;

  • стратегический менеджмент.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

  • Методы оптимальных решений

  • Математические модели в экономике

  • Теория игр





5. Тематический план учебной дисциплины


Тематический план учебной дисциплины



1.1Название темы

1.2 Всего часов


Аудиторные часы

1.3 Самостоятельная работа


Лекции

Семинары

1

Преобразования матриц и системы линейных урав­не­ний.

15

3

3

4

2

Определитель.

15

3

3

4

3

Линейные пространства.

17

4

4

4

4

Алгебра матриц.

12

2

2

4

5

Ранг матрицы.

12

2

2

4

6

Структура множества реше­ний системы линейных урав­нений.

14

2

2

4

7

Линейные операторы.

16

3

3

4

8

Линейные, билинейные и квадратичные формы.

12

2

2

3

9

Элементы аналитической геометрии.

18

3

5

4

1

Евклидовы пространства.

12

2

2

4

1

Самосопряженные опера­торы.

10

2

2

4

1

Аффинные пространства.

9

2

2

3



ИТОГО

108

30

32

46



6. Формы контроля знаний студентов





Тип контроля

Форма контроля

Период проведения

Формат работы **

Объем, длительность

Проверяемые компетенции

Текущий

Самостоятельные работы (4)

практические занятия

(1 и 2 мод)

письменный

20минут

ОК-11

Промежуточный

Контрольная работа

2 модуль занятия


письменная

80 минут

ПК-12

Итоговый

Экзамен



2 модуль



Письменный.

Билет 10 заданий

90 мин

ОК-10,ОК-11, ПК-55, ПК-57



7. Содержание дисциплины


Раздел 1. Преобразования матриц и системы линейных уравнений

Количество часов – лекции – 3, семинары – 3, самостоятельная работа - 4

Темы лекций и семинаров

Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Эле­ментар­ные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. При­ведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений со ступен­чатой матрицей системы. Общее ре­шение систем линейных уравнений. Главные и сво­бодные неизвестные. Геометрическая интер­претация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравне­ний.

Литература:

  1. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра. – М.: Изд-тво ВШЭ, 1998 г.

  2. Рейнов Ю.И. Линейная алгебра, Изд.-тво ВШЭ, 2006 г.


Раздел 2 Определитель

Количество часов – лекции – 3, семинары – 3, самостоятельная работа - 4

Темы лекций и семинаров


Определитель и элементарные преобразования. Построение определителя раз­ложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление опре­делителя разложением по строке.

Литература:

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, любое издание.


Раздел 3 Линейные пространства

Количество часов – лекции – 4, семинары – 4, самостоятельная работа - 4

Темы лекций и семинаров

Простейшие следствия аксиом линейного пространства. Подпространство ли­нейного пространства. Простейшие свойства линейно зависимых векторов. Базис и ко­ординаты векторов. Существование базиса конечномерного пространства. Размерность линейного пространства.

Литература:

Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра. – М.: Изд-тво ВШЭ, 1998 г.

Раздел 4 Алгебра матриц

Количество часов – лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа - 4

Темы лекций и семинаров

Сумма матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Матрич­ная за­пись системы уравнений. Свойства арифметических операций над матрицами. Обратная мат­рица и формулы Крамера. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Преобразование координат при замене базиса.

Литература:

Рейнов Ю.И. Линейная алгебра, Изд.-тво ВШЭ, 2006 г.


Раздел 5 Ранг матрицы

Количество часов – лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа - 3

Темы лекций и семинаров

Ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементар­ных пре­образованиях. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц. Определитель произведения матриц.

Литература:

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, любое издание.

.

Раздел 6 Структура множества решений системы линейных уравнений

Количество часов – лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа - 4

Темы лекций и семинаров

Векторная запись системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совмест­ности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Структура множества решений системы линейных урав­нений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных.

Литература:

Рейнов Ю.И. Линейная алгебра, Изд.-тво ВШЭ, 2006 г.


Раздел 7 Линейные операторы

Количество часов – лекции – 3, семинары – 3, самостоятельная работа - 3

Темы лекций и семинаров

Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при за­мене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. О корнях характеристического многочлена линейного оператора. Свойства собствен­ных векторов с одинаковыми и различными собствен­ными значениями.

Литература:

Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра. – М.: Изд-тво ВШЭ, 1998 г.


Раздел 8 Линейные, билинейные и квадратичные формы

Количество часов – лекции – 2 семинары – 2, самостоятельная работа - 3

Темы лекций и семинаров

Формула линейного функционала. Матрица билинейной формы. Матрица сим­метрич­ной билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при за­мене базиса. Един­ственность симметричной билинейной формы, порождающей квадра­тичную форму. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадра­тичных форм.

Литература:

Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра. – М.: Изд-тво ВШЭ, 1998


Раздел 9 Элементы аналитической геометрии

Количество часов – лекции – 5 семинары – 5 самостоятельная работа - 4

Темы лекций и семинаров

Прямоугольная система координат на плоскости. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты век­тора. Сложение век­торов. Умножение вектора на число. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов. Общее уравне­ние прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Па­раметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Общее уравнение плоскости. Условие параллель­ности и пер­пендикулярности плоскостей. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное располо­жение прямой и плоскости, двух прямых.

Литература:

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры – М.: Наука

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука

Раздел 10 Евклидовы пространства

Количество часов – лекции – 2, семинары – 2 самостоятельная работа - 4

Темы лекций и семинаров

Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство тре­угольника. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Незави­симость попарно ор­тогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпро­странство. Построение орто­нормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Матрица скалярного произве­дения в ортонормированном базисе. Ортогональ­ные матрицы. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц.

Литература:

Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра. – М.: Изд-тво ВШЭ, 1998 г.


Раздел 11 Самосопряженные операторы

Количество часов – лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа - 4

Темы лекций и семинаров

Сопряженность операторов в евклидовом пространстве. Матрицы сопряженных опера­торов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операто­ров. Ортонор­мированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Приведение квадра­тичной формы к каноническому виду.


Литература:

Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра. – М.: Изд-тво ВШЭ, 1998 г.

Раздел 12 Аффинные пространства

Количество часов – лекции – 2, семинары – 2, самостоятельная работа - 3

Темы лекций и семинаров

Преобразование координат точки при замене системы координат. Линейные отображе­ния. Линейные операторы, связанные с линейными отображениями. Геомет­рические свойства линейных отображений. Аффинные и изометрические отображения.

Литература:

Рейнов Ю.И. Линейная алгебра, Изд.-тво ВШЭ, 2006 г.

8. Оценочные средства для текущего, промежуточного и итогового контроля студента

8.1 Тематика заданий текущего контроля


Текущий контроль состоит из двух контрольных работ. Примерные виды заданий Контрольных будут следующими

По контрольной №1


1. Решить уравнение А2 – 2(ВТ  С)Т = DTX, где

А=,,,D=

2. Вычислить определитель




По контрольной № 2


1. Найти общее решение системы уравнений, как сумму частного решения и ФСР




2. Найти ортогональное преобразование квадратичной формы, ее каноническую форму и исследовать форму на положительность, отрицательность или знакопеременность.



8.2 Критерии выставления оценки за текущий контроль




Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Выставленный балл определяется умением находить наиболее короткие и оригинальные решения нестандартных задач, правильным использованием известного теоретического материала. Для проверки выполнения домашнего задания и подготовке к практическому занятию проводятся небольшие самостоятельные работы. Каждая самостоятельная работа оценивается в 10 баллов.

8.3 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


Для проверки качества освоенной дисциплины необходимо знать следующие понятия:

Формулировки

  1. Матрица и ее виды – треугольная, диагональная, трапециевидная

  2. Матрица и ее виды - симметричная, кососимметричная, клеточная

  3. Матрица и ее виды - инволютивная, идемпотентная, ортогональная

  4. Определение линейного пространства над полем К.

  5. Транспонированная, обратимая и обратная матрица

  6. Определитель n-го порядка

  7. Свойства определителя (формулировка не менее 6-ти свойств)

  8. Минор элемента и алгебраическое дополнение

  9. Взаимная и обратная матрица

  10. Однородная и неоднородная система линейных уравнений и их решение.

  11. Несовместная, совместная, определенная и неопределенная системы уравнений.

  12. Частное и общее решение системы. Равносильные системы.

  13. Минор k-ого порядка матрицы

  14. Определение ранга матрицы

  15. Определение базисных строк и столбцов матрицы.

  16. Определение элементарных преобразований над строками матрицы

  17. Свойства элементарных преобразований над строками матрицы ( 3 свойства )

  18. Элементарные преобразования системы линейных уравнений ( 3 свойства )

  19. Определение базисных и свободных переменных, фундаментальной совокупности

  20. решений, частного и общего решения неоднородной системы.

  21. Формулировка Теоремы о числе решений

  22. 12)Альтернативы Фредгольма

  23. Собственное число и собственный столбец матрицы

  24. Характеристический многочлен матрицы

  25. Свойства собственных чисел матрицы



Доказательства

  1. Любая матрица представима в виде суммы симметричной и кососимметричной (n=2)

  2. Показать, что если матрица обладает двумя из свойств: симметричная,

  3. ортогональная, иволютивная, то она обладает и третьем свойством.

  4. Доказать, что (А + В)С = АС + ВС и А(ВС) = (АВ)С

  5. Доказать, что (АВ)Т= ВТАТ

  6. Показать, что пространство матриц является линейным пространством

  7. Доказательство одного из свойств определителя (из доказанных на лекции)

  8. Каждая ортонормированная матрица имеет обратную матрицу.

  9. Матрица, обратная к ортогональной матрице, будет ортогональной матрицей.

  10. ААТ =I, AA-1 =I. A-1(A-1)T= I? I = I I = (AA-1)T(AA-1)= (A-1)T AT A A-1= (A-1)T A-1

  11. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

  12. Теорема о взаимной матрице

  13. Доказательство единственности обратной матрицы

  14. Доказательство теоремы Крамера

  15. Доказательство эквивалентности метода обратной матрицы и формул Крамера

  16. Если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система АХ=0 имеет

  17. единственное (тривиальное) решение.

  18. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и

  19. достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

  20. Однородная система n уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и

  21. только тогда, когда определитель этой системы был равен нулю.

  22. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы

  23. число уравнений системы было меньше числа неизвестных.

  24. Теорема о связи собственных чисел и корнях характеристического многочлена

Практические задачи:


  1. Нахождение обратной матрицы (при n = 3)

  2. Нахождение коммутирующей матрицы (при n = 2)

  3. Пример на альтернативы Фредгольма (для систем 2 х 3)

  4. Пример на нахождение ранга матрицы (для квадратных матриц 3 Х 3)

  5. Пример на построение фундаментальной совокупности решений

  6. Пример на нахождение собственных чисел и собственных корней характеристического многочлена



8.4 Примеры заданий промежуточного /итогового контроля




Типовой экзаменационный билет состоит из 3-х теоретических и 2-х практических заданий.

1. Доказать теорему Крамера

2. Дать определение квадратичной формы

3. Сформулировать свойства собственных чисел матрицы

4. Найти оператор, сопряженный с ортогональным

5. В некотором ортонормированном базисе евклидова пространства система элементов представлена столбцами координат

.

Требуется:

  1. найти размерность и базис линейной оболочки ;

  2. указать в линейной оболочке ортонормированный базис и достроить его до ортонормированного базиса евклидова пространства.


8.5. Критерии выставления оценки за промежуточный и итоговый контроль


Оценки за работу по промежуточному и итоговому контролю выставляются по 10-ти балльной шкале. Каждое задание оценивается определенным количеством баллов, заданным в контрольной работе или зачетной работе.

По курсу предусмотрены две контрольные работы, как формы промежуточного контроля (возможно проведение контрольной работы во внеаудиторное время) и контроль текущей работы в течение 3-го модуля.

Для получения положительной оценки студент должен продемонстрировать умение владеть теоретическим материалом при решении практических задач курса. Кроме того, он должен:

- знать основные положения теории

- делать логические выводы по заданным условиям решаемой проблемы

- уметь адаптировать сложные модели к известным простым постановкам.

9. Образовательные технологии


При изучении дисциплины используются классические методы проведения занятий.

9.1 Методические указания студентам


Число часов на самостоятельное изучение дисциплины значительно превышает число часов для аудиторной работы. Успешное освоение курса возможно лишь при тщательном изучении теоретического материала, решением большого количества задач самостоятельно. Часть теоретического материала изучается самостоятельно, задачи курса, в основном, требуют значительного времени для их решения. Использование компьютерной системы MAPLE позволит упростить некоторые вычисления, даст возможность проверить и интерпретировать полученные результаты.

10. Порядок формирования оценок по дисциплине


По курсу предусмотрены две контрольные работы, как формы текущего и промежуточного контролей (возможно проведение контрольной работы во внеаудиторное время) и контроль текущей работы в течение двух модулей. Студенты, не выполнившие контрольные работы и домашнее задание, к экзамену не допускаются, в экзаменационную ведомость проставляется оценка неудовлетворительно.

Для подготовки к практическому занятию регулярно проводятся небольшие самостоятельные работы. Каждая самостоятельная работа оценивается в 10 баллов. В рабочую ведомость преподавателя выставляется среднее арифметическое этих оценок - Осам. работа

Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий = 0,6·Ок/р + 0,4Осам. работа ;


Форма итогового контроля – письменный экзамен, к которому допускаются студенты, выполнившие контрольные работы и домашнее задание. Студенты, посетившие менее 80% аудиторных занятий, выполняют на экзамене дополнительную письменную контрольную работу.

Для получения результирующей оценки в процессе обучения формируется оценка текущего контроля. При этом используются следующие весовые множители:

  • Q1 - оценка за 1-ю контрольную работу – 40% текущей оценки

  • Q2 - оценка за 2-ю контрольную работу – 40% текущей оценки

  • Q3 - оценка контроля текущей работы в течение двух модулей – 20% текущей оценки


Оценка текущего контроля Отекущий получается из суммы

Отекущий = 0.4 Q1 + 0.4 Q2+ 0.2 Q3


Экзаменационная оценка, в свою очередь, складывается из пяти составляющих со следующими весовыми множителями:

  • G1- за легкий теоретический вопрос на знание определений – 20% экзаменационной оценки;

  • G2 -за легкий вопрос по теории – 10% экзаменационной оценки;

  • G3 -за вопрос на доказательство теорем – 40% экзаменационной оценки;

  • G4 - за легкую задачу – 10% экзаменационной оценки;

  • G5 - за трудную задачу – 20% экзаменационной оценки;

Экзаменационная оценка Q4 = 0.2G1 + 0.1G2 + 0.4G3 + 0.1G4 + 0.2G1


Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен = Q4 – оценка за работу непосредственно на экзамене:

Оитоговый = 0,4Оэкзамен + 0,6·Отекущий


Полученный после округления этой величины до целого значения результат и выставляется как результирующая оценка по 10-балльной шкале по учебной дисциплине "Линейная алгебра" в экзаменационную ведомость (оценкам 1, 2, 3 в 10-балльной системе соответствует оценка «неудовлетворительно» в пятибалльной системе, оценкам 4, 5 – «удовлетворительно», оценкам 6, 7 – «хорошо», оценкам 8, 9, 10 – «отлично»).


На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.


11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

    1. Базовые учебники


  1. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра. – М.: Изд-тво ВШЭ, 1998 г.

  2. Рейнов Ю.И. Линейная алгебра, Изд.-тво ВШЭ, 2006 г.



    1. Основная литература


  1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры – М.: Наука, любое издание.

  1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, любое издание.

  2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, любое издание.

  3. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математиче­ского анализа (под редакцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича) – М.: Наука, любое издание после1981.

  4. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Учебное пособие. – М.: Гардарики, 1999.



    1. Дополнительная литература


  1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми све­дениями из алгебры. – М.: Наука, 1968.

  2. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.

  3. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983.

  4. Скорняков Л.А. Элементы линейной алгебры. Учебное пособие. – М.: Наука, 1980.


11.4 Справочники, словари и энциклопедии

Справочники, словари и энциклопедии не используются

11.5 Программные средства


    Компьютерное программное обеспечение отсутствует

11.6 Дистанционная поддержка дисциплины

Дистанционная поддержка дисциплины отсутствует

12. Материально-техническое обеспечение дисциплины


Материально-техническое обеспечение курса отсутствует


Автор программы: к.т.н., доцент Рейнов Ю.И.






Нажми чтобы узнать.

Похожие:

Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов Курс предназначен для студентов...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 «Экономика»...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов Курс предназначен для студентов...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» iconПримерная программа наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей)) 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра
Эконометрика, Математический анализ, Микроэкономика, Макроэкономика, Дифференциальные и разностные уравнения, Дискретные математические...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины «Методы оптимальных решений» для направления 080100. 62 «Экономика» (вторая ступень высшего профессионального образования)
Требования к студентам: Учебная дисциплина «Методы оптимальных решений» использует материал предшествующих ей дисциплин «Математический...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины «Экономика миграций» для направления/ специальности 080100. 62 «Экономика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 080100....
Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра
Требования к студентам: Изучение курса "Дискретные математические модели" не требует предварительных знаний, выходящих за пределы...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Методы оптимальных решений для направления 080100. 62 «Экономика»
Учебная дисциплина “Методы оптимальных решений” (2, 3, 4-й модули учебного плана 2-го курса факультета экономики) опирается на предшествующие...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Методы оптимальных решений для направления 080100. 62 «Экономика»
Учебная дисциплина “Методы оптимальных решений” (2, 3, 4-й модули учебного плана 2-го курса факультета экономики) опирается на предшествующие...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины английский язык для направления 080100. 62 экономика подготовки бакалавра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 экономика....
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы