Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение icon

Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение



НазваниеЗадание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение
Дата конвертации21.07.2012
Размер62.08 Kb.
ТипРешение
источник

Задание №1. Найти производные функций.

а). ; б). ; в). .

Решение.

а).



.

б). .

в). Для нахождения производной, заданной неявным образом функции, используем соответствующую формулу:

.

В нашем случае получим:

;

;

.

Ответ: а). ;

б). ;

в). .

Задание №2. Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме:

1). найти область определения функции;

2). исследовать функцию на непрерывность;

3). определить, является ли данная функция четной, нечетной;

4). найти интервалы монотонности функции и точки её экстремума;

5). найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;

6). найти асимптоты графика функции.

.

Исследование.

1). Функция определена на всей числовой прямой: .

2). Функция непрерывна на всей области определения.

3). , поэтому функция ни четная ни нечетная.

4). Находим точки экстремума и промежутки роста и убывания функции.



;

; – стационарные точки.

, .





-2



2







0

+

0





убывает

0

растет

2

убывает







минимум




максимум




5). Находим точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции.



;

; , , , .

, , .









0











0

+

0



0

+



выпуклая

0,13

вогнутая

1

выпуклая

1,87

вогнутая







перегиб




перегиб




перегиб




6). Находим асимптоты функции.

Вертикальных асимптот не существует.

, поэтому – горизонтальная асимптота.

, поэтому наклонных асимптот не существует.



Задание 3. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Решение.

Введем обозначения:

– сторона квадратного дна;

– высота бассейна;

– площадь стен и дна бассейна;

– объем бассейна.

Запишем выражение площади стен и дна бассейна:

.

Запишем выражение объема бассейна:

.

Тогда, получим:

;

.

Находим первую производную для полученной функции:

.

Приравниваем первую производную к нулю и находим стационарные точки:

;

;

;

;

, .

Полученную экстремальную точку можно считать точкой минимума.

Следовательно, сторона квадратного дна должна быть равной , а высота – .

Ответ: открытый бассейн должен иметь дно со стороной 4 м и высоту 2м.

Задание 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в треугольнике, ограниченном осями и и прямой .

Решение.

Сделаем чертеж треугольника.



Находим стационарные точки внутри треугольника и на линиях, которые его ограничивают.

1). , ;



Следовательно, – стационарная точка, которая принадлежит заданному треугольнику.

2). ;

, , то . Получили стационарную точку .

3). ;

, , то . Получили стационарную точку .

4). ;

, , то . Тогда, . Получили стационарную точку , которая принадлежит замкнутому треугольнику.

Подсчитаем значения функции в точках (стационарные и концы отрезков), обозначенных на рисунке:

;

;

;

.

Сравнивая теперь между собой все вычисленные значения функции, видим, что само большое из них: 5 и самое маленькое: -4.

Ответ: -4 и 5.


Задание 5. Найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием:

а). ; б). ; в). .

Решение.

а).

.

Проверим результат интегрирования дифференцированием:





.

б). .

Разложим дробь на сумму простейших дробей используя общий метод разложения:

;

;

;



Тогда, получим:

.

Проверим результат интегрирования дифференцированием:





.

в).

.

Проверим результат интегрирования дифференцированием:

.

Ответ: а). ;

б). ;

в). .

Задание 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

; .

Решение.

Находим точки пересечения заданны линий:



;

;

;

, , .

Следовательно, и – точки пересечения линий.

Сделаем схематический чертеж:



Для нахождения площади фигуры закрашенной на чертеже, используем соответствующую формулу (Ньютона-Лейбница):



.

Ответ: кв. ед.




Похожие:

Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение iconПермь 2007 Вариант 1 Найти и изобразить на чертеже область определения функций а б Вычислить приближенно. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln
Вычислить значение производной сложной функции u = ex-2y, где, y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой
Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение iconЗадание 1 Найти пределы: Решение

Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение iconСеминар «Метод Гаусса»
Задание Исследовать совместность, найти решение систем линейных алгебраических уравнений
Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение iconЭкзаменационные билеты по математике
По какой формуле считается эмпирическое среднее [pic] в случае, если задана таблица статистического распределения выборки?58) Вычислить...
Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение iconЗадача Проверить полноту системы функций, найти для функций. Представить формулами над и функциональными схемами над функции 0, 1

Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение iconКонтрольная работа №1 Вариант №5 Задание №1 Найти матрицу ав+3Е и ва+3Е, где,, е единичная матрица соответствующего порядка. Решение: Найти матрицу ав+3Е
Из квадратного листа жести, длина стороны которого 54 см, вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивают открытую...
Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение iconКонтрольная работа №2 Вариант №9 Задание №1 Найти неопределенные интегралы: 1 2 Решение: Для нахождения интеграла применяем метод замены переменной
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями
Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение icon1 задание: охарактеризовать, найти примеры, описать свойства, состав, структуру и указать область применения материала Текстолит. 2 задание

Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение iconЗачетка 050762 Контрольная работа №11 Задание № 1
Задание № Найти частные решения уравнения, удовлетворяющие указанным начальным условиям
Задание №1. Найти производные функций а.; б.; в Решение iconЗадача Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для двумерного волнового уравнения на плоскости: u tt = a
Задача Найти решение первой смешанной задачи для одномерного волнового уравнения на отрезке
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы