Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов icon

Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов



НазваниеИзучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов
Дата конвертации26.07.2012
Размер318,54 Kb.
ТипРеферат
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов


Федеральное агентство по образованию Тольяттинский государственный университет Кафедра алгебры и геометрии Курсовая работа по теории и методике обучения математике на тему Изучение функций в курсе математики VII-VIII классов Выполнила: Студентка группы Мз-401 Барейчева Л.В. Научный руководитель: Антонова И.В. К.П.Н., ст.преподаватель Tольятти 2005 г. Содержание|N п/п| |Стр.||1 |Введение |3 ||2 |Определение функции |4 ||3 |Различные подходы к введению понятия функции в школе |8 ||4 |Методика введения понятий: функции, аргумента, области |11 || |определения. | ||5 |Методика изучения прямой и обратной пропорциональной |17 || |зависимости | ||6 |Методика изучения линейной, квадратной и кубической |19 || |функции в VII классе. | ||7 |Методика введения понятия обратной функции, функции |26 || |вида y=?x в VIII классе | ||8 |Заключение |28 ||9 |Список литературы |29 | Введение Данная курсовая работа посвящена изучению функций в курсе математикиVII-VIII классов. В ней даётся исторический экскурс определения понятияфункции, рассматриваются различные подходы к введению понятия функции вшколе. Отдельно рассматриваются общие вопросы методики введения понятий:независимой и зависимой переменной, функциональной зависимости, аргумента,функции, области определения функции. Приводятся примеры. Основная часть курсовой работы направлена на рассмотрение вопросовметодики изучения в VII-VIII классах школьного курса математики функций,образующих классы, которые обладают общностью аналитического способазадания функций, сходными особенностями графиков, областей применения.Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт,специфических для неё, с общим представлением о функции. Особое вниманиеуделено методике изучения линейной, квадратичной и кубической функций и ихграфиков, а также рассматриваются понятия обратной функции и функции видаy=?Їx. Определение функции Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятиефункции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реальногомира. Идея функциональной зависимости восходит к древности, онасодержится уже в первых математически выраженных соотношениях междувеличинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах длянахождения площади и объема тех или иных фигур. Те вавилонские ученые, которые 4(5 тысяч лет назад нашли дляплощади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самымустановили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией отего радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиесявавилонянами, представляют собой задания функции. Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции исистематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало вXVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В“Геометрии” Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функцииносило по существу интуитивный характер и было связано либо сгеометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точеккривых ( функции от абсцисс (х); путь и скорость ( функции от времени (t) итому подобное. Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путьк первому такому определению проложил Декарт, который систематическирассматривал в своей “Геометрии” лишь те кривые, которые можно точнопредставить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических.Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятиеманалитического выражения ( формулы. Слово “функция” (от латинского functio ( совершение, выполнение)Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту илииную функцию). Как термин в нашем смысле выражение “функция от х” сталоупотребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел такжетермины “переменная” и “константа” (постоянная). Для обозначенияпроизвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак ( х, называя (характеристикой функции, а также буквы х или (; Лейбниц употреблял х1, х2вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f : х, f : (x + y)то, что мы ныне обозначаем через f (x), f (x + y). Наряду с ( Эйлерпредлагает пользоваться и буквами (, ( и прочими. Даламбер делает шагвперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие;он пишет, например, ( t, ( (t + s). Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним изучеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математикомИоганном Бернулли: “Функцией переменной величины называют количество,образованное каким угодно способом из этой переменной величины ипостоянных”. Леонард Эйлер во “Введении в анализ бесконечных” (1748) примыкаетк определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его.Определение Л. Эйлера гласит: “Функция переменного количества естьаналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этогоколичества и чисел или постоянных количеств”. Так понимали функцию напротяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видныематематики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этогоопределения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшемуразвитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своихпроизведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее каккривую, начертанную “свободным влечением руки”. В связи с таким взглядом Л.Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь егопостоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возниклабольшая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выраженияпроизвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула)следует считать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный сисследованием колебаний струны. В “Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлердает общее определение функции: “Когда некоторые количества зависят отдругих таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаютсяизменению, то первые называются функциями вторых”. “Это наименование, (продолжает далее Эйлер, ( имеет чрезвычайно широкий характер; оноохватывает все способы, какими одно количество определяется с помощьюдругих”. На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф.Лакруа в своем “Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению”,опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: “Всякое количество,значение которого зависит от одного или многих других количеств, называетсяфункцией этих последних независимо от того, известно или нет, какиеоперации нужно применить, чтобы перейти от них к первому”. Как видно из этих определений, само понятие функции фактическиотождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитииестествознания и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятияфункции. Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли идругих ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией,внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийсяв основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академиюнаук в 1807 и 1811 гг., работах по теории распространения тепла в твердомтеле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различныхучастках различными аналитическими выражениями. Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того,из скольких и каких разнородных частей она составлена, может бытьпредставлена в виде единого аналитического выражения и что имеются такжепрерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем “Курсеалгебраического анализа”, опубликованном в 1821 г., французский математикО. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развитияфизики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такимифункциями, для определения которых очень сложно или даже невозможноограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозитьтребуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции. В 1834 г. в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н. И.Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755г., писал: “Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число,которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значениефункции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, котороеподает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец,зависимость может существовать и оставаться неизвестной... Обширный взглядтеории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобычисла, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе”. Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функциибыла высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкийматематик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятияфункции: “у есть функция переменной х (на отрезке a ( х ( b), если каждомузначению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значениеу, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие (аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами”. Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбымнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, отединовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определениипонятия функции делается на идею соответствия. Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятиефункции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Такимобразом, в полном своем объеме общее определение понятия функцииформулируется следующим образом: если каждому элементу х множества Апоставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, тоговорят, что на множестве А задана функция у = f (х), или что множество Аотображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называютзначениями аргумента, а элементы у множества В ( значениями функции; вовтором случае х ( прообразы, у ( образы. В современном смысле рассматриваютфункции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и незаполняют отрезка a ( x ( b, о котором говорится в определении Дирихле.Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n !, заданную намножестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, нетолько к величинам и числам, но и к другим математическим объектам,например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании(отображении) мы имеем дело с функцией. Общее определение функций по Дирихле сформировалось последлившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике иматематике в XVIII и первой половине XIX в. Дальнейшее развитиематематической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшимклассическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызыватьнекоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критикафизиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда нафункцию. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции сталаособенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги “Основы квантовоймеханики” Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателяквантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, котораявыходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этимсоветский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30(40-хгодах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функцииточки, а “функции области”, что лучше соответствует физической сущностиявлений. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французомЛораном Шварцем. В 1936 г. 28-летний советский математик и механик СергейЛьвович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции,включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению рядазадач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенныхфункций внесли ученики и последователи Л. Шварца ( И. М. Гельфанд, Г. Е.Шилов и другие. Прослеживая исторический путь развития понятия функции невольноприходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно,никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики вцелом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут кновым расширениям понятия функции и других математических понятий.Математика ( незавершенная наука, она развивалась на протяжениитысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем. Различные подходы к определению понятия функции. Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курсаматематики — одно из крупнейших достижений современной методики. Однакореализация этого положения может быть проведена многими различными путями;многообразие путей вызвано фундаментальностью самого понятия функции. Для того чтобы составить представление об этом многообразии,сравним две наиболее резко различающиеся методические трактовки этогопонятия; первую мы назовем генетической, а вторую — логической. Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке иметодическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции до серединыXIX в. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входятв систему функциональных представлений, служат переменная величина,функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая однупеременную через некоторую комбинацию других переменных), декартова системакоординат на плоскости. Генетическое развертывание понятия функции обладает рядом достоинств.В нем подчеркивается «динамический» характер понятия функциональнойзависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительноизучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается состальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций,используемых в нем, выражаются аналитически или таблично. Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которыеследует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенныхограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно(или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовыхзначений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только счисловыми функциями одного числового аргумента (определенными на числовыхпромежутках). В обучении приходится, используя и развивая функциональныепредставления, постоянно выходить за пределы его первоначального описания. Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, чтостроить обучение функциональным представлениям следует на основеметодического анализа понятия функции в рамках понятия алгебраическойсистемы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специальноговида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности.Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятияотношения. Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрироватьпонятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математикипри этом обогащается. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое местозадание функции стрелками, перечислением пар, использование не толькочислового, но и геометрического материала; геометрическое преобразованиепри таком подходе оказывается возможным рассматривать как функцию.Обобщенность возникающего понятия и вытекающие отсюда возможностиустановления разнообразных связей в обучении математике — основныедостоинства такой трактовки. Однако выработанное на этом пути общее понятие оказывается вдальнейшем связанным главным образом с числовыми функциями одного числовогоаргумента, т. е. с той областью, в которой оно гораздо проще формируется нагенетической основе. Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным дляформирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживаетопределенную избыточность. Отметим, что различия в трактовках функциипроявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшемизучении функциональной линии различия постепенно стираются, посколькуизучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а восновном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразныеприложения в задачах естествознания и общественного производства. В современном школьном курсе математики в итоге длительныхметодических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход кпонятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь излогического подхода. Исходя из этого при формировании понятий ипредставлений, методов и приемов в составе функциональной линии системаобучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях,связанных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействия приразвертывании учебного материала. Иными словами, в обучении должна бытьвыделена система компонентов понятия функции и установлена связь междуними. В эту систему входят такие компоненты: - представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и в математике; - представление о функции как о соответствии; - построение и использование графиков функций, исследование функций; - вычисление значений функций, определенных различными способами. В процессе обучения алгебре все указанные компоненты присутствуют прилюбом подходе к понятию функции, но акцент может быть сделан на одном изних. Как только что мы отметили, функциональный компонент является основойвведения и изучения понятия функции. На этой основе при организации работынад определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различныхспособах задания функциональной зависимости и ее графическогопредставления. Рассмотрим теперь взаимодействие компонентов на примере, относящемся кформированию прикладных умений и навыков. Пример 1. С мороза в комнату внесли банку со льдом и стали наблюдатьза изменением температуры вещества в банке: лед постепенно таял, когда онрастаял весь, температура воды стала повышаться, пока не сравнялась стемпературой в комнате. На рисунке изображен график зависимоститемпературы от времени. [pic] Ответьте на вопросы: а) Какова исходная температура льда? б) За какоевремя температура льда повысилась до 0 °С? в) Какая температура в комнате?г) Укажите область, на которой определена функция, промежутки еевозрастания, промежуток, на котором она постоянна. В этом примере необходимо использовать все компоненты, кромепоследнего, вычислительного компонента. Процесс с самого начала представленкак функциональная зависимость. В вопросах требуется уточнить характер этойзависимости (вопрос г)), выяснить соответствующие значения функции иаргумента в определенные моменты процесса (вопросы а) и в)). Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствоватьтакие задания, сразу выступает в курсе математики как определённаяматематическая модель, что и является мотивировкой для его углублённогоизучения. Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения. Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятияфункции, его простейший вариант дается уже в средних классах школы. Этопонятие в дальнейшем играет важную роль, являясь базовым понятием визучении алгебры и начал анализа. Начиная с 7 класса средней школы идетпостепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей.Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейныхфункций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратнойпропорциональности и дробно-линейные функции. В более старших классахвводятся тригонометрические функции, и, наконец, показательные илогарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функцииодной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множествавещественных чисел. В настоящее время, на волне педагогического поиска, сталопоявляться множество экспериментальных учебников для использования в школе.Наряду с добротными, толково написанными учебниками, в школы сталапопадать, под предлогом апробации, масса учебников с довольно вольнойтрактовкой учебного материала, в том числе и глав, касающихся изученияфункций. Часто нарушается логический порядок следования изучаемых разделов,допускаются ошибки при построении графиков, материал необоснованноупрощается, примитивизируется или наоборот, чрезмерно перегружаетсятерминами и символикой. Введение понятия функции — длительный процесс, завершающийсяформированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимнойсвязи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процессведется по трем основным направлениям: - упорядочение имеющихся представлений о функции,развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии(способы задания и общие свойства функций, графическоеистолкование области определения, области значений, возрастания ит. д. на основе метода координат); - глубокое изучение отдельных функций и их классов; - расширение области приложений алгебры за счет включения в нееидеи функции и разветвленной системы действий с функцией. Первое из этих направлений проявляется в курсе школьной алгебры ранееостальных. В реализации этого направления значительное место отводится усвоениюважного представления, входящего в понятие функции,— однозначностисоответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Длярассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы задания функции. Чаще других в математике и ее приложениях применяется задание функцииформулой. Все другие способы играют подчиненную роль. Именно поэтому послепервого знакомства с несколькими такими способами основное внимание вобучении уделяется тем функциям и классам, которые имеют стандартнуюалгебраическую форму их выражения. Однако при введении понятиясопоставление разных способов задания функции выполняет важную роль. Во-первых, оно связано с практической потребностью: и таблицы, и графики, какправило, служат для удобного в определенных обстоятельствах представленияфункции, имеющей аналитическую форму записи. Во-вторых, оно важно дляусвоения всего многообразия аспектов понятия функции. Формула выражаетфункцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений иопераций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функциимогут быть отображены наиболее естественно различными средствами. Использование перевода задания функции из одной формы представления вдругую — необходимый методический прием при введении понятия функции. Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, вкоторых представлены все случаи такого перевода. Если ограничитьсяосновными способами представления функции — формулой, графиком, таблицей,то получится 6 типов упражнений, при которых форма представления меняется,и 3 — при которых она остается такой же. Приведем примеры заданий первоготипа — изменения формы представления: а) Изобразить график функции у = 4х+1 на промежутке [0; 2]. б) Проверить, насколько точна таблица квадратов чисел,взяв несколько значений для аргумента и проведя расчет: x=1,35;2,44; 9,4; 7; 6,25. в) На рисунке изображены точки на координатной плоскости,выражающие результаты наблюдений за атмосферным давлением.Построить график зависимости давления от времени в промежутке12?t?18, соединив эти точки плавной линией. Мы рассмотрим методику работы с этими заданиями только на этапепервоначального ознакомления с понятием функции, на других этапах она можетбыть совершенно иной. На рассмотренном этапе учащиеся еще не знают общеговида графика линейной функции (задание а)). Поэтому график функции у=4х+1они могут построить только по точкам. Учитель может обратить внимание нато, что по точкам нельзя построить целиком график функции, если онаопределена на бесконечном множестве, но заметно, что эти точки лежат напрямой; оказывается, что это замечание верно. Таким образом, можноустановить связи с дальнейшим изучением материала. Способ построенияграфика функции по точкам иллюстрируется заданием в); пользуясь конкретнымсодержанием задания, учитель может отметить, что предлагаемые учащимисяграфики могут отличаться от действительного положения, но что на практикеэтим приемом часто приходится пользоваться (интерполяция). В задании б)можно отметить связь функциональных представлений с числовой системой — спонятиями точного и приближенного числового значения. С их сопоставлениемпостоянно приходится сталкиваться при построении графиков, потому чтонаносить точки на график можно лишь с ограниченной точностью. В настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающимиявляются два основных подхода: индуктивный и дедуктивный. Сложившисьисторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, ипоэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числефункций, в средних классах школ. Вот как, примерно, реализуется индуктивный подход к изучениюпонятия функции в 7 классе: “На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различнымивеличинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, массаметаллического бруска зависит от его объема и плотности металла, объемпрямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты. В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами. Рассмотрим примеры.” Далее следуют примеры призванные наглядно продемонстрироватьтолько что изложенный материал. Пример 2. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пустьсторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2. Для каждого значения переменной a можно найти соответствующеезначение переменной S. Так, если a = 3, то S = 32 = 9; если a = 15, то S = 152 = 225; если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16. Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой S = a2(по смыслу задачи a > 0). Затем дается первое определение зависимой и независимойпеременных: “Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называютнезависимой переменной, а переменную S, значения которой определяютсявыбранными значениями a, ( зависимой переменной”. П р и м е р 3. На рисунке изображен график температуры воздуха втечении суток.[pic]С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 ( t( 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия).Например, если t = 6, то p = (2; если t = 12, то p = 2; если t = 17, то p = 3; Здесь t является независимой переменной, а p ( зависимойпеременной. Пример 4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номеразоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице(буквой n обозначен номер зоны, а буквой m ( соответствующая стоимостьпроезда в рублях):[pic] По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2, ..., 9,можно найти соответствующее значение m. Так, если n = 2, то m = 1.5; если n = 6, то m = 4 ; если n = 9, то m = 8.5; В этом случае n является независимой переменной, а m ( зависимойпеременной.” Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции,объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами,учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадкуотносительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ееподтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причинойявляется то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним извозможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором (графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примерывместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам заданияфункций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способахзадания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал,потому что для них он не будет абсолютно новым ( они уже сталкивались сэтим ранее. Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент изначение функции. “В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменнойсоответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимостьодной переменной от другой называют функциональной зависимостью илифункцией. Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимойпеременной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так,площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденныйавтомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения.Значения зависимой переменной называют значениями функции. Все значения которые принимает независимая переменная, образуютобласть определения функции.” Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функцийв школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя иприменяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и сталипричиной его применения в школе. Для этого подхода характернопервоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть дажемалопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработкавсех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и нетолько их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследитьлогические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивностьмыслительной деятельности, способствует более активному и глубокомузапоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы “Понятие функции” всоответствии с дедуктивным подходом:1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональнымизависимостями.2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждомузначению х соответствует единственное значение у. При этом используютзапись у = f (х).3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, апеременную у ( зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значениемфункции.5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют областьопределения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная,образуют множество значений функции.6. Для функции f приняты обозначения: D ( f ) (область определения функции,E ( f ) ( множество значений функции, f (х0) ( значение функции в точке х0.7. Если D ( f ) ( R и E ( f ) ( R, то функцию называют числовой.8. Элементы множества D ( f ) также называют значениями аргумента, асоответствующие им элементы E ( f ) ( значениями функции.9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана,то считают, что область определения состоит из всех значений независимойпеременной, при которых эта формула имеет смысл.10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равнызначениям аргумента, а ординаты ( соответствующим значениям функции. Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этогоматериала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются всеопределения, прорешиваются примеры ( идет усвоение нового материала. Методика изучения прямой и обратной пропорциональной зависимости Введение понятий прямой и обратной пропорциональной зависимостиявляется важным шагом на пути к введению понятия функциональнойзависимости и в дальнейшем к изучению линейной и обратной функций.Используя на практике индуктивный подход и знания о пропорции, полученныеучениками, преподаватель на нескольких примерах может подвести учеников кпониманию понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости. Например: «Члены пропорции обладают свойством, которое называют основнымсвойством пропорции. Во всякой пропорции произведение крайних членов равнопроизведению средних членов, то есть если a/b=c/d , то a · d = b · c . Это свойство применяется при нахождении неизвестного члена пропорции. Пусть a/x = c/d , то x = a · d/c . Посмотрите, как можно использовать знания математики в русскомязыке!Именительный падеж - кто? что?Родительный падеж - кого? чего?Дательный падеж - кому? X ? [pic]Недостающий вопрос дательного падежа - чему? В окружающем нас мире большое множество пропорций или отношений. Ониделятся на две большие группы: прямо пропорциональные и обратно пропорциональные.Прямо пропорциональные :1. Длина пути, пройденная равномерно движущимся телом, и время, затраченноена этот путь.2. Длина окружности и ее радиус.3. Длина сторон прямоугольника и его периметр (площадь).Обратно пропорциональные :1. Радиус колеса и число совершаемых им оборотов на определенном отрезкепути.2. Скорость движения и время в пути. Пропорциональность - такая зависимость между величинами, при которойувеличение одной из них влечет за собой изменение во столько же раз другойвеличины. Прямая и обратная пропорциональные зависимости выражаются формулами:y = a · x и y = a/x , (x отличен от нуля), где x и y - переменныевеличины, а - коэффициент пропорциональности, который и показывает, восколько раз происходят изменения. а - действительное число отличное отнуля. Эти зависимости можно изобразить графически. » В качестве закрепления понятий прямой и обратной пропорциональнойзависимости преподаватель может дать несколько заданий:1) Определить, является ли прямой пропорциональной, обратнойпропорциональной или не является пропорциональной зависимость междувеличинами: а) путем, пройденным автомашиной с постоянной скоростью, и временемее движения; б) скоростью движения и временем, если длина пути 120 км; в) количеством машин и их грузоподъемностью; г) стоимостью товара, купленной по одной цене, и его количеством; д) объемом прямоугольного параллелепипеда и высотой, если площадьего основания 15 дм2 ; е) числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труданекоторую работу и временем выполнения работы; ж) площадью квадрата и длиной его стороны; з) ростом ребенка и его возрастом.2) Задача на прямо пропорциональную зависимость: Расстояние между городами А и В на карте равно 5,6 см, а на местности 420 км. Какое расстояние между городами С и Д на местности, если на этой же карте расстояние между ними 3,6 см?3) Задача на обратную пропорциональную зависимость: 28 рабочих могут выполнить строительные работы за 17 дней. Сколько нужно рабочих, чтобы выполнит те же работы за 14 дней, если производительность труда останется неизменной? Методика изучения линейной, квадратной и кубической функции в VII классе. Большинство изучаемых в школьной математике функций образует классы,обладающие общностью аналитического способа задания функции из него,сходными особенностями графиков, областей применения. Освоениеиндивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт,специфических для неё, с общим представлением о функции непосредственно,без выделения промежуточных звеньев. Однако длительность периоданезависимого рассмотрения каждой функции незначительна; в курсе алгебрывслед за введением понятия о функции сразу рассматривается первый класс –линейные функции. Для функций, входящих в класс, изучение происходит поболее сложной схеме, поскольку в нём выделяются новые аспекты: изучениеданной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере«типичной» функции этого класса. Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций —линейные функции, которые мы рассмотрим с точки зрения изучения характерныхдля этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры. Первоначальное представление о линейной функции выделяется израссмотрения задачи, обычно связанной с равномерным прямолинейнымдвижением, а также при построении графика некоторой линейной функции.Рассмотрим второй из этих источников. Основная мысль, которую мы попытаемсяобосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно взятойлинейной функции не может привести к формированию представлений об основныхсвойствах графиков всех линейных функций. Для этого рассмотрим два наиболее широко распространенных в началеизучения темы приема построения графиков линейной функции. Первый способ. Использование «загущения» точек на графике.Предполагается следующая последовательность действий по этому приему: а) нанесение нескольких точек; б) наблюдение — все построенные точки расположены на одной прямой;проведение этой прямой; в) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем понему значение функции; наносим точку на координатную плоскость — онапринадлежит построенной прямой. Отсюда делается вывод о графике даннойлинейной функции. Этот способ безусловно может привести к пониманию того, что график илюбой линейной функции — прямая, т. е. к выделению некоторого общегосвойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение приематребует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз.Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе изолированныхпримеров. Второй способ. По двум точкам. Этот способ уже предполагает знаниесоответствующего свойства графиков линейных функций. Выявления новыхсвойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе,сосредоточивается на конкретной функции из класса. Заметим, что в обучениипроисходит последовательная смена этих способов: когда общее свойствографиков усвоено (при рассмотрении первого способа), начинают применятьвторой — он экономнее и обоснован геометрически, поскольку через две точкипроходит одна и только одна прямая. Для того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общихсвойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу:исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установитьгеометрический смысл параметров. Эта задача возникает сразу же вслед завведением понятия функции. Наиболее естественный прием, который может бытьприменен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которыходин из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшаясистема, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с ихпоследующим анализом и установлением связей между ними. Пример 5. Постройте графики функций: у=0,5x; y=0,5x+0,5; y=1,5x; у=1,5x+0,5. Основная часть работы начинается после построения графиков. Их нужносравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости отчисловых значений коэффициентов. Опишем, например, методику выяснениягеометрического смысла коэффициентов при переменной. [pic] Следует обратить внимание на то, что графики (а) и (б) образуют с осьюабсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков (в) и (г). Крометого, графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и(г). С другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле для первой ивторой функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты утретьей и четвертой функций. Можно после этого сформулировать вывод озависимости рассмотренного угла от коэффициента, ввести термин «угловойкоэффициент» и привести несколько закрепляющих упражнений. Значительные трудности представляет случай отрицательных значенийуглового коэффициента; для него требуется отдельная работа, построеннаяаналогичным образом. Приведём пример закрепляющего упражнения: на одном и том же чертежеизображены графики функций у =3x+2; у=3/4x+2. Построить на этом же чертеже графики функций у = 3х—1; у = 3/4х — 1; объяснить построение. Если параметры, определяющие класс функций, имеют ясный геометрическийсмысл, то описанный прием изучения дает достаточно полное представление обэтом классе. Однако в школьном курсе алгебры рассматриваются и такиеклассы, при изучении которых оказывается необходимым использовать и другиеприемы. Например, к изучению класса квадратичных функций привлекается прием,основанный на преобразовании выражения, задающего функцию, к виду а (х —b)2 + с, использовании геометрических преобразований для построения графикапроизвольной квадратичной функции из параболы стандартного положения —графика функции у=ах2, а?0. Остановимся на этом классе функций подробнее. Квадратичная функциявводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями инеравенствами. Первой из этого класса функций, в значительной степени еще внеизучения собственного класса, рассматривается функция у=х2. Свойства этойфункции во многом отличаются от рассмотренного ранее случая линейныхфункций. Прежде всего, эта функция немонотонна; только на этом этапе уучащихся появляется пример функции, отличной от линейных, которые монотоннына всей области определения. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, полезнопредложить учащимся следующее задание: функция задана формулой у=х2 напромежутке -2?х?3. Найти множество значений этой функции. Перенося свойствомонотонности с класса линейных функций на функцию у=х2, учащиеся частоделают ошибку, приводя ответ: промежуток 4?x?9. Эта ошибка для своегоустранения требует рассмотрения графика функции у=х2. Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функцииу=х2 неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других —медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причемцелесообразно рассмотреть два графика: один — в крупном масштабе напромежутке,. -1?x?1, другой—в мелком масштабе на промежутке, например,-3?х?3. Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важноотметить свойство параболы - симметричность относительно оси абсцисс; вдальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций,причем именно функция у = х2 будет ведущим примером функции этого класса. Наиболее существенное применение, эта функция имеет при рассмотрениипонятия иррационального числа. Первый пример иррационального числа (-?2)может быть введен различными способами, но независимо от этого необходимообъяснить его связь с графическим методом решения уравнения х2=2. Изучение класса квадратичных функций начинается с изучения функцийвида у=ах2; при этом выясняется геометрический смысл коэффициента а. Далеевводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах2+с. И здесь такжекоэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти ккоторой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль осиординат, либо независимым рассуждением. Пример 6. Задан график функции у=х2. Построить на этом чертеже графикфункции у=х2+1. Заметим, что при заданном значении аргумента хо (рассматриваются,конечно, конкретные значения) значения функции у=х2+1 на одно и то жечисло, равное 1, больше значений функции у=х2. Поэтому для построениясоответствующей точки на графике второй функции достаточно поднять на 1точку графика первой функции с абсциссой Хо. Следовательно, чтобы построитьвесь график второй функции, нужно поднять на 1 график первой. Это рассуждение хорошо усваивается учащимися, целесообразно применитьего и при изучении класса линейных функций. В дальнейшем при обобщениисвойств графиков его можно сформулировать так: «Чтобы построить графикфункции у=f(x)+с по известному графику функции у=f(х), можно произвестипараллельный перенос второго графика на с единиц вдоль оси ординат». После этой подготовки, казалось бы, можно приступить к изучениюграфиков произвольных квадратичных функций. Но здесь возникает трудность:коэффициент при первой степени неизвестного не имеет для квадратичнойфункции у=ах2+bх+с достаточно простого геометрического смысла. Именнопоэтому приходится идти обходным путем, следуя тем же преобразованиям,которые производились при выводе формулы решения квадратного уравнения, ивводить в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида у=а(х-b)2.Объяснения при построении графиков здесь в целом могут быть такими же, какпри рассмотрении функций вида у=x2+с, однако усваивается предлагаемыйспособ здесь с большим трудом, поэтому требуется достаточное количествоупражнений для закрепления. После таких приготовлений построение графика, атакже изучение его свойств происходят без принципиальных затруднений. Отметим здесь один частный, но полезный прием, который состоит виспользовании системы заданий, имеющих цель — дать представление о тех илииных чертах данной функции или целого класса без указания точного значениявеличин, связанных с рассматриваемым вопросом. Этот прием можно назватькачественным или оценочным исследованием функции. Приведем два примера,связанные с изучением квадратичных функций. Пример 7. На рисунке изображены графики функций у=х2 и у= —0,5х2.Как относительна них пройдет график функции y=0,5х2; -2х2; Зх2? Это заданиене предполагает «точного» построения искомого графика; достаточно лишьуказание на область, где он расположен, или его эскизное построение. Пример 8. На рисунке изображен график функции у=х2+1, —2<х<2.Пользуясь этим чертежом, изобразить от руки график функции у=х2+ 0,3.Проверить правильность сделанного эскиза: вычислить значения функции у = х2при х=±0,5; ±1,5 и отметить точки графика. Каким преобразованием можноперевести график функции у=х2-1 в график функции у=х2? [pic] Цель задания — согласовать зрительный образ графика, егогеометрические свойства и формулу. График функции у = x2 + 0,3 симметриченотносительно оси ординат, значит, рисунок не должен быть скошенным. Егосимметричность подчеркивается симметричным расположением «пробных» значенийаргумента. Положение точек на чертеже должно выправить распространеннуюнеточность в изображении графиков квадратичных функций: нарисованные отруки ветви параболы, как правило, расположены гораздо шире, чем должныбыть. Поэтому пробные точки (их ординаты вычисляются по условию, а неищутся по чертежу) попадают в полосу между изображенными линиями. То, чтографики сближаются по мере удаления от начала координат, требует пояснений,которые можно сделать при обсуждении. К изучению класса кубических функций привлекается прием, аналогичныйизучению квадратичных функций, основанный на использовании геометрическихпреобразований для построения графика произвольной кубической функции изкубической параболы стандартного положения — графика функции у=ахі, а?0. Как и в случае с квадратичной функцией у=хІ видим , что характеризменения значений функции у=хі неравномерный: на одних участках она растетбыстрее, на других — медленнее. Эта особенность выявляется при построенииграфика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один — в крупноммасштабе на промежутке,. -1?x?1, другой—в мелком масштабе на промежутке,например, -2?х?2. Построение можно вести описанным выше методом загущения.Важно отметить свойство кубической параболы - симметричность её графикаотносительно начала координат. [pic] Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах3+с. И здесьтакже коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти ккоторой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль осиординат, либо независимым рассуждением. Пример 9. Задан график функции у=хі. Построить на этом чертеже графикфункции у=хі-2. Здесь также можно поступить по аналогии с рассмотренными примерами прирассмотрении квадратичной функции. Далее необходимо подвести учащихся к основным свойствам функции y=x3: 1. Область определения - вся числовая прямая; 2. y=x3 -нечетная функция; 3. Функция возрастает на всей числовой прямой. Методика введения понятия обратной функции и функции вида y=?Їх в VIII классе Понятие обратной функции не имеет аналогов, поэтому приходитсявводить их посредством явного определения. Роль обратной функции велика.Использование обратной функции необходимо для введения большого количестваклассов основных элементарных функций: корня k-й степени, логарифмической ,обратных тригонометрических функций. При изучении обратной функциивыясняется зависимость ее монотонности от монотонности исходной функции –это необходимо для того, чтобы обосновать существование обратной функции иподробно рассматривать взаимное расположение графиков данной и обратнойфункций. Преподаватель может подвести учащихся к понятию обратной функции,поставив новую для учащихся познавательную задачу. На основе усвоенногоучениками важного представления, входящего в понятие функции,—однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значенияфункции провести следующее рассуждение: «Каждому допустимому значению переменной x равенство y=f(x) ставит всоответствие вполне определенное значение переменной величины y. Однако внекоторых случаях соотношение y=f(x) можно рассматривать и как такоеравенство, которое каждому допустимому значению переменной величины yставит в соответствие вполне определённое значение переменной величины x.»Далее следует пояснение данного сопоставления на примере. Пример 10. Равенство y=2x-1 каждому значению y ставит в соответствииследующее значение x: x=(y+1)/2. например при у=1 х=1; при у=2 х=1,5; приу=3 х=2 и так далее. Поэтому можно сказать что равенство y=2x-1 определяетх как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эта функциязаписывается таким образом: : x=(y+1)/2. «Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, азависимую переменную буквой у, то получим формулы: y=f(x), и х=?(у) во второй формуле у выступает в качествеаргумента, а х – в роли функции. Переписав в привычном виде мы получиму=?(х). Определенная таким образом функция у=?(х) называется обратной поотношению к функции y=f(x). Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежуткеХ и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существуетобратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает)на Y. Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функцииy=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрииотносительно прямой y=x.» Методика введения понятия функции вида y=?Їх основана на нааналогичном примере: Пример 11. Пусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь ScмІ. Каждому, значению стороны квадрата а соответствует единственноезначение его площади S. Зависимость площади квадрата от его сторонывыражается формулой S=aІ, где a>0. Наоборот, для каждого значения площадиквадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороныа. Зависимость стороны квадрата от eго площади выражается формулой a=?ЇSФормулами S=aІ, где a>0, a=?ЇS задаются функциональные зависимости междуодними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменнойявляется сторона квадрата a, а во втором — площадь S.Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, азависимую переменную буквой у, то получим формулы:у=хІ , где х>0, и у=?Їх. Построим график известной учащимся функции у=хІ и предложить имсоставить таблицу значений функции у=?Їх. Х |0 |0,5 |1 |2 |3 |4 |5 |6 | |У |0 |0,7 |1 |1,4 |1,7 |2 |2,2 |2,4 | | По точкам таблицы построить график функции у=?Їх и затем предложитьсформулировать некоторые свойства функции. Подвести учащихся к понятию симметричности графиков относительнопрямой у=х. Для закрепления темы найти по графику значения аргумента по функциии наоборот. Пример 12. Пользуясь графиком найдите: а) значение ?Їх при х=0,5; 5,5; 8,4; б) значение х, которому соответствует ?Їх =1,2; 1,7; 2,5. Заключение Рассмотренные выше подходы к изучению функций в школе не охватываютвсе многообразие способов и методов изучения этого понятия. Они лишьявляются основными, наиболее разработанными подходами к вопросу об изучениифункций в школе, ориентируясь на которые можно разрабатывать новые,специфические методы обучения, которые были бы лишены недостатковвышеперечисленных подходов и были бы следующим шагом в деле обученияматематике в школе. Литература:1. Лященко Е.И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы. Минск, 1970 г.2. Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. под ред. С.А. Теляковского – 5-е издание – М.Просвещение,1997.3. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. под ред. С.А. Теляковского – 2-е издание – М.Просвещение,1991.4. Виленкин Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики. – М.Просвещение,1980.5. Блох А.Я., Гусев В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. – М.Просвещение,1987.5. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.6. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки, Москва, Просвещение, 1987 г. -----------------------[pic][pic]




Нажми чтобы узнать.

Похожие:

Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов iconТема: Психофизиологические особенности детей младшего школьного возраста, имеющих диагноз VII, VIII вид. Цель
Цель: Ознакомить учителей начальных классов с психофизиологическими характеристиками детей младшего школьного возраста, имеющих диагноз...
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов iconР. А. Мельников > г. Елец, егу им. И. А. Бунина
Оно тесным образом связано с понятием квадратной матрицы. В курсе линейной алгебры определитель вводится, опираясь на понятие подстановки....
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов iconУ которого две параллельные грани (основания) равные между собой
В школьном курсе геометрии изучаются основные виды многогранников: призма, параллелепипед и пирамида. Но существует еще многогранник,...
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов iconУ которого две параллельные грани (основания) равные между собой
В школьном курсе геометрии изучаются основные виды многогранников: призма, параллелепипед и пирамида. Но существует еще многогранник,...
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов iconБеседа с обучающимися 3-9 классов
МС(К)оу "Усть-Нерская специальная (коррекционная) основная общеобразовательная школа VII-VIII вида"
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов iconС обучающимися 3-9 классов на тему
МС(К)оу "Усть-Нерская специальная (коррекционная) основная общеобразовательная школа VII-VIII вида"
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов iconС обучающимися 3-9 классов на тему
МС(К)оу "Усть-Нерская специальная (коррекционная) основная общеобразовательная школа VII-VIII вида"
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов iconБеседа с обучающимися 3-9 классов на тему: «Гордость»
МС(К)оу "Усть-Нерская специальная (коррекционная) основная общеобразовательная школа VII-VIII вида"
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов iconБеседа с обучающимися 3-9 классов на тему: «Заботливость»
МС(К)оу "Усть-Нерская специальная (коррекционная) основная общеобразовательная школа VII-VIII вида"
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов iconБеседа с обучающимися 3-9 классов на тему: «Компьютер в моей жизни»
МС(К)оу "Усть-Нерская специальная (коррекционная) основная общеобразовательная школа VII-VIII вида"
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы