Правительство Российской Федерации icon

Правительство Российской Федерации



НазваниеПравительство Российской Федерации
Дата конвертации19.07.2012
Размер292.31 Kb.
ТипАнализ
скачать >>>

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"



Факультет Бизнес- информатика

Отделение Прикладная математика и информатика


Программа дисциплины


Теория вероятностей и математическая статистика


для направления 010500.62– Прикладная математика и информатика подготовки бакалавров

Автор к. ф.-м. н., доцент Е.Р. Горяинова


Рекомендована секцией УМС

«Прикладная математика

и информатика»

Председатель

__________________ Кузнецов С.О.

«_____» __________________ 20___ г.

Одобрена на заседании кафедры

Анализа данных

и искусственного интеллекта

Зав. кафедрой

__________________ Кузнецов С.О.

«_____» __________________ 20___ г.

Утверждена УС факультета

бизнес-информатики

Ученый секретарь

__________________ Фомичев В.А.

« ____» ___________________20___ г.


Москва

1. Цели и задачи дисциплины.


1.1. Цель дисциплины - сформировать теоретические знания в области теории вероятностей и математической статистики;

обучить студентов применять основные модели и методы математической статистики для обработки реальных социально-экономических данных.

1.2. Задачи дисциплины

– освоение студентами вероятностного подхода к анализу реальных социально-экономических явлений;

– построение математических моделей, адекватно описывающих социально-экономические явления;

– овладение методами и алгоритмами обработки и анализа данных, содержащих случайные погрешности.


2. Место дисциплины в структуре ООП.

Программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначена для подготовки студентов, обучающихся по направлению «Бизнес-информатика». Программа составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.

«Теория вероятностей и математическая статистика» является самостоятельной учебной дисциплиной, относится к математическому и естественнонаучному циклу дисциплин. Обучающиеся должны владеть знаниями следующих дисциплин: «Линейная алгебра», «Математический анализ».


Аннотация курса.

В курсе освещены следующие темы : случайные события, случайные величины, случайные векторы, предельные теоремы теории вероятностей, основные понятия математической статистики, методы построения точечных оценок параметров, построение интервальных оценок параметров в гауссовских моделях, основы проверки статистических гипотез, выявление и анализ статистической связи показателей, измеряемых в различных шкалах, основные методы регрессионного анализа, основы теории случайных процессов.

3. Требования к результатам освоения дисциплины.

В результате изучения учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» обучающийся должен

знать:

-основные понятия теории вероятностей (вероятность, случайное событие, случайная величина, числовые характеристики случайных величин и их свойства, случайный вектор и его характеристики, независимость и некоррелированность случайных величин);

-основные законы распределения случайных величин;

-виды сходимости случайных величин;

- предельные теоремы теории вероятностей;

- основные понятия математической статистики (выборка, оценки параметров и их свойства , гистограмма, эмпирическая функция распределения);

-основные методы оценивания параметров (ММ и ММП);

-алгоритм проверки статистических гипотез;

- методы построения доверительных интервалов параметров случайных величин;

- методы проверки независимости признаков, измеренных в различных шкалах;

- методы оценивания параметров в регрессионных моделях;

- критерии, позволяющие проверять адекватность регрессионной модели.

уметь:

-вычислять вероятность случайного события;

- вычислять числовые характеристики случайной величины;

-вычислять вероятность попадания случайной величины в заданную область;

– строить математические модели, адекватно описывающие социально-экономические явления;

- использовать статистические критерии для проверки гипотез относительно наблюдаемых случайных данных;

- оценивать неизвестные параметры статистической модели.

владеть:

-навыками решения типовых задач теории вероятностей и математической статистики;

- основными определениями, методами и алгоритмами анализа данных, содержащих случайную составляющую;

- стандартными инструментариями обработки статистической информации.


Тематический план курса

«Теория вероятностей и математическая статистика»





Название темы

Всего

Аудиторные часы

самост. работа







часов

лекции

семинары




1

Основные понятия теории вероятностей. Случайные события


36

8

8

20

2

Случайные величины


36

8

8

20

3

Случайные векторы


44

10

10

24

4

Предельные теоремы теории вероятностей


30

6

6

18

5

Основные понятия математической статистики. Оценивание параметров

62

14

14

34

6

Проверка статистических гипотез

68

16

16

36

7

Регрессионный анализ


20

4

4

12

8

Случайные процессы

28

6

6

16




Итого

324

72

72

180


Базовый учебник по курсу

1. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. - М.: Физматлит, 2007

2. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1992.


Дополнительная литература по курсу

1. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики– М.: Наука, 1982.

2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Наука, 1979 – 496 с

3. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Наука, 1989

4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей - М.: Наука, 1987

5. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций Под ред. А.А.Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 632 с.

6. Горяинова Е.Р., Наумов А.В., Сиротин А.Н. Решение задач по теории вероятностей.- М.: МАИ,2001

7. Леман Э. Проверка статистических гипотез. – М.: Наука, 1964.

8. Холлендер М., Вулф Д. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983.

9. Хьюбер П. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984.

10. Дэниел К. Применение статистики в промышленном эксперименте. – М.: Мир, 1979.

11. Хеттманспергер Т. Статистические выводы, основанные на рангах. – М.:Финансы и статистика,1987.

12. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир, 1980

13. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. – М.: Физматлит, 2002

14. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1998

15. Мизес Р. Вероятность и статистика. М.: URSS, 2008

16. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Инфра. – М, 2003.


Формы контроля и структура итоговой оценки.


Текущий контроль – 3 письменные контрольные работы (90 мин).

Итоговый контроль – письменный экзамен (90 мин.)

Итоговая оценка складывается из следующих элементов:

работа на семинарах – 10%;

3 письменные контрольные работы – 15% каждая;

домашнее задание – 15%;

письменный экзамен – 30%


Содержание программы курса «Теория вероятностей и математическая статистика»


Тема 1. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события

Предмет теории вероятностей. Понятие пространства элементарных событий. Случайные события. Алгебра и сигма-алгебра случайных событий. Классическое, статистическое, геометрическое и аксиоматическое определения вероятности случайного события. Основные свойства вероятности. Условные вероятности. Определение независимых случайных событий. Формулы сложения и умножения вероятностей. Биномиальная схема испытаний. Формула Бернулли и следствия из нее. Полиномиальная схема испытаний. Формула полной вероятности. Формула Байеса.


Основная литература


1. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. - М.:Физматлит,2005 (глава 1).

2. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики– М.: Наука, 1982(глава 1, глава 2)

Дополнительная литература

1. Мизес Р. Вероятность и статистика. М.: URSS, 2008

2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Наука, 1979 – 496 с

3. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Наука, 1989

4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей - М.: Наука, 1987

5. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций Под ред. А.А.Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 632 с.


Тема 2. Случайные величины

Определение случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины. Основные числовые характеристики случайных величин и их свойства. Распределение Бернулли. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины и ее свойства. Определение математического ожидания непрерывной случайной величины. Распределение Коши. Равномерное распределение. Экспоненциальное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа и ее свойства. Определение квантили. Функциональное преобразование случайной величины. Закон распределения функции одного случайного аргумента.


Основная литература

1. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. - М.:Физматлит,2005 (глава 2).

2. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики– М.: Наука, 1982(глава 3)

Дополнительная литература

1. Горяинова Е.Р., Наумов А.В., Сиротин А.Н. Решение задач по теории вероятностей.- М.: МАИ,2001

2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Наука, 1979 – 496 с

3. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Наука, 1989

4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей - М.: Наука, 1987

5. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций Под ред. А.А.Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 632 с.


Тема 3. Случайные векторы

Функция распределения случайного вектора и ее свойства. Дискретные случайные векторы и способы их задания. Непрерывные случайные векторы. Свойства плотности распределения вероятности непрерывного случайного вектора. Определение независимых случайных величин. Числовые характеристики случайного вектора. Ковариация и ее свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Соотношение между некоррелированными и независимыми случайными величинами. Ковариационная и корреляционная матрицы. Условные законы распределения. Условные числовые характеристики. Характеристическая функция и её свойства. Преобразование случайных величин. Формула свёртки.

Двумерный нормальный закон распределения, частные распределения компонент нормального вектора. Теорема о нормальной корреляции (без доказательства).


Основная литература

1. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. - М.:Физматлит,2005 (глава 3).

2. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики– М.: Наука, 1982(глава 6)

Дополнительная литература

1. Горяинова Е.Р., Наумов А.В., Сиротин А.Н. Решение задач по теории вероятностей.- М.: МАИ,2001

2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Наука, 1979 – 496 с

3. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Наука, 1989

4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей - М.: Наука, 1987

5. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций Под ред. А.А.Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 632 с.


Тема 4. Предельные теоремы теории вероятностей

Различные виды сходимости случайных последовательностей: сходимость по вероятности, сходимость в среднеквадратическом, сходимость почти наверное, слабая сходимость. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева и в форме Хинчина. Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема (без доказательства). Теорема Муавра-Лапласа как частный случай центральной предельной теоремы.


Основная литература


1. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. - М.:Физматлит,2005 (глава 4).

2. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики– М.: Наука, 1982(глава 4, 10)

Дополнительная литература

1. Горяинова Е.Р., Наумов А.В., Сиротин А.Н. Решение задач по теории вероятностей.- М.: МАИ,2001

2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Наука, 1979 – 496 с

3. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Наука, 1989

4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей - М.: Наука, 1987

5. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций Под ред. А.А.Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 632 с.


Тема 5.Основные понятия математической статистики. Оценивание параметров.

Основные задачи математической статистики. Основные понятия выборочной теории: выборка, выборочное пространство; вариационный ряд, ранг элемента выборки, эмпирическая функция распределения; гистограмма; выборочные числовые характеристики, точечные оценки параметров.

Свойства точечных оценок параметров: несмещённость, состоятельность, сильная состоятельность, оптимальность в среднеквадратическом, эффективность по Рао-Крамеру. Неравенство Рао-Крамера. Критерий эффективности. Основные методы нахождения точечных оценок параметров: метод максимального правдоподобия (ММП) и метод моментов (ММ).

Доверительное оценивание параметров.


Основная литература


1.Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. – М.:Физматлит,2005(глава 5)

2. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1992( глава 1, 2).

Дополнительная литература

1. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций Под ред. А.А.Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 632 с.

2. Леман Э. Проверка статистических гипотез. – М.: Наука, 1964.

3. Хьюбер П. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984.

4. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Инфра. – М, 2003.


Тема 6. Проверка статистических гипотез

Простые и сложные статистические гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий. Мощность критерия. Алгоритм проверки статистической гипотезы. Лемма Неймана-Пирсона. Критерии проверки параметрических гипотез. Критерий согласия хи-квадрат для проверки гипотезы о виде распределения случайной величины. Критерий Стьюдента, критерий Фишера, критерий Колмогорова-Смирнова. Критерий, основанный на выборочном коэффициенте корреляции. Ранговые критерии. Критерий Вилкоксона, критерий Ансари-Брэдли. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена, коэффициент согласованности Кендалла. Таблица сопряжённости признаков. Критерии проверки независимости двух случайных величин.

Основная литература

1.Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. – М.:Физматлит,2005(глава 5)

2. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1992( глава 3. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Инфра. – М, 2003(глава 3 с.93-118, глава 5 с.165-190).

Дополнительная литература

1. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики– М.: Наука, 1982.

2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Наука, 1979 – 496 с

3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций Под ред. А.А.Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 632 с.

4. Леман Э. Проверка статистических гипотез. – М.: Наука, 1964.

5. Холлендер М., Вулф Д. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983.

6. Хьюбер П. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984.

7. Дэниел К. Применение статистики в промышленном эксперименте. – М.: Мир, 1979.

8. Хеттманспергер Т. Статистические выводы, основанные на рангах. – М.:Финансы и статистика,1987.


Тема 7. Регрессионный анализ

Модель линейной регрессии. Методы оценивания параметров в линейной регрессионной модели (МНК, ВМНК, МНМ, ранговый). МНК-оценка параметров и её свойства. Критерии проверки адекватности гауссовской линейной регрессионной модели.


Основная литература

1.Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1992( глава5).

2. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир, 1980

Дополнительная литература

1. Хеттманспергер Т. Статистические выводы, основанные на рангах. – М.:Финансы и статистика,1987.

2. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Инфра. – М, 2003.


Тема 8. Случайные процессы.

Определение случайного процесса (СП). Моментные характеристики СП. Стационарные СП. Стационарные случайные последовательности. Основные модели временных рядов (АР, СС, АРСС). Цепи Маркова.

Основная литература

1. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. – М.: Физматлит, 2002 (§§ 1, 3, 5)

Дополнительная литература

1. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики– М.: Наука, 1982.

2. Ширяев А.Н. Вероятность – М.: Наука, 1989

3. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Инфра. – М, 2003.


Тематика заданий по различным формам текущего контроля:


1.Вычисление вероятности случайного события.

2. Вычисление вероятности попадания СВ в интервал, нахождение числовых характеристик СВ.

3.Исследование независимости и некоррелированности компонент случайного вектора.

4. Нахождение частных распределений компонент случайного вектора.

5. Вычисление вероятности попадания многомерной СВ в заданную область.

6. Нахождение распределения случайной величины, являющейся функциональным преобразованием заданной СВ.

7. Выявление случайных последовательностей, удовлетворяющих закону больших чисел, усиленному закону больших чисел.

8. Применение центральной предельной теоремы.

9. Построение точечных оценок параметров.

10. Исследование свойств статистических оценок.

11. Построение гистограммы, эмпирической функции распределения.

12. Построение интервальных оценок параметров.

13. Проверка гипотезы о виде распределения СВ.

14. Проверка равенства средних двух СВ (классический и непараметрический критерии).

15. Проверка гипотезы о некоррелированности двух СВ.

16. Проверка гипотезы о независимости двух СВ.

17. Построение МНК-оценок параметров линей регрессии.

18. Вычисление моментных характеристик случайных процессов.

19. Исследование стационарности случайного процесса.

20. Исследовать цепь Маркова на эргодичность.

21. Нахождение стационарного распределения цепи Маркова.


Вариант домашней работы


ЗАДАЧА 1. На 2-м этаже в лифт вошли 6 человек. От 3-го до 11-го этажа лифт может остановиться на любом этаже. Какова вероятность того, что все пассажиры вышли на разных этажах, если всевозможные варианты выхода пассажиров равновероятны?


ЗАДАЧА 2. На склад поступает продукция трех заводов, причем от первого завода поступает 20%, от второго - 46%, от третьего - 34% всей продукции. Известно, что нестандартная продукция на каждом заводе составляет в среднем 3%, 2%, 1%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие, оказавшееся нестандартным, изготовлено на первом заводе.


ЗАДАЧА 3. Случайная величина Х подчиняется распределению Релея:




Найти плотность распределения вероятностей случайной величины Y=.

ЗАДАЧА 4. Математическое ожидание числа солнечных дней в году для определенной местности равно 150 дням. Найти вероятность того, что в данном году здесь будет не менее 200 солнечных дней. Как изменится искомая вероятность, если будет известно, что среднее квадратичное отклонение числа солнечных дней равно 10?


ЗАДАЧА 5. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и ковариационной матрицей: .

Найти:. ; ; .

ЗАДАЧА 6. Для заданной выборки:

1) постройте вариационный ряд и эмпирическую функцию распределения;

2) найдите значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии;

3) постройте гистограмму на 10-ти интервалах;

4) на основе анализа результатов наблюдений выдвинете гипотезу о виде закона распределения генеральной совокупности;

5) проверьте гипотезу о виде распределения совокупности с помощью критерия Пирсона.


При производстве ЧИПов их выводы устанавливаются автоматически; изогнутость выводов является важным показателем при сборке готовой продукции.

Данные измерения изогнутости выводов ЧИПов, мм.



20

31

116

32

100

28

130

97

II

27

122

29

28

44

12

46

47

52

31

15

21

32

14

19

45

52

91

35

53

92

38

03

06

37

142

117

07

57

46

66

63

51

56

52

34

43

29

40

35

61

71

74

83

68

84

67

47

52

54

46

52

76

86

85

78

60

68

60

72

59

61

67

17

62

69

82

75

19

62

69

83

67

70

50

15

58

41

44

53

02

54

42

35

75

36

18

124

30

52

39

34

23

36

21

28

99

22

16

32

96

116

27

96

30

25

98

10

67

118

90

67

75

65

66


























ЗАДАЧА 7. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка измерения которого равна 0, а случайные ошибки распределены нормально со средним квадратичным отклонением 10м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину с абсолютной погрешностью не более 5м при доверительной вероятности 90%?


ЗАДАЧА 8. Давление в камере контролируется по двум манометрам. Для сравнения точности этих приборов одновременно фиксируются их показания. По результатам 10 замеров выборочные оценки (в единицах шкалы приборов) оказались следующими: =1573; =1671; =0,72; =0,15. Используя односторонний критерий, проверить при =0,1 гипотезу о равенстве дисперсий. Распределение контролируемого признака нормальное.


ЗАДАЧА 9. Средняя стоимость лечения одного пациента-льготника с диагнозом «дуоденит» составляет (в рублях на ноябрь 2007 года):


Дальневосточный федеральный округ

Приволжский федеральный округ

Амурская обл. 245,61

Кировская обл. 196,27

Еврейская АО 101,45

Оренбургская обл. 309,79

Камчатская обл. 202,84

Пензенская обл. 271,76

Корякский АО 327,63

Пермская обл. 329,58

Магаданская обл. 144,5

Башкортостан 233,49

Приморский край 458,81

Марий-Эл 298,24




Мордовия 311,6




Татарстан 284,03




Чувашия 405,5


Одинакова ли средняя стоимость лечения льготников в Дальневосточном и Приволжском федеральных округах? Проверьте гипотезу о равенстве средних, считая, что: а) выборки имеют гауссовское распределение, б) распределение выборок неизвестно.


ЗАДАЧА 10. Проведен социологический опрос 655 человек. Каждый из опрошенных отвечал на два вопроса. Вопрос А: «Удовлетворены ли Вы своим образом жизни?» (варианты ответов: да, нет). Вопрос В: «Каково Ваше материальное положение?» (варианты ответов: плохое, ниже среднего, среднее, выше среднего, хорошее. Результаты опроса сведены в следующую таблицу:


B

A

плохое

ниже среднего

среднее

выше среднего

хорошее

Нет

92

64

48

23

3

Да

22

46

136

148

72


Имеется ли зависимость между материальным положением (признак В) и удовлетворенностью образом жизни (признак А)?


ЗАДАЧА 11. В таблице представлены данные за 1997 год показателей X (индекс человеческого развития) и Y (суточная калорийность питания населения, ккал на душу) для следующих стран: Австрия, Аргентина, Великобритания, Германия, Египет, Норвегия, Украина, Республика Корея, ЮАР, США.

X

0.904

0.827

0.918

0.906

0.616

0.927

0.721

0.852

0.695

0.927

Y

3343

3136

3237

3330

3289

3350

2753

3336

2933

3642

Оцените коэффициент корреляции между показателями X и Y.

Являются ли показатели X и Y зависимыми?


ЗАДАЧА 12. Используя данные предыдущей задачи, оцените по методу наименьших квадратов коэффициенты линейной регрессии вида .


Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


Тема 1.

1.Дайте классическое и аксиоматическое определение вероятности.

2. Что такое алгебра событий?

3. Какие случайные события называются независимыми?

4. Сформулируйте теорему сложения и теорему умножения вероятностей.

5. Что такое полная группа событий?

6. Сформулируйте теорему Байеса.

7. Чему равно наиболее вероятное число «успехов» в схеме испытаний Бернулли?

Тема 2.

1. Что такое случайная величина?

2. Определите функцию распределения случайной величины (СВ).

3. Какие типы распределений случайных величин вы знаете?

4. Что такое математическое ожидание случайной величины (СВ) ?

5. Какие свойства математического ожидания вы знаете?

6. Приведите пример СВ, у которой нет математического ожидания.

7. Что такое дисперсия.

8. Докажите основные свойства дисперсии.

9. Сформулируйте характеристическое свойство экспоненциальной СВ.

10. Как вычислять вероятность попадания СВ в заданный интервал?

Тема 3.

1. Дайте определение функции распределения многомерной СВ.

2. Как зная распределение многомерной СВ, найти распределения её компонент?

3. Каковы основные числовые характеристики случайного вектора?

4. Что такое ковариация двух СВ? Какова её размерность?

5. Что такое коэффициент корреляции? Каковы его основные свойства?

6. Что характеризует коэффициент корреляции?

7. Дайте определение независимых СВ.

8. Верно ли утверждение о том, что из некоррелированности СВ следует их независимость?

9. Какое распределение имеет СВ, которая является суммой двух гауссовских СВ?

Тема 4.

1. Определите различные типы сходимости СВ.

2. Верно ли, что из сходимости в среднем квадратическом следует сходимость по вероятности ?

3. Приведите пример случайной последовательности, которая сходится почти наверное, но не сходится в среднем квадратическом.

4. Докажите неравенство Чебышёва.

5. Сформулируйте ЦПТ.

6. Какое распределение будет иметь количество успешных опытов в схеме испытаний Бернулли, если количество испытаний очень велико?

7. К какой величине будет сходиться по вероятности частота случайного события?

Тема 5.

1.Что такое оценка параметра?

2. Какие свойства параметрических оценок вы знаете?

3. Верно ли, что эффективная по Рао- Крамеру оценка является несмещённой?

4. К какой функции будет сходиться эмпирическая функция распределения при увеличении объёма выборки?

5. Дана реализация выборки: 5; 2; 4; 1;8; 4. Какой ранг имеет третий элемент этой выборки?

6.Эмпирическим аналогом какой функции является гистограмма?

7. Опишите различные методы точечного оценивания параметров.

8. Каким свойством обладают ОМП?

9. Определите интервальную оценку параметра.

10. Какую функцию называют центральной статистикой?

11. Опишите связь распределений хи-квадрат, Стьюдента и Фишера с гауссовским распределением.

Тема 6.

1. Что такое статистическая гипотеза?

2. В чем состоят ошибки I и II рода?

3. Дайте определение функции мощности статистического критерия.

4. Дайте определение квантили. Чему равна 0,05-квантиль стандартного гауссовского распределения, если 0,95-квантиль этого распределения равна 1,65?

5.Каков порядок проверки параметрических статистических гипотез?

6. Опишите условия применимости классических и ранговых критериев для проверки гипотезы об однородности.

7. Какие преимущества и какие недостатки имеют ранговые критерии по сравнению с классическими?

8. Как проверить гипотезу о некоррелированности признаков?

9. В каком случае проверка некоррелированности наблюдений эквивалентна проверке независимости?

10. Как проверить гипотезу о независимости двух СВ?

Тема 7.

1. В чем состоит задача линейной регрессии?

2. В чем состоит идея метода наименьших квадратов (МНК)?

3. Какие методы оценивания параметров регрессии вам известны?

4. Какими свойствами обладает МНК-оценка параметров регрессии?

5. Какие критерии проверки адекватности регрессионной модели вы знаете?

Тема 8.

1.Что такое случайный процесс?

2. Какие случайные процессы называют стационарными?

3. Что такое марковское свойство?

4. Какая цепь называется эргодической?

5. Как находиться стационарное распределение эргодической цепи Маркова?

6. Какие модели временных рядов вы знаете?


Вариант билета контрольной работы №1.


1.У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюёт с вероятностью 0.8; на втором месте – с вероятностью 0.7; на третьем – с вероятностью 0.6. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

2. В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Какова вероятность того, что все они выйдут на разных этажах?

3.Для поражения объекта достаточно одного попадания бомбы. Для бомбометания вылетели 4 самолёта, каждый из них несёт по одной бомбе. Вероятности попадания в цель этими самолётами равны соответственно 0,9, 0,8, 0,7, 0,6. Найти вероятность поражения объекта.

4.В семье пять детей. Какова вероятность того, что среди них не менее двух девочек, если известно, что вероятность рождения девочки равна 0,48?

5. а) События А и В совместны. Совместны ли события и А+В?

б) В колоде 36 карт. Из неё вытаскивают наугад одну карту и с ней связывают два события: А={эта карта - дама}, В= {эта карта – бубновой масти}. Являются ли события А и В зависимыми? Являются ли события А и В совместными? Ответ обосновать.


Вариант билета контрольной работы №2.


1. Выпускник вуза последовательно рассылает своё резюме потенциальным работодателям до тех пор, пока не получит приглашение на собеседование. Вероятность того, что рассылать резюме придётся не менее трёх раз, равна 0,81. Сколько в среднем раз выпускнику придётся посылать резюме? Какова вероятность того, что посылать резюме придётся пяти работодателям?

2. Случайная величина имеет плотность распределения , если , и 0 в остальных случаях. Найти константу с, функцию распределения случайной величины , математическое ожидание и дисперсию случайной величины , вероятность .

3. Автомат изготавливает шарики для подшипников. Шарик считается принятым, если отклонение диаметра шарика от заданного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Случайную величину можно считать нормально распределённой с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением 0,4 мм. Сколько в среднем будет годных шариков из 50 изготовленных?

4. Случайная величина имеет распределение . Найти плотность распределения случайной величины .

5. Случайный вектор имеет функцию распределения

, если и 0 в остальных случаях.

Найти математическое ожидание и ковариационную матрицу вектора , исследовать случайные величины и на независимость и некоррелированность. Найти вероятность попадания в область .


Вариант билета контрольной работы №3.


1.В продукции цеха детали отличного качества составляют 80%. В каких пределах с вероятностью 0,99 будет находиться количество деталей отличного качества, если взять 10000 деталей? Построить оценку с помощью неравенства Чебышёва и по теореме Муавра- Лапласа.

2. Пусть элементы последовательности при каждом имеют плотность распределения вероятностей . Докажите, что при сходится по вероятности к нулю, но не сходится к нулю в среднем квадратическом.

3. Пусть имеется выборка . Является ли оценка несмещённой оценкой дисперсии?Является ли эта оценка состоятельной оценкой дисперсии? Докажите.

4. Получена реализация 2,3; 1,96; 2.05; 2,15; 1,98; 1,96 нормально распределённой случайной величины с дисперсией равной 0.01. Постройте центральный доверительный интервал для математического ожидания этой величины уровня надёжности 0,95.


Вариант экзаменационного билета


1.В результате проведенного исследования было установлено, что у 309 светлоглазых мужчин жены также имеют светлые газа, а у 214 светлоглазых мужчин жены темноглазые. У 119 темноглазых мужчин жены также темноглазые, а у 132 темноглазых мужчин жены светлоглазые. Имеется ли зависимость между цветом глаз мужей и их жен?

2. В таблице представлены данные за 1995 год показателей X (ВВП в паритетах покупательной способности) и Y (коэффициент детской смертности в %) для следующих стран: Бурунди, Чад, Индия, Египет, Мексика, Бразилия, Республика Корея, Канада, США, Швейцария.

X

2.3

2.6

5.2

12.2

23.7

20

42.4

78.3

100

95.9

Y

98

117

68

16

33

44

10

6

8

6


Оцените коэффициент корреляции показателей X и Y . Считая , что наблюдения имеют гауссовское распределение, выясните являются ли признаки X и Y зависимыми .

3. Уровень гистамина в мокроте у 7 курильщиков, склонных к аллергии, составил (в микрограммах): 102,4; 100,0; 67,6; 65,9; 64,7; 39,6; 31,2, а у курильщиков, несклонных к аллергии: 48,1; 45,5; 41,7; 35,4; 29,1; 18,9; 58,3; 66,8; 71,3; 94,3. Верно ли предположение о том, что уровень гистамина у курильщиков, подверженных аллергии, выше, чем у неаллергенов? Принять уровень значимости равным 0,05.

4. Анализируется прибыль Y (млн. $) в зависимости от расходов X (млн. $) на рекламу. Данные наблюдений за 4 года приведены в таблице.

X

0,8

2,5

4,0

5,7

Y

5

15

20

25

Оцените по методу наименьших квадратов коэффициенты линейной регрессии вида

.

5.Дан случайный процесс , где - независимые случайные величины, такие что . Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию случайного процесса . Выясните, является ли данный процесс стационарным.


Автор программы: _____________________________/

_____________________________/Е.Р. Горяинова/







Похожие:

Правительство Российской Федерации iconЛекция 14. Правительство Российской Федерации
Правительство в системе органов государственной власти Российской Федерации. Согласно Конституции РФ (ст. 110) исполнительную власть...
Правительство Российской Федерации iconПравительство российской федерации постановление от 22 марта 2001 г. N 221
В соответствии со статьей 8 Федерального закона "О наркотических средствах и психотропных веществах" (Собрание законодательства Российской...
Правительство Российской Федерации iconПравительство российской федерации постановление от 27 января 2012 г. N 36 об утверждении правил формирования и ведения федеральной информационной системы обеспечения
...
Правительство Российской Федерации iconПравительство российской федерации постановление от 30 июня 1998 г. N 681 об утверждении перечня наркотических средств, психотропных веществ и их прекурсоров, подлежащих контролю в российской федерации
В соответствии с Федеральным законом "О наркотических средствах и психотропных веществах" (Собрание законодательства Российской Федерации,...
Правительство Российской Федерации iconПравительство российской федерации постановление от 30 июня 1998 г. N 681 об утверждении перечня наркотических средств, психотропных веществ и их прекурсоров, подлежащих контролю в российской федерации
В соответствии с Федеральным законом "О наркотических средствах и психотропных веществах" (Собрание законодательства Российской Федерации,...
Правительство Российской Федерации iconПравительство российской федерации распоряжение от 26 мая 2005 г. N 667-р
Российской Федерации, изъявившим желание участвовать в конкурсе на замещение вакантной должности государственной гражданской службы...
Правительство Российской Федерации iconПравительство российской федерации постановление от 30 декабря 2006 г. N 864 о порядке финансирования в 2007 году расходов на дополнительную оплату первичной медико-санитарной помощи,
В соответствии со статьей 20 Федерального закона "О бюджете Фонда социального страхования Российской Федерации на 2007 год" Правительство...
Правительство Российской Федерации iconПравительство российской федерации постановление от 5 декабря 2006 г. N 748
...
Правительство Российской Федерации iconПостановление Правительства российской федерации о размерах минимальной и максимальной величин пособия по безработице на 2009 год от 8 декабря 2008 г. N 915
В соответствии со статьей 33 Закона Российской Федерации "О занятости населения в Российской Федерации" Правительство Российской...
Правительство Российской Федерации iconПостановление Правительства российской федерации о размерах минимальной и максимальной величин пособия по безработице на 2009 год от 8 декабря 2008 г. N 915
В соответствии со статьей 33 Закона Российской Федерации "О занятости населения в Российской Федерации" Правительство Российской...
Правительство Российской Федерации iconПравительство российской федерации постановление от 22 сентября 2007 г. N 605
В соответствии со статьей 1 Федерального закона "Об оплате труда работников федеральных государственных учреждений" Правительство...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы