Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени icon

Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени



НазваниеСпектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени
Дата конвертации14.07.2012
Размер353.74 Kb.
ТипРеферат
Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени


Тема: Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени . ОглавлениеВведениеПостановка проблем, формулировка задачГлава 1. Теоретический анализ существующих алгоритмов спектральногоанализа. 1.1. Введение в спектральное оценивание ((1.1.1. Задача спектрального оценивания ((1.1.2. Проблемы в области спектрального оценивания. ( 1.1.3. Спектральные оценки по конечным последовательностям данных ( 1.1.4. Общая картина 1.2. Основные определения и теоремы классического спектрального анализа ( 1.2.2 Операции дискретизации и взвешивания для получения дискретно- временных рядов Фурье. ( 1.2.3. Анализ эргодичных дискретных процессов. 1.3. Классические методы спектрального анализа. ( 1.3.1. Введение. ( 1.3.2. Окна данных и корреляционные окна в спектральном анализе. ( 1.3.3. Периодограммные оценки спектральной плотности мощности. ( 1.3.4. Коррелограммные оценки спектра. ( 1.3.5. Область применения. 4. Авторегрессионное спектральное оценивание. ( 1.4.1. Введение. ( 1.4.2. Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера. ( 1.4.3. Методы оценивания коэффициентов отражения. ( 1.4.3.1. Геометрический алгоритм. ( 1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга. ( 1.4.4. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов. ( 1.4.5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод ( 1.4.6. Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов 1.5. Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего . 1.6. Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии. 7. Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений. ( 1.7.1. Введение. ( 1.7.2. Процедуры оценки частоты в пространстве сигнала. ( 1.7.3. Оценки частоты в пространстве шума.Глава 2. Экспериментальный анализ алгоритмов спектрального анализа.Особенности реализации.Заключение.Выводы.Приложениe А. Смещение периодограммы Уэлча.Приложениe В. Методы и интерфейсы межзадачного системного и межсистемногообмена в среде Windows ’95 (Delphi 3.0)Приложениe С. Достоверность полученных оценок спектральной плотностимощности.Приложениe D. Таблица экспериментальных результатов по разрешающейспособности методов спектрального анализа.Приложениe E. Таблица и графики «Слабые синусоидальные составляющие»Приложениe F. Дисперсии оценок СПМ как функции частоты.Приложениe G. Таблица наилучших в смысле структурной устойчивостипараметров адаптивного градиентного метода.Приложениe Н. Графики оценок СПМ при различных значениях порядкаавторегрессионной модели.Приложениe I. Список используемой литературы.Введение Спектральный анализ - это один из методов обработки сигналов, которыйпозволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала.Преобразование Фурье является математической основой, которая связываетвременной или пространственный сигнал (или же некоторую модель этогосигнала) с его представлением в частотной области. Методы статистики играютважную роль в спектральном анализе, поскольку сигналы, как правило, имеютшумовой или случайный характер. Если бы основные статистическиехарактеристики сигнала были известны точно или же их можно было бы безошибки определить на конечном интервале этого сигнала, то спектральныйанализ представлял бы собой отрасль точной науки. Однако в действительности по одному-единственному отрезку сигнала можно получить только некоторуюоценку его спектра.[1] К обработке сигналов в реальном масштабе времени относятся задачианализа аудио, речевых, мультимедийных сигналов, в которых помимотрудностей, связанных непосредственно с анализом спектрального содержания идальнейшей классификацией последовательности отсчетов (как в задачераспознавания речи) или изменения формы спектра - фильтрации в частотнойобласти (в основном относится к мультимедийным сигналам), возникаетпроблема управления потоком данных в современных вычислительных системах.Реальность накладывает отпечаток как на сами вычислительные алгоритмы, таки на результаты экспериментов, поднимая вопросы, с которыми не сталкиваютсяпри обработке всей доступной информации. При обработке сигналов обычно приходится решать задачи двух типов -задачу обнаружения и задачу оценивания. При обнаружении нужно дать ответ навопрос, присутствует ли в данное время на входе некоторый сигнал с априорноизвестными параметрами. Оценивание - это задача измерения значенийпараметров, описывающих сигнал [1]. Сигнал часто зашумлен, на него могут накладываться мешающие сигналы.Поэтому для упрощения указанных задач сигнал обычно разлагают по базиснымсоставляющим пространства сигналов. Для многих приложений наибольшийинтерес представляют периодические сигналы. Вполне естественно, чтоиспользуются Sin и Cos. Такое разложение можно выполнить с помощьюклассического преобразования Фурье. При обработке сигналов конечной длительности возникают интересные ивзаимозависимые вопросы, которые необходимо учитывать в ходе гармоническогоанализа. Конечность интервала наблюдения влияет на обнаружимость тонов вприсутствии сильных шумов, на разрешимость тонов меняющейся частоты и наточность оценок параметров всех вышеупомянутых сигналов. Постановка проблемы, формулировка задачи На настоящее время существует большое количество алгоритмов и группалгоритмов, которые так или иначе решают основную задачу спектральногоанализа: оценивание спектральной плотности мощности, с тем чтобы пополученному результату судить о характере обрабатываемого сигнала .Основнойвклад сделан такими исследователями как: Голд Б. (Gold B.), Рабинер Л.(Rabiner L.R.), Бартлетт M. (Bartlett M.S.) Однако каждый из алгоритмовимеет свою область приложения. Например, градиентные адаптивныеавторегрессионные методы не могут быть применены к обработке данных сбыстро меняющимся во времени спектром. Классические методы имеют широкуюобласть применения, но проигрывают авторегрессионным и методах, основанныхна собственных значениях, по качеству оценивания. Но в реальном масштабевремени использование последних затруднено из-за вычислительной сложности. Более того, применение каждого из методов обычно требует выборазначений параметров (выбор окна данных и корреляционного окна вклассических методах, порядка модели в авторегрессионном алгоритме иалгоритме линейного предсказания, предполагаемого числа собственныхвекторов в пространстве шума в методе Писаренко) и правильный выбор требуетэкспериментальных результатов с каждым классом алгоритмов. Таким образом, имеется следующая задача : На основе существующих алгоритмов проанализировать возможность ихприменения как к последовательной обработке сигналов в реальном времени,так и к блочной обработке и оценить качество получаемых результатов .Критериями «качества» оценки спектральной плотности мощности в общем случаеявляются смещение этой оценки и ее дисперсия. Однако аналитическоеопределение этих величин наталкивается на определенные математическиетрудности и в каждом конкретном случае на практике просто визуальносовмещают графики нескольких реализаций спектральной оценки и визуальноопределяют смещение и дисперсии к функции частоты. Те области совмещенныхграфиков спектральных оценок, где экспериментально определенное значениедисперсии велико, будет свидетельствовать о том, что спектральныеособенности видимые в спектре одной реализации не могут считатьсястатистически значимыми. С другой стороны, особенности совмещенных спектровв тех областях, где эта дисперсия мала, с большой достоверностью могут бытьсоотнесены с действительными составляющими анализируемого сигнала. Из вышесказанного сформулируем следующие подзадачи: I. теоретическое и практическое исследование алгоритмов блочнойобработки II. анализ классических алгоритмов блочной обработки всейпоследовательности в части применения окон данных и корреляционных окон III. анализ алгоритмов обработки сигналов в реальном масштабе времени Кроме этих теоретических проблем, существует ряд практическихвопросов, специфичных для обработки сигналов в реальном времени. Среди нихвыбелим : ( Необходимость в «одновременном» выполнении следующих основных этаповобработки данных: 1. Непосредственное получение последовательности входных данных (цифровые отсчеты аудио-сигнала, речевого сигнала). 2. Обработка получаемых отсчетов сигнала. 3. Представление обработанной информации 4. Возможность контролировать процесс обработки информации ( Ограничение длительности интервала выборки поступающих данныхвычислительными ресурсами ( Ограничение длительности интервала выборки характером сигнала Если первый вопрос очевиден в рамках обработки данных в реальномвремени, то второй и третий вопросы требуют осмысления причин этихограничений. К сформулированным выше задачам добавим :задачу построения схемы управления обработкой данных в реальном времени,основанной, в силу первой проблемы, на параллельных вычислениях ипротоколах взаимодействия и синхронизации;экспериментальный анализ по второй проблеме, то есть исследование влияниявычислительных ресурсов и методов оцифровки данных на максимальнодопустимую длину интервала выборки;анализ длительности интервала выборки, исходя из характера сигнала. В качестве основного подхода к решению проблем и исследования применимметодологию математического моделирования и вычислительного эксперимента.Экспериментальные входные данные будем формировать следующим образом ( для задачи анализа алгоритмов блочной обработки всейпоследовательности отсчетов формируем дискретизированные отсчеты данныхтест-сигнала из суммы комплексных синусоид и аддитивных окрашенных шумовыхпроцессов, сформированные посредством пропускания белого шума через фильтрс частотной характеристикой типа приподнятого косинуса или окна Хэмминга.Таким образом, в этом случае эксперимент определяется набором [pic], где[pic]- последовательность комплексных синусоид с амплитудами [pic] дБ ичастотами [pic]Гц, а [pic] - последовательность шумовых процессов спараметрами : центральная частота [pic]Гц., динамический диапазонперекрываемых частот [pic] Гц., мощность шума [pic]дБ. ( для анализа классических алгоритмов блочной обработки всейпоследовательности в части применения окон данных и корреляционных оконэксперимент и подсчет основных характеристик окон будем производить наддискретизированными отсчетами соответствующих функций. ( для анализа алгоритмов обработки сигналов в реальном масштабевремени используем аудио и речевой сигналы. Выходными данными экспериментов будем считать : ( для задачи анализа алгоритмов блочной обработки всейпоследовательности отсчетов : 1.) оценку спектральной плотности мощности, полученную с помощью тогоили иного метода спектрального анализа, по которой можно судить о качествеприменяемого метода, сравнивая истинную спектральную плотность мощностисформированного сигнала с полученной оценкой 2.) вычислительные и временные затраты метода ( для анализа окон данных и корреляционных окон - расчетные основныехарактеристики такие как : максимальный уровень боковых лепестков,эквивалентная ширина полосы, ширина полосы по уровню половинной мощности,степень корреляции и т.д.. ( для анализа сигналов в реальном масштабе времени : спектральнаяплотность мощности (функция, зависящая в этом эксперименте также и отвремени). Для оценки составляющих в спектре сигнала в данный моментвремени. Глава 1. Теоретический анализ существующих алгоритмов спектрального анализа. 1. Введение в спектральное оценивание 1.1.1. Задача спектрального оценивания Задача спектрального оценивания подразумевает оценивание некоторойфункции частоты. О характеристиках спектральной оценки судят по тому,насколько хорошо она согласуется с известным спектром тест-сигнала внекоторой непрерывной области частот.[1] 1.1.2. Проблемы в области спектрального оценивания. Интерес к альтернативным методам спектрального анализа поддерживаетсятем улучшением характеристик, которое они обещают, а именно более высокимчастотным разрешением, повышенной способностью к обнаружению слабыхсигналов или же сохранением «достоверности» формы спектра при меньшемчисле используемых параметров. Аналитически описать характеристикибольшинства методов в случае ограниченного времени анализа (то есть вслучае короткой записи данных) весьма затруднительно[1] Спектральное разрешение относится к числу главных проблем современногоспектрального оценивания, в особенности применительно к анализу короткихпоследовательностей данных. При этом то, что понимается под термином«разрешение», носит весьма субъективный характер. Принято характеризоватьотносительные величины разрешающей способности двух спектральных оценок наоснове визуальных впечатлений. [1] 1.1.3. Спектральные оценки по конечным последовательностям данных Спектральная оценка, получаемая по конечной записи данных,характеризует некоторое предположение относительно той истиннойспектральной функции, которая была бы получена, если бы в нашемраспоряжении имелась запись данных бесконечной длины. Именно поэтомуповедение и характеристики спектральных оценок должны описываться с помощьюстатистических терминов. Общепринятыми статистическими критериями качестваоценки являются ее смещение и дисперсия. Аналитическое определение этихвеличин обычно наталкивается на определенные математические трудности,поэтому на практике просто совмещают графики нескольких реализацийспектральной оценки и визуально определяют смещение и дисперсию как функциичастоты. Те области совмещенных графиков спектральных оценок, гдеэкспериментально определенное значение дисперсии велико, будутсвидетельствовать о том, что спектральные особенности, видимые в спектреотдельной реализации, не могут считаться статистически значимыми. С другойстороны, особенности совмещенных спектров в тех областях, где эта дисперсиямала, с большой достоверностью могут быть соотнесены с действительнымичастотными составляющими анализируемого сигнала. Однако в случае короткихзаписей данных часто не удается получить несколько спектральных оценок,да и сам статистический анализ отдельных спектральных оценок, полученных покоротким записям данных, в общем, случае представляет собой весьма труднуюпроблему.[1] 1.1.4.Общая картина Из формального определения спектра, следует, что спектр являетсянекоторой функцией одних лишь статистик второго порядка, относительнокоторых в свою очередь предполагается, что они остаются неизменными, илистационарными во времени. Следовательно, такой спектр не передает полнойстатистической информации об анализируемом случайном процессе, а значит,дополнительная информация может содержаться в статистиках третьего и болеевысокого порядка. Кроме того, многие обычные сигналы, которые приходитсяанализировать на практике, не являются стационарными. Однако короткиесегменты данных, получаемые из более длинной записи данных, можно считатьлокально стационарными. Анализируя изменения спектральных оценок от одноготакого сегмента к другому, можно затем составить представление и обизменяющихся во времени статистиках сигналов, то есть нестационарных. 1.2.Основные определения и теоремы классического спектрального анализа 1.2.1.Непрерывно-временное преобразование Фурье.Определение: Непрерывно-временным преобразованием Фурье называется функция [pic] В спектральном анализе переменная [pic]в комплексной синусоиде [pic]соответствует частоте, измеряемой в герцах, если переменная [pic]измеряетсяв единицах времени (в секундах). По сути дела, непрерывно-временноепреобразование Фурье идентифицирует частоты и амплитуды тех комплексныхсинусоид, на которые разлагается некоторое произвольное колебание.Определение: Обратное преобразование Фурье определяется выражением [pic] Существование прямого и обратного преобразований Фурье с непрерывным временем для данной функции определяется целым рядом условий. Одно из достаточных условий состоит в том, что сигнал [pic]должен быть абсолютно интегрируемым в смысле [pic] 1.2.2 Операции дискретизации и взвешивания для получения дискретно- временных рядов Фурье.Определение: Функцией отсчетов с интервалом [pic]называется следующаяфункция : [pic] Предположим, что берутся отсчеты непрерывного действительнозначногосигнала[pic]с ограниченным спектром, верхняя частота которого равна[pic]герц, так что преобразование Фурье равно нулю при частотах больше [pic].Отсчеты сигнала[pic]с интервалом Т могут быть получены посредствомумножения этого сигнала на функцию отсчетов: [pic] Теперь найдем непрерывное преобразование Фурье [pic], это сверткаспектра сигнала [pic] и преобразования Фурье функции отсчетов по времени синтервалом Т секунд : [pic] То есть свертка [pic] с преобразованием Фурье функции отсчетов[pic]просто периодически продолжает [pic] с частотным интервалом 1/T Гц,соответствующим частотному интервалу между импульсными функциями. В общемслучае отсчеты в одной области (например, временной) приводят кпериодическому продолжению в области преобразования (например, частотной).Если частота отсчетов выбрана достаточно низкой, так что [pic], топериодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними (эффектналожения в частотной области). Частота отсчетов [pic]получила названиечастоты отсчетов Найквиста. Для того чтобы восстановить исходный временной сигнал по его отсчетам,то есть осуществить интерполяцию некоторого континуума значений между этимиотсчетами, можно пропустить дискретизованные данные через идеальный фильтрнижних частот, обладающий прямоугольной частотной характеристикой(взвешивание в частотной области ), используя теоремы о свертке вовременной и частотной областях, получим : [pic] Полученное выражение представляет собой математическую запись теоремыотсчетов во временной области, которая утверждает, что с помощью этойинтерполяционной формулы действительный сигнал с ограниченным спектромможет быть точно восстановлен по бесконечному счетному числу известныхвременных отсчетов, взятых с частотой [pic]. Аналогичный результат можетбыть получен и для комплексных сигналов с ограниченным спектром. Дуальной к теореме отсчетов во временной области является следующаяТеорема. Для ограниченного временем [pic] по длительности сигнала [pic]верно, что [pic] где [pic] Таким образом, преобразование Фурье [pic] некоторого сигнала сограниченной длительностью может быть однозначно восстановлено поэквидистантным отсчетам спектра такого сигнала, если выбранный интервалотсчетов по частоте удовлетворяет условию [pic]герц. Пусть дан произвольный непрерывный сигнал [pic] и его преобразование[pic], которые в общем случае могут быть неограниченными по спектру и подлительности. Если положить, что N отсчетов [pic] во времени взяты сравномерным интервалом T секунд, то ограничим спектр этого сигналачастотами [pic] герц взвешиванием в частотной области: [pic], здесь [pic]-функция окна в частотной области. При этом сигнал трансформируетсяследующим образом [pic]. Далее берутся отсчеты во временной областисформированного первой операцией и ограниченного по спектру сигнала [pic],соответствующие изменения в спектре можно представить как [pic]. Теперьограничимся длительностью сигнала NT :[pic]. И снова свертка в частотнойобласти для спектра полученного на этапе 2 [pic]. Последнее что осталосьсделать - взятие отсчетов по частоте с интервалом 1/NT герц, это приводит кпериодическому продолжению исходных N временных отсчетов. Сигнал напоследнем этапе принимает следующий вид : [pic], а его преобразование :[pic]. Окончательно можно получить, что если исходный сигнал [pic] и [pic]-его преобразование, то на четвертом шаге [pic] и [pic] связаны следующимисоотношениями : [pic] [pic], где [pic] [pic]Последние соотношения называют дискретно-временными рядами Фурье.Исходя из процесса построения дискретно-временных рядов Фурье, можноустановить требуемое точное соотношение между рядом Фурье временнойпоследовательности и соответствующей непрерывно-временной функцией илимежду рядом Фурье преобразования и исходной функции преобразования. Еслиширина спектра [pic] ограничена частотой 1/T герц, то ряд Фурье временнойпоследовательности будет сохранять исходные значения [pic] в отсчетныхточках, однако ряд Фурье последовательности преобразований будет состоятьиз отсчетов некоторого «размытого» варианта исходного преобразования [pic].С другой стороны, если длительность [pic] фактически ограничена интерваломNT секунд, то ряд Фурье последовательности преобразований сохраняетисходные значения [pic] в отсчетных точках, однако ряд Фурье временнойпоследовательности будет состоять из некоторого «размытого» вариантаисходного сигнала [pic]. Эффекты размытия можно ослабить за счет уменьшенияT (так что 1/T будет соответствовать более широкой полосе) или увеличенияN (так что NT будет соответствовать большей длительности), в результатечего дискретно-временной рад Фурье будет точнее аппроксимироватьнепрерывное преобразование. Ряд будет идентичным непрерывномупреобразованию только в случае периодических сигналов, которые можнопредставить в виде суммы из комплексных синусоид с частотами k/NT герц,где k=0,1,...N-1. 1.2.3. Анализ эргодичных дискретных процессов.Определение: Дискретный случайный процесс [pic] эргодичен в среднем если [pic]Определение: Дискретный случайный процесс [pic] автокорреляционно эргодичен если [pic] Допущение об эргодичности позволяет не только ввести через усреднениепо времени определения для среднего значения и автокорреляции, но позволяетдать подобное определение спектральной плотности мощности :Определение: [pic] Эта эквивалентная форма спектральной плотности мощности получаетсяпосредством статистического усреднения модуля дискретно-временногопреобразования Фурье взвешенной совокупности данных, для случая когда числоотсчетов данных увеличивается до бесконечности. Статистическое усреднениенеобходимо здесь потому, что дискретно-временное преобразование самоявляется случайной величиной, изменяющейся для каждой используемойреализации [pic]. Это определение эквивалентно определению спектральнойплотности мощности как дискретно-временное преобразование Фурьеавтокорреляционной последовательности. Если в последнем определении не учитывать операцию математическогоожидания, то получим оценку спектральной плотности мощности, котораяназывается выборочным спектром : [pic] Хотя выборочный спектр не является состоятельной оценкой истиннойспектральной плотности мощности, эта оценка может быть использована есливыполнять некоторого рода усреднение или сглаживания. На использовании этойоценки основан классический периодограммый метод определения спектральнойплотности мощности. 1.3. Классические методы спектрального анализа. 1.3.1 Введение Оценки СПМ, основанные на прямом преобразовании данных и последующемусреднении, получили название периодограмм. Оценки СПМ, для получениякоторых по исходным данным сначала формируется корреляционные оценки,получили название коррелограммных методов спектрального оценивания. При использовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходитсяпринимать множество компромиссных решений, с тем, чтобы по конечномуколичеству отсчетов данных получать статистически устойчивые спектральныеоценки с максимально возможным разрешением. К этим компромиссным решениямотносятся, в частности, выбор таких функций окна для взвешивания данных икорреляционных функций и таких параметров усреднения во временной и вчастотной областях, которые позволяют сбалансировать требования к снижениюуровня боковых лепестков, выполнению эффективного усреднения по ансамблю ик обеспечению приемлемого спектрального разрешения. Устойчивые результаты(малые спектральные флюктуации) и хорошая точность (малое смещениеотносительно истинных спектральных значений на всех частотах) достижимытолько тогда, когда произведение TB, где Т - полный интервал записиданных, а B - эффективное разрешение по частоте, значительно превышаетединицу. Все эти компромиссы можно количественно охарактеризовать в случаегауссовских процессов, для которых подробно теоретически изученыстатистические характеристики классических спектральных оценок. Однаковыбор конкретного метода спектрального оценивания в случае негауссовскихпроцессов зачастую обосновывается только экспериментальными данными. Да ивыбор функции окна очень часто основывается на данных экспериментальных, ане теоретических исследований. 1.3.2. Окна данных и корреляционные окна в спектральном анализе. Окна представляют собой весовые функции, используемые для уменьшенияразмывания спектральных компонент, обусловленного конечностью интерваловнаблюдения. Так, можно считать, что воздействие окна на массив данных (какмультипликативной весовой функции) состоит в уменьшении порядка разрыва награнице периодического продолжения. Этого добиваются, согласуя на границевозможно большее число производных взвешенных данных. Проще всегообеспечить такое согласование, сделав эти производные равными или, покрайней мере, близкими к нулю. Таким образом, вблизи границ интервалавзвешенные данные плавно стремятся к нулю, так, что периодическоепродолжение сигнала оказывается непрерывным вплоть до производных высшихпорядков. С другой стороны, можно считать, что окно мультипликативновоздействует на базисное множество так, чтобы сигнал произвольной частотыимел значительные проекции только на те базисные векторы, частоты которыхблизки к частоте сигнала. Оба подхода ведут, конечно, к одинаковымрезультатам. 1.3.3. Периодограммные оценки Спектральной Плотности Мощности. Пренебрегая операцией вычисления математического ожидания и полагая,что конечное множество данных содержит N отсчетов, получаем выборочныйспектр [pic] который может быть вычислен по конечной последовательности данных.Однако поскольку была опущена операция математического ожидания, эта оценкабудет неустойчивой или несостоятельной. И для сглаживания применяется что-то вроде псевдоусреднения по ансамблю. Существует три различных типасглаживания быстрых флюктуаций спектра. Первый метод заключается в усреднении по соседним спектральнымчастотам. Если для вычисленный выборочный спектр на сетке частот [pic], томодифицированная оценка периодограммы на частоте [pic]может быть полученапосредством усреднения в P точках с каждой стороны от этой частоты [pic] Обобщением этого подхода является обработка выборочного спектра спомощью фильтра нижних частот с частотной характеристикой [pic] . В этомслучае модифицированную периодограмму можно записать в виде сверткичастотной характеристики фильтра нижних частот и самого выборочного спектра [pic] Вторым методом сглаживания выборочного спектра является усреднение попсевдоансамблю периодограмм за счет деления последовательности из Nотсчетов данных на P неперекрывающихся сегментов по D отсчетов в каждом,так что DPq [pic], m<0В частном случае для авторегрессионных параметров, получаем : [pic], [pic] [pic], m=0 [pic], m<0В матричном виде эти соотношения выглядят следующим образом : [pic][pic]Таким образом, если задана автокорреляционная последовательность для [pic],то АР-параметры можно найти в результате решения последнего матричногосоотношения (называемого нормальными уравнениями Юла-Уалкера), гдеавтокорреляционная матрица является и теплицевой, и эрмитовой.Наиболее очевидным подходом к авторегрессионному оцениванию являетсярешение нормальных уравнений Юла-Уалкера, в которые вместо значенийнеизвестной автокорреляционной функции подставляем их оценки. Результатыэкспериментов с этим, первым методом АР-оценивания и сравнение с другимиметодами этого класса приведены в соответствующем разделе. 1.4.3. Методы оценивания коэффициентов отражения.Рекурсивное решение уравнений Юла-Уалкера методом Левинсона связывает АР-параметры порядка p c параметрами порядка p-1 выражением : [pic], где n=1,2,..p-1Коэффициент отражения [pic]определяется по известным значениямавтокорреляционной функции : [pic] [pic], где [pic]Из всех величин только [pic] непосредственно зависит от автокорреляционнойфункции. В разное время предлагалось несколько различных процедур оценкикоэффициента отражения, рассмотрим некоторые из них. 1. Геометрический алгоритм.Ошибки линейного предсказания вперед и назад определяются соответственноследующими выражениями: [pic] [pic]Рекурсивные выражения, связывающие ошибки линейного предсказания моделейпорядков p и p-1, определяются простой подстановкой [pic] и [pic]врекурсивное соотношение для авторегрессионных параметров: [pic] [pic]Несложно показать, что коэффициент отражения обладает следующим свойством(является коэффициентом частной корреляции между ошибками линейногопредсказания вперед и назад) : [pic]Используя оценки взаимной корреляции и автокорреляции ошибок предсказаниявперед и назад, получим : [pic]Таким образом, геометрический алгоритм использует алгоритм Левинсона, вкотором вместо обычного коэффициента отражения, вычисляемого по известнойавтокорреляционной функции, используется его оценка [pic]Окончательный вид выражений геометрического алгоритма : [pic], где n=1,2,..p-1 [pic] [pic], [pic] [pic] [pic], где [pic] 1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга.Алгоритм Берга идентичен геометрическому, однако оценка коэффициентаотражения находится из других соображений, а именно : при каждом значенийпараметра p в нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибоклинейного предсказания вперед и назад (то есть выборочная дисперсия ошибкипредсказания): [pic]Приравнивая производные к нулю, имеем оценку для [pic] : [pic]Некоторым обобщением является взвешивание среднего квадрата ошибкипредсказания для уменьшения частотного смещения, наблюдаемого прииспользовании базового метода Берга: [pic]что приводит к следующей оценке : [pic] 4. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов.Налагая ограничения на авторегрессионные параметры, с тем чтобы ониудовлетворяли рекурсивному выражению метода Левинсона, в методе Бергапроисходит минимизация по одного параметра - коэффициента отражения [pic].Более общий подход состоит в минимизации одновременно по всем коэффициентамлинейного предсказания.Итак, пусть для оценивания авторегрессионных параметров порядка pиспользуются последовательность данных [pic].Оценка линейного предсказаниявперед порядка p для отсчета [pic]будет иметь форму: [pic]где [pic] - коэффициенты линейного предсказания вперед порядка p.Ошибка линейного предсказания : [pic]В матричном виде это выражение записывается как : [pic]и соотношение для ошибки : [pic]Однако если рассматривать, в котором минимизируется следующая,невзвешенная выборочная дисперсия : [pic]то матрица [pic]принимает теплицевый вид (далее ее будем обозначать [pic]).Нормальные уравнения, минимизирующие средний квадрат ошибки имеют следующийвид: [pic]Элементы эрмитовой матрицы [pic]имеют вид корреляционных форм [pic], где [pic]Таким образом, авторегрессионные параметры могут быть получены в результатерешения нормальных уравнений. Рассмотрим алгоритм, который в решениинормальных уравнений учитывает тот факт, что эрмитова матрица [pic]получена как произведение двух теплицевых и в результате этого сводитколичество вычислений к [pic] . При использовании алгоритма Холецкогопотребовалось бы [pic]операций.Ошибки линейного предсказания вперед и назад p-ого порядка [pic] [pic]Здесь вектор данных [pic], вектор коэффициентов линейного предсказаниявперед [pic] и вектор линейного предсказания назад [pic]определяетсяследующими выражениями: [pic], [pic], [pic]На основе отсчетов измеренных комплексных данных [pic]ковариационный методлинейного предсказания позволяет раздельно минимизировать суммы квадратовошибок линейного предсказания вперед и назад: [pic], [pic]что приводит к следующим нормальным уравнениям : [pic], [pic] [pic]Введем необходимые для дальнейшего определения : [pic], [pic]исходя из вида [pic] и [pic] можно записать : [pic], [pic],где вектор столбцы [pic] и [pic]даются выражениями : [pic], [pic]Важными также являются следующие выражения : [pic] [pic]Пара векторов-столбцов [pic]и [pic] определяются из выражений : [pic] [pic]Аналогично определяются вектора [pic]и [pic], а также [pic]и [pic] черезматрицы [pic] и [pic].Процедура, используемая для обновления порядка вектора линейногопредсказания вперед выглядит следующим образом : [pic], где [pic], в котором [pic] [pic]Соответствующий вид имеет процедура обновления порядка для векторапредсказания назад: [pic], где [pic], [pic]Векторы [pic]и [pic]должны удовлетворять следующим рекурсиям обновленияпорядка: [pic] [pic]Используя тот факт, что [pic] является эрмитовой матрицей имеем следующиевыражения для [pic] и [pic]: [pic] [pic]Введем скалярные множители [pic] [pic]Соответствующие рекуррентные выражения для [pic] и [pic]имеют следующий вид: [pic] [pic]Наконец, еще одна рекурсия обновления порядка необходима для вектора [pic]: [pic]Обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейногопредсказания вперед осуществляется в соответствии с выражением : [pic]Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейногопредсказания вперед : [pic]Аналогичным образом обновление временного индекса в векторе коэффициентовлинейного предсказания назад ведется в соответствии с выражением : [pic]Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейногопредсказания назад : [pic] [pic], [pic]где комплексный скаляр [pic]удовлетворяет выражениям : [pic]Соответствующие рекурсии по временному индексу для действительных скаляров[pic] и [pic] даются следующими выражениями: [pic], [pic]Начальные условия необходимы для того, чтобы начать рекурсивное решение спорядка равного нулю: [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе. 5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод 6. Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов 1.5. Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего .Модель авторегресии-скользящего среднего имеет больше степеней свободы, чемавторегрессионная модель, поэтому следует ожидать, что получаемые с еепомощью оценки спектральной плотности мощности будут обладать большимивозможностями для передачи формы различных спектров. Основой спектральногооценивания при помощи модели авторегрессии-скользящего среднего являетсяаппроксимация СС-процесса авторегрессионной моделью высокого порядка. Пусть [pic] - системная функция СС(q)-процесса [pic]-системная функция АР-процесса,эквивалентного этому СС(q)-процессу, то есть [pic]Применим обратное z-преобразование к обеим частям последнего равенства,используя теорему об обратном преобразовании произведения функций, получим: [pic]причем [pic]Таким образом, СС-параметры можно определить по параметрам некоторойэквивалентной авторегрессионной модели посредством решения произвольнойподсистемы из q уравнений. Используя АР-оценки высокого порядка [pic]можнозаписать следующую систему уравнений : [pic]В идеальном случае ошибка [pic]должна быть равна нулю при всех значениях m,за исключением m=0, однако на практике при использовании конечной записиданных эта ошибка не будет равна нулю, поэтому оценки для CC-параметровдолжны определятся посредством минимизации дисперсии квадрата ошибки: [pic]Из структуры уравнения для оценок параметров скользящего среднего видно,что эти оценки можно найти, решив соответствующие нормальные уравнения(здесь используется либо «Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера», либо«Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов»)Общая процедура раздельного оценивания авторегрессионных параметров ипараметров скользящего среднего заключается в следующем. Этап первый -определение авторегрессионных параметров по исходным данным, после этогоисходную последовательность данных необходимо подвергнуть фильтрации дляполучения временного ряда приближенно соответствующего некоторому СС-процессу (этап второй). Этот фильтр имеет системную функцию вида : [pic], где [pic]- оценкиавторегрессионных параметров, определенные с помощью метода наименьшихквадратов. Системная функция процесса авторегресии-скользящего среднегоравна [pic], поэтому [pic] Таким образом, пропуская запись измеренных данных через фильтр с системнойфункцией [pic], получаем на его выходе аппроксимирующий процесс скользящегосреднего. Этап третий : для оценивания СС-параметров применяется процедура,описанная в начале этого раздела. Оценка спектральной плотности мощностиАРСС-процесса имеет вид : [pic], где[pic]- оценка автокорреляции, полученная по фильтрованнойпоследовательности [pic]Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.. 1.6. Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии.Оценка спектральной плотности мощности по методу минимума дисперсии неявляетсяистинной функцией СПМ, поскольку площадь под графиком МД-оценки нехарактеризует полную мощность измеряемого процесса. Обратное преобразованиеФурье, соответствующее МД-оценке, также не совпадает с автокорреляционнойпоследовательностью. Таким образом, МД-оценку можно считать спектральнойоценкой в том смысле, что она описывает относительные интенсивностикомпонент частотного спектра, но не является оценкой истинной СПМ.Минимальная дисперсия - это характеристика, которая более информативнавблизи начала координат оценки. Она получается посредством минимизациидисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра, частотнаяхарактеристика которого адаптируется к спектральным компонентам входногопроцесса на каждой представляющей интерес частоте.Рассмотрим фильтр с p+1 коэффициентами [pic]. Выход [pic]этого фильтра,соответствующий входу [pic], определяется сверткой: [pic]Дисперсия на выходе рассматриваемого фильтра определяется выражением : [pic]Коэффициенты фильтра необходимо выбирать таким образом, чтобы на частоте[pic] частотная характеристика этого фильтра имела единичный коэффициентусиления. Это ограничение можно записать следующим образом: [pic], где [pic]Отсюда следует, что синусоида с частотой [pic], поданная на вход такогофильтра, пройдет без искажений. Для режекции компонент спектра, удаленныхот частоты [pic], необходимо минимизировать дисперсию на выходерассматриваемого фильтра при последнем ограничении. То есть рассматриваетсязадача условной минимизации: [pic][pic]Несложно показать, что при таком ограничении решение по методу минимумадисперсии для коэффициентов фильтра будет удовлетворять уравнению: [pic]Само значение дисперсии: [pic]Отсюда получается выражение для спектральной оценки минимальной дисперсии: [pic]Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе. 7. Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений. 1.7.1. ВведениеКлючевой операцией в методах, основанных на анализе собственных значений,является разделение информации, содержащейся в автокорреляционной матрицеили матрице данных, на два векторных подпространства - подпространствосигнала и подпространство шума. В этих подпространствах можно определятьразличные функции от векторов сигнала и шума для получения оценок частоты.Однако эти оценки не сохраняют мощность анализируемого процесса и,следовательно, не являются оценками истинной СПМ. Далее будет рассмотренметод классификации множественных сигналов.Основная формула практически всех методов оценивания частоты, основанныхна анализе собственных значений имеет следующий вид: [pic], здесь[pic]- собственные значения автокорреляционной матрицы, упорядоченные постепени их убывания; главные собственные вектора [pic] ([pic]),соответствующие собственным значениям [pic].На собственные векторы [pic]натянуто подпространство шума матрицы [pic]и всем им соответствует одно ито же собственное значение [pic]. На главные собственные векторы[pic]натянуто подпространство сигнала матрицы [pic].Разложение автокорреляционной матрицы на собственные значения можно двумяспособами использовать для получения спектральных оценок или, точнееговоря, улучшенных процедур оценок частоты. Сохранение одной лишьинформации, соответствующей собственным векторам пространства сигнала, тоесть формирование для матриц [pic]аппроксимации пониженного порядка,эффективно способствует увеличению отношения сигнал/шум, посколькуустраняет вклад мощности компонент подпространства шума. Этот факт лежит воснове процедур оценок частоты главных компонент (подпространства сигнала).Свойство инвариантных прямых подпространств (подпространств шума и сигнала)положено в основу процедур оценок частоты в подпространстве шума. 1.7.2.Процедуры оценки частоты в пространстве сигнала. 1.7.3.Оценки частоты в пространстве шума. Глава 2. Экспериментальный анализ алгоритмов спектрального анализа.В данной работе математическое моделирование и вычислительные экспериментыпреследовали следующие задачи:1. Провести сравнительный анализ численных методов спектрального анализа на различных типах тестовых сигналах.2. Выявить особенности каждого из методов и на их основе сделать вывод о целесообразности применения того или иного алгоритма в следующих условиях вычислительного эксперимента: 3. Тест-сигнал состоит из смеси комплексных синусоид и шумовых процессов (белых шумов, пропущенных через фильтры с частотными характеристиками типа приподнятого косинуса) (используем для проверки способности метода к сохранению «достоверности» формы спектра) 4. Несколько комплексных синусоид, присутствующие в анализируемом сигнале, имеют близкие частоты (этот тип тестовых сигналов используем для получения предельной разрешающей способности по частоте) 5. В сигнале присутствуют слабые синусоидальные составляющие на фоне сильных шумовых процессов (анализируем способность спектральных оценок обеспечивать обнаружение слабых компонент сигнала). 6. Проводим серию испытаний с одним методом и формируем при этом различные реализации процесса (здесь анализируем качество оценки СПМ, рассматриваемое как функция дисперсии оценки, зависящая от частоты; меньшим значениям функции соответствует лучшая оценка на заданной частоте). Здесь же вводится в рассмотрение равномерный критерий оценки качества получаемых оценок СПМ и на основе его делается вывод о наилучшем методе в рамках своего класса и, вообще, о лучшем из всех исследованных в рамках данной работы. 7. Для вычислительных схем функционирующих в реальном масштабе времени проводим серию экспериментов, направленных на выявление влияния значений параметров на структурную устойчивость алгоритма. 8. Серия экспериментов, направленных на решение вопроса о выборе значений параметров в параметрических методах оценки СПМ (выбор порядка в авторегрессионном методе и методе авторегрессии- скользящего среднего, а также порядок модели линейного предсказания в ковариационном методе; шаг адаптации в адаптивном авторегрессионном алгоритме; действительный весовой множитель в рекурсивном алгоритме наименьших квадратов; количество главных собственных векторов, отвечающих подпространству сигнала в методе, основанном на собственных значениях; тип окна в классических методах спектрального анализа).Сохранение «достоверности» формы спектра - одно из свойств, которое присущепрактически всем исследованным методам. Однако меру «достоверности» сложноопределить аналитически и затем количественно для каждого из методов,поэтому «достоверность» относится к числу субъективных критериев качестваполучаемых оценок и основным подходом к сравнению алгоритмов являетсявизуальное сравнение получаемых оценок с истинным априорно известнымспектром тест-сигнала. Результаты сравнения полученных каждым изисследованных методов оценок приведены в приложении C.Максимально допустимое разрешение оценки СПМ для всех рассмотренных методовприведены в приложении D. Как и следовало ожидать наилучшими в смыслеспектрального разрешения являются альтернативные неклассические методы.Основной недостаток классических методов заключается в искажающемвоздействии какого бы то ни было взвешивающего окна. А псевдоусреднение поансамблю за счет сегментации данных приводит к еще более худшему разрешению(приложение D график N). От этого недостатка свободны все остальные взятыев рассмотрение методы. Однако в случае авторегрессионных методов увеличениепорядка модели наряду с улучшением разрешающей способности приводит кэффекту появления ложного спектрального пика или к расщеплению спектральнойлинии (что продемонстрировано на графике N приложения D). Оценки по методуминимума дисперсии и оценки, полученные авторегрессионными методам, связанынекоторыми соотношениями, поэтому эти же эффекты присутствуют и в МД-оценках. В случае алгоритмов, основанных на сингулярном разложении матрицыданных, значительные ложные пики также имеют место при увеличении порядкамодели.Практически все методы позволяют экспериментально обнаружить слабыесинусоидальные составляющие. В таблице приложения Е приведены максимальнодопустимое соотношение сигнал/шум для всех методов, при котором ещевозможно обнаружить составляющие сигнала, а также графики, иллюстрирующиерезультаты исследования.Приложение F включает в себя получение и исследование дисперсии оценок СПМкак функции частоты.Выбор правильных параметров в методах, функционирующих в реальном масштабевремени сопряжен со значительными трудностями. С одной стороны, еслирассматривать градиентный адаптивный авторегрессионный метод, выборбольшего параметра адаптации приводит к улучшению разрешающей способности ик увеличению «достоверности» спектра, с другой стороны это приводит квозрастанию структурной неустойчивости всей вычислительной схемы, а набольших порядках модели, вообще, к разрушению алгоритма. В эксперименте саудио сигналом для каждого представления отсчетов (под представлениемпонимается следующий набор установок : частота дискретизации из диапазона 8Кгц. - 44 Кгц., количество каналов - 1 (моно)/ 2(стерео), количество битовна отсчет 8 бит/16 бит ) и для каждого набора параметров схемы,осуществляющей сбор данных в реальном масштабе времени (количество(значения из диапазона : 3,...,128) и длина буферных областей задержекданных на входе и выходе (значения из диапазона : 256,...,16384 отчета))было выбрано компромиссное решение. Результаты приведены в приложении G.Поскольку наилучшее значение порядка фильтра в авторегрессионной модели,как правило, не известно, на практике приходится испытывать несколькопорядков моделей. Базируясь на этом, вводят тот или иной критерий ошибки,по которому затем определяем требуемый порядок модели. Если порядок моделивыбран слишком малым, получаются сильно сглаженные спектральные оценки,если излишне большим - увеличивается разрешение, но в оценке появляютсяложные спектральные пики. Таким образом, применительно к авторегрессионномуспектральному оцениванию выбор порядка моделей эквивалентен компромиссумежду разрешением и величиной дисперсии для классических методовспектрального оценивания. Очевидно, что следует увеличивать порядок АР-модели до тех пор, пока вычисляемая ошибка предсказания не достигнетминимума. Однако во всех исследованных методах оценка дисперсии монотонноуменьшается с увеличением порядка модели. Следовательно, одной дисперсииобычно не достаточно для того, чтобы определить момент окончания процедурыизменения порядка.Для выбора порядка АР-модели предложено много различных критериев - своегорода целевых функций. Рассмотрим некоторые из них. Первый критерийназывается окончательная ошибка предсказания(ООП). Согласно этому критерию,выбор порядка осуществляется таким образом, чтобы минимизировать среднююдисперсию ошибки на каждом шагу предсказания. [pic], гдеN - число отсчетов данных, p- порядок АР-процесса и [pic] - оценочноезначение дисперсии белого шума (которая будет использоваться в качествеошибки линейного предсказания).Выбирается такое значение порядка, прикотором величина ООП минимальна. Однако использование этого и последующихкритериев дает отличные результаты только для идеальных авторегрессионныхпроцессов, а в случае реальных данных результат оказывается сильнозаниженным.Вторым критерием, основанным на методике максимального правдоподобияявляется информационный критерий Акаике(он представляет исключительнотеоретический интерес, а на практике используется как нижняя границапорядка модели) [pic]На практике обычно порядок модели выбирают в интервале от N/3 до N/2 где N- длина обрабатываемой последовательности отсчетов. В приложении Нприведены графики оценок СПМ, полученных при различных значениях порядкамодели. Особенности реализации Для решения поставленных задач был разработан и реализован языкпроектирования алгоритмов, включающий в себя средства межзадачного обменаданными, то есть построение распределенных по процессам вычислительныхалгоритмов, определенные части которого исполняются параллельно несколькимипроцессам. Дальнейшим развитием этого подхода является построение сетевыхраспределенных схем алгоритмов. Существует большое количество приложенийэтого подхода. ЗаключениеВ данной работе :1. Tеоретически проанализированы методы спектрального анализа, а также возможность применения этих методов в современных вычислительных системах для обработки данных в реальном масштабе времени.2. Получены результаты поставленных экспериментов и на их основе выбран наиболее подходящий метод оценивания спектральной плотности мощности в аддитивной смеси комплексных синусоид и окрашенного стационарного шумового процесса для каждого из типов экспериментов, сформулированных в разделе экспериментальных результатов.3. Дано описание и выполнена реализация схемы управления процессом обработки данных в реальном времени, использующая преимущества параллельной архитектуры вычислительных систем.4. Cформулирован ряд требований по вычислительным ресурсам при реальной обработке, сделан анализ длины выборки данных при различном представлении входного сигнала.5. Получены результаты по эксперименту вычисления характеристик окон и на их основе выбрано наилучшее решение в смысле разрешения (недостаточное качество разрешения по частоте в классических спектральных методах может быть улучшено исключительно выбором весового окна, а выбор параметров метода второстепенен по отношению к выбору окна) в каждом эксперименте по оцениванию спектральной плотности мощности тест-сигнала.Приложениe А. Смещение периодограммы Уэлча.Здесь доказывается факт, который используется в разделе классическихметодов. Среднее периодограммы Уэлча можно записать в следующем виде: [pic]Докажем, что его можно представить в виде свертки истинного спектра(спектральной плотности мощности) и нормированного квадрата модулядискретно-временного преобразования используемого окна данных, то есть как [pic], где [pic] и [pic]Рассмотрим выборочный спектр взвешенного p-ого сегмента в диапазоне частот[pic]: [pic]Найдем непосредственно квадрат модуля в последнем равенстве [pic] [pic]Подставив в формулу для математического ожидания периодограммы Уэлча,получим следующее выражение: [pic] [pic] [pic]Введем в рассмотрение следующее окно данных (свертка используемого окнаданных с тем же комплексно сопряженным, но в обратном времени, окном): [pic]Его дискретно-временное преобразование Фурье равно, по теореме о свертке вовременной области, произведению преобразований Фурье окна данных [pic]иокна [pic]. Если заметить, что преобразование окна [pic] равно комплексно-сопряженному преобразованию окна [pic], то искомое выражение для [pic]будет равно квадрату модуля [pic], где [pic]Заменяя кратную сумму в выражении [pic]и учитывая, то обстоятельство, что за пределами интервала шириной Dотсчетов окно данных тождественно равно нулю, имеем: [pic] [pic][pic]Приложениe I. Список используемой литературы.




Похожие:

Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени iconЗадача спектрального анализа и цифровая обработка сигналов
Фурье и спектральной плотности в интеграле Фурье в зависимости от частоты или круговой частоты. Спектральный анализ сигналов имеет...
Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени iconПрограмма государственного экзамена
Классификация и обработка биомедицинских сигналов. Анализ биомедицинских сигналов (амплитудный, спектральный)
Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени iconСпектры. Спектральный анализ и его применение. Подготовил: студент группы фтрф-22 Ахтариев Дмитрий. Проверил: преподаватель Кусенова Асия Сабиргалиевна Караганды – 2003г. План Введение Энергия в спектре Виды спектров Спектральный анализ и его применение Спектральные аппараты Спектр электромагнитных

Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени iconМетодические указания по выполнению лабораторной работы №2 по курсу "Цифровая обработка сигналов"
Для полигармонических сигналов вводится понятие спектра, т е совокупности простых гармонических составляющих, на которые можно разложить...
Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени iconСпектры. Спектральный анализ Конспект. Спектры, спектральный анализ. Источник света должен потреблять энергию. Свет это электромагнитные волны с длиной волны 4*10-7 8*10-7 м

Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени iconСпектры. Спектральный анализ Открытый урок
Спектры. Спектральный анализ Открытый урок Цель урока познакомиться со спектрами химических веществ и практическим применением спектрального...
Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени iconТема: Спектры и спектральный анализ в физике подготовил студент группы № зф-46
Спектральный состав излучения различных веществ весьма разнообразен. Но, несмотря на это, все спектры, как показывает опыт, можно...
Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени iconАвтоматизация технологических процессов и обработка информации в реальном масштабе времени Предприятие партнер ООО «Томскнефтехим»
Направление специализации автоматизация технологических процессов и обработка информации в реальном масштабе времени
Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени iconЛекция Цифровая обработка сигналов. Основные понятия
В настоящее время методы цифровой обработки сигналов, digital signal processing (dsp) находят все более широкое применение, вытесняя...
Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени iconДокументи
1. /РТЦиС/RGR002_task.pdf
2. /РТЦиС/exams_2004spring_215-220.pdf
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы