Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра icon

Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра



НазваниеМосковский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра
Павленко А.Э
Дата конвертации13.07.2012
Размер107.91 Kb.
ТипАнализ
скачать >>>


Московский государственный институт

Электроники и математики

(технический университет)


Кафедра

«Информационно-коммуникационные технологии»



Домашняя работа


по дисциплине

«Основы теории управления»


Выполнил:

Студент группы С – 54

Павленко А.Э.

Проверил:

Маркин П.М.


Москва 2010 г.

Содержание


Содержание 3

1.Аннотация 7

2.Техническое задание 8

Анализ технического задания 12

3.Алгоритм решения 13

Разделение многомерной системы на две системы: по входу и по выходу 13

Поиск передаточной функции системы (эквивалентного звена) с помощью эквивалентных преобразований 14

Критерий Гурвица 20

Критерий Найквиста 22

4.Анализ устойчивости по управлению 24

Вычисление передаточной функции по управлению 24

Преобразование схемы к эквивалентному звену: 26

Поиск параметра (критерий Гурвица) 34

Проверка алгебраическим методом 39

Проверка геометрическим критерием Найквиста 41

Частотные характеристики 46

Амплитудно-фазовая частотная характеристика 46

Амплитудно-частотная характеристика 48

Вещественно-частотная характеристика 50

Мнимо-частотная характеристика 52

Фазо-частотная характеристика 54

5.Анализ устойчивости по возмущению 56

Вычисление передаточной функции по возмущению 56

Преобразование схемы к эквивалентному звену 58

Поиск параметра (критерий Гурвица) 62

Проверка геометрическим критерием Найквиста 67

Частотные характеристики 72

Амплитудно-фазовая частотная характеристика 72

Амплитудно-частотная характеристика 74

Вещественно-частотная характеристика 76

Мнимо-частотная характеристика 78

Фазо-частотная характеристика 80

6.Заключение 83

Использованная литература 84

Приложение 1. Исходный код. 85

  1. Аннотация


В работе проведен анализ устойчивости многомерной системы. Анализ производился с помощью алгебраического (Гурвица) и геометрического (Найквиста) критериев.
  1. Техническое задание


Для заданной модели определить коэффициент усиления звена k системы с тем, что система будет:

  • устойчивой;

  • неустойчивой.



Построить частотные и временные характеристики.


Анализ устойчивости проводить алгебраически (критерий Гурвица) и геометрически (критерий Найквиста) критерии.



Анализ технического задания


Анализируемая система является многомерной, линейной, непрерывной, стационарной, детерминированной системой управления с сосредоточенными параметрами и аналоговыми сигналами.

В процессе решения возникает проблема вычисления корней полиномов высокой степени, а также вычисления определителей матриц высокого порядка. С целью ускорения таких вычислений в работе применено средство автоматизированного вычисления Maple 11.
  1. Алгоритм решения

Разделение многомерной системы на две системы: по входу и по выходу



Реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.



где, х- вектор состояний, с- скаляр, L- линейный оператор.

Поиск передаточной функции системы (эквивалентного звена) с помощью эквивалентных преобразований



В структурных схемах системы реализуются только операции умножения и суммирования передаточной функции и звеньев.

Поскольку эти операции коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны, то задача построения структурной схемы системы может решаться неоднозначно, т.е. можно получить несколько вариантов графического представления. Но после соответствующих преобразований оказывающихся эквивалентными.

A =

Л = {∙, +} f: W2 ─> W

М = {W}i =1,n f = WЧW

Множество возможных преобразований строится на основе двух основных свойств звеньев (сложение и умножение)

  • Совокупность последовательно соединенных n однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого равна произведению передаточных функций исходных звеньев.






Действительно, т.к. y1= W1(p)V1, … , y= Wn(p)yn-1, то исключив из этой системы y1…yn-1 получим y = W1(p)*W2(p)*…*Wn(p)*V

  • Совокупность параллельно соединенных однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого есть сумма передаточных функций звеньев.





y1 = W1(p)*V, y2 = W2(p)*V, … , yn = Wn(p)*V


Сложив эти n уравнений имеем:




  1. Поиск характеристического уравнения системы.

  2. Анализ характеристического уравнения алгебраическим методом или с помощью алгебраических или геометрических критериев.

Алгебраический метод подразумевает под собой поиск корней характеристического уравнения и проверку принадлежности их к левой полуплоскости комплексных чисел.

Критерий Гурвица


Пусть — передаточная функция системы, а

— характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином в виде



Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица ? по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Тогда согласно критерию Гурвица:

Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Критерий Найквиста


Этот критерий позволяет по годографу амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости ее в замкнутом состоянии. Предполагая, что степень полинома частотной характеристики разомкнутой системы в числителе меньше, чем степень полинома знаменателя частотной характеристики разомкнутой системы, а также, что указанные полиномы не имеют общих корней с неотрицательной вещественной частью. Критерий Найквиста формулируется следующим образом:

Система неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая m корней с положительной вещественной частью будет устойчива в замкнутом состоянии если амплитудно-фазовая характеристика охватывает точку (-1, ) в направлении против хода часовой стрелки раз.

  1. Анализ устойчивости по управлению

Вычисление передаточной функции по управлению


Схема, управляемая входом X(p)



Преобразование схемы к эквивалентному звену:









Откуда найдем эквивалентное звено заменой участков схемы с обратными связями на эквивалентные звенья (для краткости, в формуле произведены замены вида w1(p) ? w1):





Подставляя значения wi получаем:

В числителе:




В знаменателе:





Поиск параметра (критерий Гурвица)


Коэффициенты знаменателя:





















Составляем матрицу Гурвица:




Все диагональные миноры матрицы H должны быть больше 0 одновременно:

















Таким образом, по критерию Гурвица при


система устойчива по управлению.

Проверка алгебраическим методом


Теперь необходимо проверить решение алгебраическим методом:

Проверим алгебраическим методом устойчивость системы при


При k = -1 система не устойчива по управлению.

При k = 10 система устойчива по управлению.

При k = 30 система не устойчива по управлению.


Проверка геометрическим критерием Найквиста


k=10;

? =0..? ?=0..30



? =0..5 ?=0..2




Как видно из графиков система устойчива по критерию Найквиста.

Частотные характеристики

Амплитудно-фазовая частотная характеристика



Амплитудно-частотная характеристика



Вещественно-частотная характеристика



Мнимо-частотная характеристика



Фазо-частотная характеристика



  1. Анализ устойчивости по возмущению

Вычисление передаточной функции по возмущению



Преобразование схемы к эквивалентному звену




Откуда найдем эквивалентное звено заменой участков схемы с обратными связями на эквивалентные звенья (для краткости, в формуле произведены замены вида w1(p) ? w1):



Подставляя значения wi получаем:

В числителе:




В знаменателе:



Поиск параметра (критерий Гурвица)


Коэффициенты знаменателя:




















Составляем матрицу Гурвица:



Все диагональные миноры матрицы H должны быть больше 0 одновременно:
















Данная система имеет решение


а значит по критерию Гурвица устойчива.

Проверка геометрическим критерием Найквиста


k=10;

? =0..? ?=0..30



? =0..10 ?=0..2




Как видно из графиков система устойчива по критерию Найквиста.

Частотные характеристики

Амплитудно-фазовая частотная характеристика



Амплитудно-частотная характеристика



Вещественно-частотная характеристика



Мнимо-частотная характеристика



Фазо-частотная характеристика




  1. Заключение


В данной работе был проведен анализ устойчивости многомерной системы и по результатам анализа вычислено, что система является неустойчивой при любом значении коэффициента обратной связи k. Анализ производился алгебраическим методом, а именно, с помощью алгебраического (Гурвица) и геометрического (Найквиста) критериев. Критерии позволяют оптимизировать анализ устойчивости системы. Математические пакеты позволяют во много раз ускорить вычисления требуемых величин.

Использованная литература


1. Лекции ОТУ, Маркин П. М.

2. Справочная информация о Maple

Приложение 1. Исходный код.


> p:='p'; k:='k'; w1:=0.75*p;







> w2:=0.2*p/(0.015*p+1);



> w3:=0.002*p+1;



> w4:=0.009*p^2+0.002*p+1;



> w5:=0.04/(0.07*p^2+0.01*p+1);



> w6:=k;



> w7:=0.3/(0.6*p+1);



> w8:=k/p^2;



> w9:=0.3*(0.3*p+1);



> we1 := ((w1+w4)*(w5+w2*w3))/( 1+(w1*w7*w9+w8)*(w5+w2*w3)); we1 := normal(we1, expanded);






> we2 := w6/(1+(w1*w7*w9+w8)*(w2*w3+w5)); we2 := normal(we2, expanded);






> q1:=denom(we2);



> p:='p';

with(PolynomialTools):koef:=CoefficientList(q1,p);





> a0:=koef[9];

a1:=koef[8];

a2:=koef[7];

a3:=koef[6];

a4:=koef[5];

a5:=koef[4];

a6:=koef[3];

a7:=koef[2];

a8:=koef[1];



















> H:=<,,<0|a1|a3|a5|a7|0|0|0>,<0|a0|a2|a4|a6|a8|0|0>,<0|0|a1|a3|a5|a7|0|0>,<0|0|a0|a2|a4|a6|a8|0>,<0|0|0|a1|a3|a5|a7|0>,<0|0|0|a0|a2|a4|a6|a8>>;



> with(linalg):Delta7:=H;

with(linalg):Delta6:=minor(Delta7,7,7);

with(linalg):Delta5:=minor(Delta6,6,6);

with(linalg):Delta4:=minor(Delta5,5,5);

with(linalg):Delta3:=minor(Delta4,4,4);

with(linalg):Delta2:=minor(Delta3,3,3);

with(linalg):Delta1:=minor(Delta2,2,2);

d7:=det(Delta7);

d6:=det(Delta6);

d5:=det(Delta5);

d4:=det(Delta4);

d3:=det(Delta3);

d2:=det(Delta2);

d1:=det(Delta1);

solve({d1 > 0}, k);

solve({d2 > 0}, k);

solve({d3 > 0}, k);

solve({d4 > 0}, k);

solve({d5> 0}, k);

solve({d6> 0}, k);

solve({d7> 0}, k);











































> solve({d7>0,d6>0,d5>0,d4>0,d3>0,d2>0,d1>0},k);



> k:=10; p:=I*w; we2; q1;

we2;

phase1:=arctan(Im(we2)/Re(we2));













> plot([Re(we2), Im(we2), w=0..infinity]);






Похожие:

Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра iconШаповалов Игорь Владимирович
Государственное образовательное учреждение институт электроники высшего профессионального образования Московский Государственный...
Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра iconВальская Полина Владимировна
Государственное образовательное учреждение институт электроники высшего профессионального образования Московский Государственный...
Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра iconБулатов Андрей Александрович
Государственное образовательное учреждение институт электроники высшего профессионального образования Московский Государственный...
Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра iconЩербатюк Александр Васильевич
Государственное образовательное учреждение институт электроники высшего профессионального образования Московский Государственный...
Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра iconТереховский Андрей Григорьевич
Государственное образовательное учреждение институт электроники высшего профессионального образования Московский Государственный...
Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра iconСмирнов Алексей Михайлович
Государственное образовательное учреждение институт электроники высшего профессионального образования Московский Государственный...
Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра iconФилимонцев Сергей Александрович
Государственное образовательное учреждение институт электроники высшего профессионального образования Московский Государственный...
Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра iconПоложенцев Дмитрий Владимирович
Государственное образовательное учреждение институт электроники высшего профессионального образования Московский Государственный...
Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра iconПоловов Андрей Викторович
Государственное образовательное учреждение институт электроники высшего профессионального образования Московский Государственный...
Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра iconПеченкин Александр Сергеевич
Государственное образовательное учреждение институт электроники высшего профессионального образования Московский Государственный...
Московский государственный институт Электроники и математики (технический университет) Кафедра iconМорозов Евгений Евгеньевич
Государственное образовательное учреждение институт электроники высшего профессионального образования Московский Государственный...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы