Постановка проблемы icon

Постановка проблемы



НазваниеПостановка проблемы
Дата конвертации03.07.2012
Размер132.33 Kb.
ТипДокументы
скачать >>>

Проверка статистических гипотез

Постановка проблемы


При анализе свойств исследуемого объекта требуется сделать выбор. Какая из двух альтернатив (гипотеза H0 либо гипотеза H1) в большей степени согласуется с результатами наблюдения за объектом?

Изначально исследователь должен определиться, какая из альтернатив (гипотез) для него основная и какая фоновая. Далее предполагаем, что основная гипотеза H0.

При любом выборе менеджер, прежде всего, должен оценить последствия принимаемого решения, минимизировать риски, учитывать вероятности возможных ошибок:

P(отклонить H0|верна H0) = ?, уровень значимости ошибки 1-го рода;

P(принять H0|верна H1) = ?, уровень значимости ошибки 2-го рода.

Выбор предпочтительной альтернативы по результатам наблюдения за изучаемым объектом можно реализовать по следующей схеме.

а) Если существует критерий T принимающий числовые значения (T|H0) и (T|H1) при реализации каждой гипотезы, который можно рассматривать как случайную величину с фиксированным законом распределения для каждой из гипотез, и

б) критическая область K? маловероятных для гипотезы H0 возможных значений критерия (T|H0) на фоне гипотезы H1 такая, что Р(T|H0)∊ K?) ? ?.

Тогда если (T|H0)∊ K?), то H0 отклоняется на фоне альтернативной гипотезы H1.

Иллюстративный пример

При планировании телевизионной рекламы нового продукта требуется определиться, следует ли выбрать для телевизионной рекламы подготовленный для трансляции ролик.

В качестве критерия применяется комплексная экспертная оценка Х, выставляемая зрителем ролику по методике учитывающей эмоциональное воздействие ролика и ассоциирование его с рекламируемым продуктом. Специалисты рекомендуют использовать некоторое пороговое значение оценки Т0.

Оценки ниже этого порога (Х < Т0) характеризуют ролик как неэффективный. По рекомендации экспертов рассчитывать на успех ролика можно при среднем значении оценки Х не менее 3.5.

Гипотеза H0: среднее значение оценки Х не менее 3.5 или Е[X] = m0 = 3.5.

Гипотеза H1: среднее значение оценки Х менее 3.
5 или Е[X] = m1 < m0 = 3.5.

Следовательно, критическая область отклонения H0: «среднее значение оценок Х меньше порогового уровня m0» - односторонний критерий.

Моделирование
Подбор модельной случайной величины X оценок, для которой альтернативные свойства H0 и H1 можно рассматривать как свойства условных случайных величин: (X|H0) и (X|H1).

Предполагается, что можно организовать наблюдения за реализациями случайной выборки (Xn) - независимых одинаково (однако неизвестно как) распределенных случайных величин. Наблюдаемые значения случайной выборки (Xn) обозначим (хn)

В качестве критерия Т для решения проблемы проверки альтернативных гипотез подбирается соответствующая случайная функция от Xn: Т = f(Xn), Т = Т(Xn).

По результатам наблюдений критерий принимает значение t = Тнабл =Т(хn).

Решение проблемы: если t ϵ K?, (принимает значения в критической области), то основная гипотеза H0 отклоняется на фоне альтернативной гипотезы H1 с уровнем значимости ошибки 1-го рода ?.

Типовые задачи проверки статистических гипотез
H
0 - основная гипотеза; H1- конкурирующая гипотеза.

По результатам выборки (Xn) независимых одинаково распределенных наблюдений при заданном допустимом уровне ошибки (уровне значимости ?) отклонения основной гипотезы требуется определить критическую область К?, область отклонения H0:
Р((Xn) К?|H0) ? ?.

(Из возможных альтернатив для К? желательно добиться максимума Р((Xn)К |H1).)

Типовая задача 1 (анализ среднего значения). H0: M[X] = m0.
a) H1: M[X] = m1 ? m0 - двухсторонняя альтернатива;

б) H1: M[X] = m1 > m0 и в) H1: M[X] = m1 < m0 - односторонние альтернативы.

Несмещенная оценка для M[X]: выборочная средняя T1(Xn) = к.

Критерий: Случайная величина T1 = T1(Xn)  N(T1(хn); ) имеет нормальный закон распределения, (как следствие центральной предельной теоремы теории вероятностей).

Требуется определить критическую область К?, область отклонения H0:
Р((Xn) К?|H0) ? ?.


Стандартизованный критерий: T 1ст(Xn) = 

Типовая задача 1.а. Дисперсия известна: D[X] = (?x)2 , Tст(Xn) = , имеет стандартный нормальный закон распределения.

Типовая задача 1б. Дисперсия оценивается несмещенной исправленной выборочной дисперсией: D[X] ? S2 [X]= S2испр(Xn) = к-T1 )2. S2испр(Xn)  (?x)2 (?n-12/(n-1)),
здесь ?2n-1 имеет закон распределения хи-квадрат (Пирсона) с (n-1) степенью свободы.

Тогда стандартизованный критерий: Tст(Xn) = n-1 ,

n-1 случайная величина Стьюдента с (n -1) степенью свободы.

Задача 1. По результатам выборки (X10) десяти независимых одинаково распределенных наблюдений случайной величины X с известной дисперсией
D[X] = (?x)2 = 4 следует проверить гипотезу о том, что среднее значение X равно 5
с допустимым уровнем значимости ошибки 2.5%, (?=0,025). (Среднее значение наблюдений получилось равным 7.)

Решение:

  1. H0: M[X] = 5 .

2. Принимая во внимание результаты наблюдений (выборочная средняя T1(xn) = 7),
будем рассматривать правостороннюю альтернативную гипотезу:
H 1: M[X] = m1 > 5 .

3. Стандартизованный критерий Tст(Xn) N(0;1), имеет стандартное нормальное распределение. При уровне значимости ошибки ? = 0.025 (H0: M[X] = 5), критическая область отклонения H0 представляется интервалом ? = (1.96; 

(По таблице: Ф0(1.96) = 0.475 (= 0.5 - 0.025).)

4. По результатам наблюдения критерий принимает значение, попадающее в критическую область: [T1стn)]набл =  =  =   3.16 .

Ответ: Отклоняется основная гипотеза H0 о равенстве 5 среднего значения наблюдений в пользу альтернативы: среднее значение больше пяти при уровне значимости ошибки первого рода ? = 0.025.

Типовая задача 2
2. Анализ средней доли «успехов» в N испытаниях Бернулли, X
 B(p).
По результатам наблюдения N одинаковых независимых испытаний Бернулли фиксируется доля успешных исходов.

H0: M[X] = p = p0; H1: а) p ? p0; б) p >p0; в) p < p0;

Критерий: w = (nусп /N). nусп  B(N;p0).

а) При p0 = 0.5
либо для любых p0 при больших значениях N (несколько десятков или сотен)
nусп  N(Np0; Np0(1- p0)).

Стандартизованный критерий: Uстанд =   N(0;1).


Задача 2.

Специалист утверждает, что может диагностировать улучшенное качества продукта по внешнему виду выпускаемого продукта без дополнительных замеров.

Было проведено 15 экспериментов. Специалист правильно обнаружил улучшение качества продукта в 9 случаях; ошибочные ответы были в 2 случаях; никакого вывода сделать не удалось в 4 случаях.

Можно ли по результатам эксперимента с уровнем значимости в 7% считать, что специалист действительно может диагностировать улучшение качества продукта по внешнему виду?

Решение.

Модель: Последовательность n = 15 независимых наблюдений Бернулли: успех – правильный ответ, все остальные исходы – ошибочный ответ.

Результат наблюдений: 15 независимых наблюдений (xn) сл.в. Бернулли X B(p) .

Базовая гипотеза H0: p = p0 = 0.5 : результаты всегда случайны.
Альтернатива: H1 : p1 > 0.5 .

Критерий проверки базовой гипотезы будем строить по наблюдениям за суммарным количеством верных ответов S .

Эта случайная величина S имеет Биномиальное распределение S  B(N;p), N= 15 .
С некоторыми допусками (при p0 = 0.5 случайная величина имеет симметричное распределение) S можно приблизить нормально распределенной случайной величиной.

Критерий проверки базовой гипотезы H0: p0 = 0.5, стандартизованная случайная величина
T = T1ст(Xn) = (SM[S])/ = (SNp)/ = z0 ,
имеющая приближенно стандартное нормальное распределение N(0;1).

Тогда критическая область К? отклонения гипотезы H0 с уровнем значимости ошибки
? = 0.07 будет: К? = {T: |T| > z0; 0.93 = 1.475} .

Наблюдаемое значение критерия

Tнабл = (9-15·0.5)/ = 0.773 < z0; 0.93 = 1.475 не попадает в критическую область К?.

Ответ:

Базовая гипотеза H0 : p0 = 0.5 не отклоняется (? = 0.07) на фоне альтернативной гипотезы H1 : p1 > 0.5 .
По результатам эксперимента с допустимым уровнем значимости ошибки первого рода ? = 0.07 специалист не может диагностировать улучшение качества продукта по внешнему виду.

Типовая задача 2. (Анализ дисперсии) H0: D[X] = ?2 = ?20.

а) H1: D[X] = ?12 ? ?20 - двухсторонняя альтернатива;

б) H1: D[X] = ?12 > ?20 и в) H1: D[X] = ?12 < ?20 - односторонние альтернативы.

Оценка для D[X]: выборочная дисперсия T2(Xn) = S2 = k T1(Xn))2.

Типовая задача 2. а. Математическое ожидание М[X] = m известно, тогда

несмещенная выборочная дисперсия для D[X]: S2(Xn) = (Sn)2(Xn)= k m)2.

Критерий проверки гипотезы H0: D[X] = ?20

случайная величина S2(Xn) = (Sn)2(Xn)  ?20 ? 2n / n

Стандартизованный критерий: (S2)ст = (Sn)2(Xn)/[ ?20/n]  ? 2n - случайная
величина хи-квадрат с n степенями свободы.

Типовая задача 2.б. Математическое ожидание М[X] = m неизвестно, тогда несмещенная исправленная выборочная дисперсия для D[X] будет (Sn-1)2:

D[X] ? (Sn-1)2(Xn)= k T1(Xn))2.

Основная гипотеза H0: D[X] = (?0)2 .

Критерий проверки основной гипотезы: случайная величина
S2(Xn) = (Sn-1)2(Xn)  ?2? 2n-1 / (n-1).

Стандартизованный критерий: (S2)ст = (Sn-1)2(Xn)/[ ?2/(n-1)] ? 2n-1 - случайная величина хи-квадрат с (n-1)-й степенью свободы.

Типовая задача 3. (Анализ однородности парных наблюдений).

По результатам наблюдения двух выборок (Xn) иn) независимых в совокупности 2n случайных величин. Случайные величины каждой выборки имеют одинаковое распределение. M[Xk] = mx; D[Xk] = (?x)2; M[Yk] = my; D[Yk] = (?y)2.

Типовая задача 3.a. H0: mx = my . Известны значения ?x и ?y.

Модель: Рассмотрим совокупность (Dn): Dk = (Xk - Yk):

M[Dk] = md = mx - my; D[Dk] = (?x)2 + (?y)2 = (?d)2.

Для этой совокупности задача сводится к базовой гипотезе: H0: md = 0.

Несмещенная оценка для M[D]: выборочная средняя Т1(Dn) = к .

Критерий: Случайная величина T1(Dn)  N(T1(dn); ).

Стандартизованный критерий: T1ст(Xn) =  T1(Dn)/( ?d/)  N(0;1) .

Типовая задача 4***. (Проверка независимости парных наблюдений).

Модель. По результатам наблюдения выборки (X; У)n проверить их соответствие
базовой гипотезе H 0: ?(X, У) = 0 .

Критерий проверки H0: несмещенная оценка ?(X,У) коэффициент корреляции Пирсона:

? = ?П ((X; У)n) =(k – T(Xn)(Yk– T(Yn)]/x2)Y2)]  N(?; (1-?2)2/n)

при n >> 1. В формуле, ? равно значению ?П ((х; у)n).

Стандартизованный критерий проверки H0:  tn-2 .

n-2 случайная величина Стьюдента с (n -2) степенями свободы.





Похожие:

Постановка проблемы iconКонструкции научного стиля Формулировка темы / постановка проблемы
Формулировка темы / постановка проблемы: в статье излагается один из подходов к…; в настоящей работе предлагается средство…; Настоящая...
Постановка проблемы iconН. Н. Шляго Постановка проблемы
Проблемы становления управленческого учета на современных российских предприятиях
Постановка проблемы iconНаучно-исследовательская работа по физике на тему: Альтернативные источники энергии ученик 9А класса
Постановка проблемы, методы решения поставленной проблемы, предмет исследования, цели и задачи, гипотеза
Постановка проблемы iconТема урока: БуквыЧиЩв суффиксах имен существительных -чик- (-щик-) Цели
Методические приемы: постановка учебной проблемы учителем, поиск решения проблемы учениками под руководством учителя, выполнение...
Постановка проблемы iconА., Гришко А. К. К проблеме повышения качества продукции
Проводится постановка проблемы, изучаются особенности проблемы и её решение путём комплексного ведения информационной модели (электронного...
Постановка проблемы iconДеятельность
Анализ проблемы. Определение источников информации. Постановка задач и выбор критериев оценки результатов. Распределение ролей в...
Постановка проблемы iconРеферат на тему: философские аспекты взаимоотношений человека и природы в условиях глобального экологического кризиса
Постановка проблемы: человек, природа, цивилизация с. 5
Постановка проблемы iconЛитература по II части курса «Теория отраслевых рынков»
Базовая постановка проблемы «принципал-агент» и проблема морального риска в условиях множественности целей
Постановка проблемы iconЛитература по II части курса «Теория отраслевых рынков»
Базовая постановка проблемы «принципал-агент» и проблема морального риска в условиях множественности целей
Постановка проблемы iconВ. А. Куза Образование Новгород – Северкого княжества. Постановка проблемы. Проблемы формирования территории «Русской земли»
Однако полной ясности в данных вопросах до сих пор нет, что объясняется достаточно скупой информацией письменных источников, но главное...
Постановка проблемы iconВ. А. Куза Образование Новгород – Северкого княжества. Постановка проблемы. Проблемы формирования территории «Русской земли»
Однако полной ясности в данных вопросах до сих пор нет, что объясняется достаточно скупой информацией письменных источников, но главное...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы