Автор: Каменский А. Г icon

Автор: Каменский А. Г



НазваниеАвтор: Каменский А. Г
страница1/4
Каменский А.Г
Дата конвертации29.06.2012
Размер363,01 Kb.
ТипЛекция
скачать >>>
  1   2   3   4



ЛЕКЦИИ


по


Теории Функций Комплексного Переменного


Автор: Каменский А.Г.


Набор: Шатов А.Н.

e-mail: nclog@bk.ru


2003г.


Лекция №1

Комплексные числа


Опр. x+iy – комплексное число, где x,y – действительные числа, i – мнимая единица.

;

Опр. Комплексное число – упорядоченная пара действительных чисел: z=(a,b).


Пусть =(a,b); =(c, d);

+=(a+c, b+d);

g= (ga, gb), где g – действительное число;

=(ac-bd, ad+bc);

(0,1)=i;

(0,1)(0,1)=(-1,0);

z=(x,y)=x(1,0)+y(0,1)=x+iy;

;


y


(x,y)




x


|z| = = r;

arg z= = arctg - аргумент комплексного числа;

Arg z = + 2 - главный аргумент;

z = r(cos + i*sin)= r;

= cos + i*sin - формула Эллера.

=+i=(cos+i*sin);

=+i=(cos+i*sin);

=(cos(+)+i*sin(+));

=(cos n+sin n);

(cos + i*sin), k=0,1,…,n-1;

= x-iy

z=|z=;

Топология комплексной плоскости


Опр. - расстояние между числами .

Опр. -окрестностью z называется множество всех таких точек :

Опр. = w



Опр. Множество М называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Опр. Множество называется открытым, если каждая его точка принадлежит ему с некоторой ее окрестностью.

Опр. Множество называется связанным, если всякие его две точки можно соединить ломанной с конечным числом звеньев, целиком принадлежащих этому множеству.

Опр. Открытое связанное множество называется областью.

Опр. Множество называется односвязанным, если оно ограничено одной несамопересекающейся замкнутой кривой и оно связанное.

Опр. Множество называется двусвязанным, если оно ограничено двумя несамопересекающейся замкнутыми кривыми и оно связанное.


Функции комплексного переменного


Опр. Если даны множества М и G на комплексной плоскости и каждому z из M соответствует w из G, то говорят, что функция .

Опр. ;



Опр. (1) - степенной ряд.

Утв. Ряд (1) сходится внутри круга и расходится вне его. При он сходится равномерно.


Некоторые разложения:

;

;


;


Докажем формулу Эллера:

= cos + i*sin



;

;

-доказывается умножением рядов.

;

;

Периодичность функции :

;


Опр. =, если



Опр. Множество точек z: называется окрестностью бесконечно удаленной точки.

Лекция 2

Дифференцируемость функций комплексного переменного


Опр. , если этот lim и не зависит от того, как стремится к нулю.


Если z=z+iz, то


Теорема. Если дифференцируема в точке z и ,то в точке z выполняются условия Коши-Римана:



Док-во:


Y z+


z z+


X

;

;


.

Теорема. Если u и v дифференцируемые функции в точке z и для них выполнены условия Коши-Римана, то w=u+iv будет дифференцируемой в точке z.

;

;


;

Опр. Функция f(z) наз. Аналитической в точке z, если она дифференцируема в точке z и в некоторой ее окрестности.

Пример.









условия Коши-Римана выполняются





Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части.







Опр. Функция называется гармонической в области G, если в этой области выполняются условие:



Утв. Если функция аналитическая, то ее действительная и мнимая части – гармонические функции.

Док-во:

;

;

т.к. , складывая эти равенства, получаем , т.е.

u – гармоническая функция. Аналогично v - гармоническая функция.

Доказано.







Пример.





Опр. Функция f(z) называется однолистной в области G, если:



Пример.

- не однолистная на всей плоскости

- однолистная в области


Поверхности Римана


1.




z х W v

- +

- -

+

y u

+









Разрежем плоскость W по лучу Ох. Верхний край первой плоскости соединим с нижним краем второй, верхний край второй соединим с нижним краем третей и т.д. до n. Верхний край n-ой плоскости склеим с нижним краем первой. Получим поверхность Римана для функции .


2.

y + v



-

+

+

x u -







Лекция 3

Конформные отображения

Опр. Отображение обладающие свойствами консерватизма углов и постоянства растяжений называется конформным.

Теорема. Если аналитическая функция в области G в G, то задает конформное отображение области G.

Док-во:

y v

w




z

x u


; ;

; ;

- постоянство растяжений.





- консерватизм углов.

Доказано.


1. Линейная функция.



1) - параллельный перенос.

2)







При линейном преобразовании прямые переходят в прямые, окружность переходит в окружность.


2. Дробно-линейная функция.




, т.е. дробно-линейное преобразование сводится к линейному и функции .

Опр. Обобщенная окружность:



, т.е. это окружность или прямая.

Теорема. Дробно-линейная функция отображает обобщенную окружность в обобщенную окружность.

Док-во:

























- обобщенная окружность.

Опр. Точки B и С - сопряженные относительно окружности Г, если любая окружность , проходящая через эти точки, ортогональна Г.

Лемма. Если точки В и С явл. Сопряженными относительно окр-ти с центром О, А-точка пересечения Г и ., то .

Утв. Если дробно – линейное отображение, то переводит точки, сопряженные относительно окружности, в точки, сопряженные относительно ее образа.





Z W

А С



В

O




;



, т.е. сопряженными являются точки 0 и .


Примеры решения задач:

Задача 1.

Отобразить полуокружность в единичный круг.


Z W

  1   2   3   4




Нажми чтобы узнать.

Похожие:

Автор: Каменский А. Г iconИ. О. Автор 1, И. О. Автор 2, И. О. Автор 3 название книги
Азнак название книги: вид издания / И. О. Автор 1, И. О. Автор 2, И. О. Автор – Пермь: Изд-во Перм гос техн ун-та, 2008. – 000 с
Автор: Каменский А. Г iconИ. О. Автор 1, И. О. Автор 2, И. О. Автор 3 название книги
Азнак название книги: вид издания / И. О. Автор 1, И. О. Автор 2, И. О. Автор – Пермь: Изд-во Перм гос техн ун-та, 2008. – 000 с
Автор: Каменский А. Г iconА. Б. Каменский Проблемы изучения и интерпретации прошлого (Россия XVIII xix вв.)

Автор: Каменский А. Г iconI раздел : Историческое знание А. Б. Каменский
Прошлое нашего прошлого (проблематика исторической культуры в Российской империи)
Автор: Каменский А. Г iconАдминистративные и экономические реформы Петра I
Анисимов Е. В., Каменский А. Б. Россия в XVIII первой полови­не XIX века: История. Историк
Автор: Каменский А. Г iconТема: «Василий Макарович Шукшин. Писатель. Актер. Режиссер»
Образовательное учреждение: гоу спо «Каменский медицинский колледж» Алтайского края
Автор: Каменский А. Г iconРукописи учебников / учебных пособий, получивших гриф умо в 2011 г. «Экономика труда»
...
Автор: Каменский А. Г iconЗадача по экспрессии ранних генов (быстрое умерщвление животного, мыши), д) регистрация синаптических потенциалов на препарате ганглия (улитка)
Присутствовали: Марфенин Н. Н., Полетаева И,И., Каменский А. А., Брызгалина Е. В., Васильев Б. Д., Галушин В. М., Кошелев В. Б.,...
Автор: Каменский А. Г iconЗаседание Комиссии по биоэтике Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова 12 марта 2008 г., Ректорат мгу имени М. В. Ломоносова
Присутствовали: Марфенин Н. Н., Б. Г. Юдин, Полетаева И,И., Каменский А. А., Е. В., Васильев Б. Д., Галушин В. М., Кошелев В. Б.,...
Автор: Каменский А. Г iconЗаседание Комиссии по биоэтике Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова 21 января 2009 г., Биофак мгу, ауд. 462, (5-е заседание в 2008-2009 учебном году)
Присутствовали: Марфенин Н. Н., Юдин Б. Г., Полетаева И. И., Брызгалина Е. В., Кошелев В. Б., Каменский А. А., Сухарева Г. С., Кавтарадзе...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы