Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами icon

Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами



НазваниеЛинейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
Дата конвертации21.08.2012
Размер59.56 Kb.
ТипРеферат
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами


Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Донской Государственный Технический Университет кафедра “Высшей математики” _______________________________________________________ Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами доклад по математике Выполнил Груздев Владимир Викторович студент группы У-1-47 Руководитель Братищев Александр Васильевич г.Ростов-на-Дону 2000 г. Доклад посвящен теме, которой,по мнению автора, в курсе дифференциального исчисления уделено недостаточное внимание, "СЛДУ с периодическими коэффициентами". Приведены основные определения, теоремы, на основе которых можно искать решения (периодические) подобных систем. Рассмотрены несколько примеров на тему. Содержание.1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами…………………….…….…………..42. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами..…………………………………………6Примечания………………………………………………...…………………..7Примеры………………………………………………………………….…….8 Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений ? = F(t)z (- ( < t < + (), (1)где F(t) — непрерывная периодическая матрица с периодом (: F(t + () = F(t). Пусть z1(t), …, zn(t) — фундаментальная система решений для системыуравнений (1), определяемая начальными условиями zj(0) = ej (j = 1, …,n), (2)где ej = (j1, …, (jn (см. примечание 1). Поскольку матрица F(t)периодическая, функции z1(t + (), …, zn(t + () также образуютфундаментальную систему решений. Таким образом каждая из функций zj(t + ()будет линейной комбинацией zk(t) (k = 1, …, n) с постоянными коэффициентами(см. примечание 2), поэтомугде сjk (j, k = 1, …, n) — постоянные. Последние соотношения можнозаписать в виде Z(t + () = Z(t)C, (3)где Z(t) — фундаментальная матрица решений zj(t) (j = 1, …, n), а С = (сjk)— постоянная матрица.В силу (1) и (2) матрица Z(t) удовлетворяет условиям ? = F(t)Z, Z(0) = E.Полагая в равенстве (3) t = 0, получим Z(() = C. Таким образом, Z(t + () = Z(t)Z((). (4) Матрица Z(() называется матрицей монодромии системы уравнений (1).Очевидно (Z(()( ( 0. Собственные значения матрицы Z(() называютсямультипликаторами системы уравнений (1). Отметим, что если матрица F(t) действительная, то матрица монодромиитакже действительная, однако мультипликаторы будут, вообще говоря,комплексными числами. Теорема 1. Для того чтобы комплексное число ( было мультипликаторомсистемы уравнений (1), необходимо и достаточно, чтобы существовало такоенетривиальное решение ((t) системы (1), для которого ((t + () = (((t). (5) Доказательство. Пусть ( — мультипликатор системы уравнений (1), тогдасуществует такой вектор z0 ( 0, что Z(()z0 = (z0.Рассмотрим следующее нетривиальное решение системы уравнений (1): ((t) = Z(t)z0.В силу (4) ((t + () = Z(t + ()z0 = Z(t)Z(()z0 = Z(t)(z0 = (Z(t)z0 = (((t).
Необходимость условия сформулированного в теореме, доказана. Докажемдостаточность. Из соотношения (5) при t = 0 получим ((() = (((0). (6)В силу теоремы единственности ((t) = Z(t) ((0), (7)причем ((0) ( 0, так как в противном случае решение ((t) было бытривиальным. Из равенства (7) в силу (6) следует то, что Z(()((0) = ((() = (((0).Таким образом, ((0) — собственный вектор матрицы Z(?), а ? — мультипликаторсистемы уравнений (1). Теорема доказана. Из доказанной теоремы непосредственно вытекает Следствие. Линейная однородная система уравнений (1) имеетнетривиальное решение с периодом ? в том и только в том случае, когда одиниз ее мультипликаторов равен единице. Замечания. 1. Имеет место Теорема Флоке. Фундаментальная матрица Z(t) допускает следующеепредставление: Z(t) = Ф(t)eAt [1],где Ф(t) — периодическая матрица с периодом ?, а А — постоянная матрица. 2. Легко видеть, что матрица Ф(t) удовлетворяет следующему условию:откуда непосредственно следует, что замена переменных z = Ф(t)y переводитсистему уравнений (1) в систему уравнений с постоянными коэффициентами (см.примечание 3)Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Рассмотрим система дифференциальных уравнений ? = F(t)z + g(t) (- ( < t < + (), (8)где F(t) — непрерывная периодическая матрица с периодом ?, g(t) —непрерывная периодическая вектор-функция с периодом ?. Нас будутинтересовать периодические решения этой системы уравнений с периодом ?. Теорема 2. Пусть однородная система уравнений (1) (соответствующаянеоднородной системе (8)) не имеет нетривиальных периодических решений спериодом ? (то есть все ее мультипликаторы отличны от единицы). Тогдасистема уравнений (8) имеет единственное периодическое решение с периодом?. Доказательство. Любое решение системы уравнений (8) может бытьпредставлено в виде (9)где Z(t) — фундаментальная матрица системы уравнений (1). Выберемфундаментальную матрицу Z(t) так, чтобы было Z(0) = E.В этом случае формула (9) примет вид (при t0 = 0) (10)Потребуем, чтобы решение z(t) имело период ?: z(t + ?) = z(t). (11)В частности, при t = 0 z(?) = z(0). (12)Оказывается, что если для некоторого решения z(t) выполнено условие (12),то оно имеет период ?. В самом деле, z(t + ?) и z(t) — два решения системыуравнений (8), удовлетворяющие в силу (12) одному и тому же начальномуусловию при t = 0. В силу теоремы единственности эти решения тождественносовпадают, то есть имеет место соотношение (11). Таким образом, условиетого, что решение z(t) имеет период ?, можно записать в виде (12). В силуформулы (10) соотношение (12) примет вид (13)По условию теоремы, все мультипликаторы системы (1) отличны от единицы.Поэтому (Z(() - E( ( 0 (характеристическое уравнение (Z(() - ?E( = 0 неимеет корня ? = 1) и система уравнений (13) однозначно разрешимаотностильно z0. Теорема доказана. Замечание. В случае, когда однородная система уравнений (1) имеетнетривиальное периодическое решение с периодом ?, линейная неоднороднаясистема уравнений (8) может или вообще не иметь периодических решений спериодом ? (если система уравнений (13) несовместна), или иметь нескольколинейно независимых периодических решений с периодом ? (если системауравнений (13) имеет бесконечное множество решений).Примечания:1. (j1 = 1;0; …;0, …, (jn = 0;0; …;1.2. Любое решение x(t) однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальной системы решений x1(t), …,xn(t).3. Все выводы получаются следующим образом:из ? = F(t)Z и Z(t) = Ф(t)eAt следует то, что, подставляя второе выражениев первое, получимПримеры:Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладетеорем и следствий к ним:Пример 1: Показать, что линейное уравнение второго порядкагде f(t) — непрерывная периодическая функция с периодом ?, имеетединственное периодическое решение с периодом ?, если Решение.Сведем дифференциальное уравнение к системе и применем теорему 2:1. Имеем2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составить матрицу монодромииоднородной системы и все собственные значения этой матрицы должны бытьотличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу дляоднородной системы, соответствующей неоднородной системе (*):3. Находим мультипликаторы однородной системы:Итак, если все мультипликаторы системы уравнений (**) отличны от единицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, что система (*),а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственное периодическое решение с периодом ?.Задача решена.Пример 2: Показать, что линейное уравнение второго порядкапри a?2?k/? (k(R) имеет единственное периодическое решение с периодом ?(см. пример 1); при a=(2?/? не имеет периодических решений с периодом ?, апри a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1 и 0) все его решения —периодические с периодом ?. Решение.Очевидно, что здесь необходимо воспользоваться теоремой 2 и замечанием кней. Решение данного примера необходимо разбить на 3 части (для каждого изусловий). Поскольку при нахождении матрицы монодромии в предыдущем примеремы свободный член исходного дифференциального уравнения не использовали иучитывая одинаковые правые части дифференциальных уравнений обоих примеров,можно будет сразу воспользоваться некоторыми выкладками примера 1.Итак, матрица монодромии имеет следующий вид:1.[a?2?k/? (k(R)] Как мы установили в примере 1, любое линейное уравнениевида при указанных ограничениях действительно имеет единственноепериодическое решение с периодом ?.2-3.[a=(2?/?; a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1 и 0)]При данных значениях а однородная система (**) из 1-го примера имеетнетривиальное периодическое решение с периодом ?, тогда в соответствии сзамечанием к теореме 2 линейная неоднородная система уравнений,соответствующая заданному дифференциальному уравнению , может или вообще неиметь периодических решений с периодом ? (для случая 2 необходимоустановить несовместность системы уравнений (13)), или иметь несколькопериодических решений с периодом ? (для случая 3 необходимо установить, чтосистема уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).Сначала мы будем случаи 2 и 3 рассматривать совместно: Система уравнений (13):Неоднородная система, соответствующая заданному дифференциальномууравнению:Далее решать систему будем отдельно для каждого заданного значения а:если в системе (***) справа будет получена нулевая матрица, то она имеетмножество решений, если нет – не имеет их вообще.2. Подставляем в систему (***)a=(2?/?:3. Подставляем в систему (***)a=2?k/? (k — любое целое число, не равное (1и 0):Таким образом,система (13') имеет бесконечное множество решений для данныхзначений а ( исходное дифференциальное уравнение имеет несколько линейнонезависимых периодических решений с периодом ?.Замечание. Отдельно стоит рассмотреть случай, когда а=0 (этому случаюсоответствует k=0, если a=2?k/?).Если а=0, то матрицы, обратной фундаментальной матрице системы (**), несуществует, отсюда сразу следует несовместность системы (13'), а значитисходное линейное уравнение второго порядка не имеет периодических решений.Задача решена.-----------------------[1] [pic]-----------------------[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]




Похожие:

Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами iconРешение систем дифференциальных уравнений
Многие задачи, связанные с анализом динамических систем и их математическим моделированием, базируются на решении обыкновенных дифференциальных...
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами iconЛекции по качественной теории дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск, рхд, 2005, 319 с
Общие свойства движений и траекторий автономных систем дифференциальных уравнений. Векторное поле в одномерном случае. Автономные...
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами iconТема 11. Системы дифференциальных уравнений 11. 1 Общие понятия. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши
Решением системы (11. 1) в интервале называется совокупность функций непрерывных дифференциальных в и обращающих вместе со своими...
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами iconСистемы линейных ду с постоянными коэффициентами
Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений 1 в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных...
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами iconЧисленные методы решения дифференциальных уравнений
В настоящее время разработано большое число методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами iconТема 10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами iconУчебник Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа. 10 класс» Учитель № урока Содержание материала Кол-во часов Примерная дата
Алгебраические выражения. Линейная функция. Линейные уравнения и системы уравнений. Числовые неравенства и линейные неравенства с...
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами iconУравнений и её решение?
В данной части моего реферата, я хотел бы рассказать вам, что же такое линейные функции с двумя переменными и их системы
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами icon«Интегральное исчисление»-2
Линейные неоднородные порядка n с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы