Похідна та її застосування icon

Похідна та її застосування




Скачать 183.6 Kb.
НазваниеПохідна та її застосування
Дата конвертации16.08.2012
Размер183.6 Kb.
ТипРеферат
Похідна та її застосування


ЗмістВступ............................................................................................................................1Розділ 1. Основні теоретичнівідомості.................................................................2 1. Походження поняття похідної............................................................ ........2 2. Екстремуми функції............................................................. ........................5 3. Зростання та спадання функції............................................................. ......9 4. Найбільше та найменше значення функції..............................................11 5. Означення дотичної, під дотичної, нормалі............................................13Розділ 2. Застосуванняпохідної............................................................................17 1. Правила диференціювання..................................................... ...................17 2. Дослідження функції та побудова її графіка...........................................21 3. Застосування похідної для розв’язування рівнянь..................................26 4. Текстові задачі на екстремум........................................................... .........28Висновок....................................................................................................................31Список використаноїлітератури.........................................................................32 Вступ Розділ алгебри та початків аналізу “Похідна та її застосування”займає значне місце у шкільному курсі математики, в першу чергу тому, щомає велике прикладне значення. Програма з математики для загальноосвітньої школи відводить навивчення теми “Похідна та її застосування” приблизно, 26 годин(загальноосвітньої школи), 46 годин (ліцеї і гімназії з поглибленимвивченням математики). Основна складність полягає в тому, щоб навчити школярів застосуватипохідну для дослідження функцій, розв’язання прикладних задач алгебри тагеометрії. Показати алгоритми застосування похідної, що значно полегшуєрозв’язання багатьох типів задач. Об’єктом дослідження даної атестаційної курсової роботи є питання:застосування похідної для дослідження функцій на монотонність та екстремум,побудова графіків функцій після їх повного дослідження, знаходженнянайбільшого та найменшого значення функції на відрізку, прикладні задачі назнаходження найбільшого та найменшого значення функції, складання рівняннядотичної, нормалі, піддотичної і текстові задачі на екстремум функції. Робота складається з вступу і двох основних частин: основнітеоретичні відомості, де наведено означення похідної, історія виникненняпохідної, основні теореми, необхідні та достатні умови зростання (спадання)функції, достатня ознака екстремуму функції, та наведені алгоритмирозв’язання конкретного типу задач; другий розділ, який розбито напідрозділи, в якому розглядаються різноманітні приклади, наводиться їхрозв’язання з повним поясненням. Розділ 1 Основні теоретичні відомості 1.1. Походження поняття похідної Ряд задач диференціального вирахування був вирішений ще встародавності.Основне поняття диференціального вирахування – поняття похідної – виникло вXVII ст. у зв'язку з необхідністю вирішення ряду задач з фізики, механіки іматематики, у першу чергу наступних двох: визначення швидкостіпрямолінійного нерівномірного руху і побудови дотичної до похідної плоскоїкривої. Перша з цих задач була уперше вирішена Ньютоном. Функцію він називавфлюентою, тобто поточною величиною (від латинського fluere - текти),похідну ж - флюксіей (від того ж fluere). Ньютон позначав функції останнімилітерами латинського алфавіту u, x, y, z, а їх флюксії, тобто похідні відфлюент за часом, - відповідно тими ж літерами з крапкою над ними: [pic] Для доказу свого правила Ньютон, випливаючи в основному з Ферма,розглядає нескінченно малий приріст часу dt, що він позначав знаком х0,відмінним від нуля. Вираз x0, що позначається нині [pic]і називаєтьсядиференціалом (dx), Ньютон називав моментом. Ньютон прийшов до поняття похідної, виходячи з питань механіки. Своїрезультати в цій області він виклав у трактаті, названому їм «Метод флюксійі нескінченних рядів», що був складений близько 1671 р. Припускають, щоНьютон відкрив свій метод флюксій ще в середині 60-х років XVII в., однаквищезгаданий його трактат був опублікований посмертно лише в 1736 р. Математиків XV - XVII ст. довго хвилювало питання про перебуваннязагального методу для побудови дотичної в будь-якій точці кривої. Задача цябула зв'язана також з вивченням рухів тіл і з відшуканням екстремумівнайбільших і найменших значень різних функцій. Деякі окремі випадки вирішення задач були дані ще в стародавності. Таку «Початках» Евкліда дан спосіб побудови дотичної до окружності, Архімедпобудував дотичну до спіралі, що носить його ім'я, Аполлоній - до еліпса,гіперболи і параболи. Однак давньогрецькі вчені не вирішили задачу докінця, тобто не знайшли загального методу, придатного для побудови дотичноїдо будь-якої плоскої кривої в похідній її точці. Із самого початку XVII в. чимало вчених, у тому числі Торрічеллі,Вивиани, Роберваль, Барроу, намагалися знайти вирішення питання, прибігаючидо кінематичних міркувань. Перший загальний спосіб побудови дотичної доалгебраїчної кривої був викладений у «Геометрії» Декарта. Більш загальногоі важливим для розвитку диференціального вирахування був метод побудовидотичних Ферма. Ґрунтуючись на результатах Ферма і деяких інших висновках, Лейбницзначно повніше своїх попередників вирішив задачу, про яку йде мова,створивши відповідний алгоритм. У нього задача знаходження tg( , тобтокутового коефіцієнта дотичної в точці М, до плоскої кривої, обумовленоюфункцією [pic], зводиться до знаходженню похідної функції y по незалежнійзмінній x при даному її значенні (або в даній точці) x = x1. Можна навести й інші приклади, що показують, яку велику роль граєпоняття похідної в науці і техніці: прискорення – є похідна від швидкостіза часом, теплоємність тіла – є похідна від кількості тепла по температурі,швидкість радіоактивного розпаду – є похідна від маси радіоактивноїречовини за часом і т.п. Вивчення властивостей і способів обчисленняпохідних і їхнє застосування до дослідження функцій складає головнийпредмет диференціального вирахування. Перша друкована праця по диференціальному вирахуванню булаопублікована Лейбницем у 1684 р. Це були мемуари, що з'явилися в 1682 р. вматематичному журналі «Acta Eruditorum» (прототип «Навчальних записок») іозаглавлений «Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, дляякого не є перешкодою дробові й ірраціональні кількості, і особливий дляцього рід вирахування». У цій статті, що складається усього лише з 6сторінок, міститься виклад суті методу вирахування нескінченно малих,зокрема викладаються основні правила диференціювання. Отже, якщо в «Методіфлюксій» як первісне поняття фігурує швидкість, то в «Новому методі»Лейбница таким поняттям є дотична . Збільшення абсциси Лейбниц позначав через dx, що відповідає збільшеннюординати – через dy. Нині уживаний символ похідної бере свій початок від Лейбница. У Лейбница основним поняттям була непохідна, для якої він навіть спеціального терміна не мав, а диференціал. У середині XVIII ст. Ейлер став користуватися грецькою літерою ? дляпозначення приростів змінних величин, тобто ?y = y2 – y1, ?х = x2 – x1 іт.д. Це позначення збереглося понині. Ми пишемо: [pic].Позначення [pic]і [pic]для похідної ввів Лагранж. Сам термін «похідна» уперше зустрічається у француза Луа Арбогаста вйого книзі «Обчислення похідних», опублікованої в Парижі в 1800 р. Цимтерміном відразу ж став користуватися і Лагранж. Термін цей швидко ввійшову загальний ужиток, а Коші, використовуючи початкову літеру цього терміна,став позначати похідну символом Dy або Df(x). Термінологія Ньютона (флюенти, флюксії) і його символи похідноїутратили своє значення. Лише у фізиці і механіці в деяких випадкахпозначають крапками над літерами похідні за часом. Перший друкований курс диференціального вирахування вийшов у світ вПарижі в 1696 р. під заголовком «Аналіз нескінченно малих». Його автор Г.Ф. Де Лопиталь за основу цієї книги взяв рукопис Йоганна Бернуллі, одного знайближчих співробітників Лейбница. Ось чому цей курс варто розглядати яктиповий добуток школи Лейбница. У першій же главі своєї книги Лопиталь вимагає, «щоб величина,збільшена або зменшена на іншу нескінченно малу величину, могла бутирозглянута як незмінна». Отут нескінченно мала розглядається як нуль, їїможна відкидати. Це один з фундаментальних принципів вирахуваннянескінченно малих Лейбница, нині відкинутий наукою. Цим принципомкористувався Лопиталь і при установленні формул диференціювання. У перший період розробки математичного аналізу основоположники цієїтеорії не могли досить чітко і ясно обґрунтувати принципи цієї теорії ітому шукали підтвердження правильності теорії в узгодженості математичнихвисновків з досвідом, із практикою при вирішенні задач механіки йастрономії. Однак проста перевірка гіпотези на практиці не дає абсолютноївпевненості в її непогрішності. Досить одного факту, що не погодиться зданою гіпотезою, як вона буде спростована. Ось чому на наступних етапахперед математиками виникла проблема суворого математичного обґрунтуваннятеорії математичного аналізу. 1.2. Екстремуми функції Точка х0 називається точкою локального максимуму функції [pic], якщодля будь-яких досить малих [pic] виконується нерівність [pic]. Точка х0 називається точкою локального мінімуму функції [pic], якщодля будь-яких досить малих [pic] виконується нерівність [pic]. Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції[pic], а значення функції в екстремальних точках – її екстремальнимизначеннями. Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:Теорема 1.Якщо функція [pic] має в точці х0 локальний екстремум, то або[pic], або [pic]не існує. Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може [pic], а функція[pic]в цій точці екстремуму не має. Точки, в яких функція [pic] визначена та неперервна, і в цих точках[pic] або не існує, називаються критичними для функції. Проте не в кожній критичній точці функція [pic] має екстремум. Томупотрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f. Їх дають такітеореми:Теорема 2.Нехай функція [pic]неперервна в деякому інтервалі, який міститькритичну точку х0, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (завинятком, можливо, самої точки х0). Якщо для х<х0 [pic], а для х0 і диференційованав інтервалі (а,б).для того, щоб функція f була зростаючою(спадною) напроміжку , необхідно і достатньо виконання двох умов: 1. [pic] [pic] 2. рівність [pic]не повинна виконуватися ні в жодному інтервалі, що міститься в .Як наслідок цієї теореми можна використовувати таку теорему (достатняознака строгої монотонності): Теорема. Нехай функція f неперервна на проміжку ідиференційована в інтервалі (а,б). Якщо [pic] [pic], то f зростає(спадає)на . Тому для знаходження проміжків зростання та спадання диференційованоїфункції [pic]діють у такий спосіб: 1. Знаходять: а)область визначення функції [pic], якщо вона наперед не задана; б)похідну[pic]даної функції[pic]; в)точки, в яких похідна дорівнює нулю, для чого розв’язуютьрівняння[pic], а також точки, в яких функція визначена, але похідна [pic]не існує, їх називають критичними точками. 2. Визначають знак похідної [pic]на конкретному інтервалі, достатньо обчислити її значення для будь-якого значення аргументу, що належить цьому інтервалу. ПрикладиПриклад 1. Знайти проміжки зростання та спадання функції [pic]Розв’язання. Функція визначена і диференційована на множені R.Знайдемо її похідну [pic].Нулями похідної є х1=1, х2=[pic].Оскільки похідна неперервна, то вона зберігає знак на інтервалах [pic].Оскільки похідна задана квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом прих2, то вона набуває додатних значень поза коренями, тобто[pic] наінтервалах [pic] і від’ємних між коренями, тобто [pic] на інтервалі [pic].Отже , на інтервалах[pic] функція f зростає, а на інтервалі [pic]– спадає.Приклад 2. Довести, що функція [pic]спадає на R.Розв’язання. Дана функція визначена і диференційована на R.Знайдемо похідну [pic].Оскільки для [pic] [pic], то дана функція f спадає на R. 1.4. Найбільше та найменше значення функції Нехай дано функцію[pic], яка неперервна на відрізку [a;b],диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченого числаточок, де вона не існує. Необхідно ж знайти найбільше та найменше значенняфункції на цьому відрізку. А як відомо з математичного аналізу, функція,яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого і найменшогозначення. Чим викликана необхідність знаходження найбільшого і найменшогозначення функції на відрізку? Справа в тому, що в практичних задачах, де процес, явище, закон,величина описуються певною функцією, зміст самої задачі накладає певніобмеження на аргумент, тобто аргумент має певні межі. Так, наприклад, кут трикутника може змінюватися лише від 0 до П,швидкість тіла доводиться розглядати в проміжку часу від t0 до t1 та інше.Тому й необхідно досліджувати поведінку функції на конкретному проміжку[a;b] або на його кінцях, то чинять так: 1. знаходять критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислюють значення функції в цих точках; 2. знаходять значення функції на кінцях відрізка, тобто[pic]; 3. серед усіх значень вибирають найбільше і найменше значення. У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого інайменшого значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадкуобмежуємось обчисленням значень [pic]. По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше танайменше значення функції, неперервної в інтервалі (a;b). Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого інайменшого значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція [pic] вінтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніхточках інтервалу. У цьому випадку чинять так: 1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, іобчислюють значення функції в цих точках; 2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і б , тобто[pic]. Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції вкритичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точкахбільші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим)значенням функції на інтервалі.Приклади.Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b] [pic]Розв’язання. На даному відрізку функція визначена і неперервна,диференційована в інтервалі(-2;2). Знайдемо похідну, критичні точки: [pic] [pic] х=0знайдемо значення функції в критичній точці і на кінцях відрізка: [pic]Отже, [pic] [pic].Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b] [pic]Розв’язання. Функція визначена і неперервна на відрізку [pic], диференційнав інтервалі (-1;1). Тому вона набуває на даному відрізку найбільшого інайменшого значення. Знайдемо критичні точки даної функції. Для цьогознайдемо похідну [pic]і прирівняємо її до нуля: х4+8х=0; х=0; х=-2.Отже, на інтервалі (-1;1)функція має лише одну критичну точку х=0. знайдемозначення функції в цій точці [pic].Обчислимо значення функції на кінцях відрізка [pic], [pic].Отже, [pic], [pic]Відповідь:[pic],[pic] 1.5. Означення дотичної, піддотичної, нормалі Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х0. рівняння дотичної дографіка функції y=f(x) в цій точці має такий вигляд: [pic],де х і у – біжучі координати дотичної, f ‘(x0)=k – кутовий коефіцієнтдотичної, який дорівнює значенню похідної в точці х0, тобто тангенс кутанахилу дотичної до доданого напрямку осі абсцис. [pic] Відрізок АВ, що міститься між абсцисою точки дотику і точкою перетинудотичної з віссю абсцис, називають під дотичною. Її довжина дорівнює |х0-х1|. Пряма МС, перпендикулярна до дотичної в точці її дотику М до графікафункції у=f(x), називається нормаллю. Рівняння нормалі записують у вигляді: [pic]якщо f ‘(x0)[pic]0(в противному разі рівняння нормалі х-х0=0). На цей матеріал можна скласти ряд задач. Розглянемо деякі з них. 1. Дано абсцису точки дотику х0 графіка функції у=f(x), а необхіднозаписати рівняння дотичної, що проходить через точку з цією абсцисою.Для цього знаходимо похідну функції у=f(x), її значення в точці х0, тобто[pic], та значення функції в точці х0, тобто [pic]. Цих даних достатньо,щоб записати рівняння дотичної [pic]. 2. Який кут утворює дотична з додатним напрямком осі абсцис, якщовідома абсциса точки дотику х0? Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної [pic],то [pic]. Таким чином, задача зводиться до знаходження похідної функції у=f(x),тобто y’=f ‘(x), і обчислення її значення в точці х0. 3. Знайти гострий кут між дотичними, проведеними до графіків функцій[pic],що мають спільну абсцису х0: [pic] [pic], [pic]. 4. Знайти довжину дотичної до графіка функції у=f(x), абсциса точкидотику якої дорівнює х0. Довжиною дотичної прийнято називати відстань між точкою дотику дографіка функції і точкою її перетину з віссю абсцис. У цьому випадку знаходимо [pic]і скористаємося формулою [pic] Приклади:Приклад 1. Знайти рівняння дотичної до графіка функції [pic]в точці з абсцисою х0=3.Розв’язання. Знайдемо похідну функції, значення функції та її похідної вточці х0: [pic]скориставшись рівнянням дотичної [pic],матимемо [pic]Звідси [pic].Відповідь:[pic].Приклад 2. Який кут з віссю абсцис утворює дотична до параболи y=x2-4x+8 вточці (3;5)?Розв’язання. Безпосередньо підстановкою координат заданої точки в рівнянняпараболи переконуємося, що вона їй належить.Знайдемо похідну y’=2x-4.Тоді [pic]. Звідси [pic]Відповідь:[pic]Приклад 3. Дотична до графіка функції [pic]нахилена до осі абсцис під кутом [pic]. Знайти координати точки дотику.Розв’язання. Знайдемо похідну функції[pic]: [pic].За умовою y’(x0)=tg[pic]=1 маємо [pic]отже, дотична до параболи проходить через точку А(2;2).Відповідь: А(2;2). Розділ 2 Застосування похідної 2.1. Правила диференціювання Теорема: Якщо функції u(x) і ((x) мають похідні у всіх точках інтервалу(a; b), то (u(x)((x))’ = u’(x)((’(x) для любого х є (a; b). Коротше, (u(()’ = u((’ Доведення: Суму функцій u(x)+((x), де х є (a; b), яка представляє собою нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції, Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді [pic] [pic] Також, [pic] Так як х0 – допустима точка інтервалу (a; b), то маємо: [pic] Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена. Наприклад, а) [pic] б) [pic] в) [pic] Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливістьформули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених. Теорема. Якщо функції u(x) і ((x) мають похідні у всіх точках інтервалу(a; b), то [pic] для любого х є (a; b). Коротше, [pic] Доведення. Позначимо похідні [pic]через [pic] х є (a; b), і найдемопохідну цієї функції, виходячи із визначення. Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді [pic] Навіть так як [pic] то [pic][pic] [pic] Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то маємо [pic] Теорема доведена. Приклад, а) [pic][pic][pic] б) [pic] [pic] в) [pic] Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної: [pic] Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему пропохідну де а – число, отримаємо [pic] Приклади. а) [pic] б) [pic] Похідна частки двох функцій . Теорема. Якщо функції [pic] мають похідні у всіх точках інтервалу (a;b), причому [pic] для любого х є (a; b), то [pic] для любого х є (a; b). [pic] Доведення. Позначимо тимчасово [pic] через [pic] знайдемо[pic]використовуючи визначення похідної. Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді, [pic] Навіть, так як [pic] то [pic] і послідовно [pic] Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х0можна замінити на х. Теорема доведена. Приклади. а) [pic] б) [pic] 2.2. Дослідження функції та побудова графіка Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка: 1) знайти область визначення функції та множину її значень; 2) дослідити функцію на парність та непарність, періодичність; 3) знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки розриву, проміжки знакосталості функції; 4) дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності, знайти якщо вони є, асимптоти графіка; 5) знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції, точки екстремуму та екстремальні значення функції; 6) знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках; 7) для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних точок, через які він проходить. Зауважу, що на практиці не завжди є потреба досліджувати функцію занаведеною схемою і в такій саме послідовності. Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лишепісля знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля точокрозриву і на нескінченності. Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані несиметрично відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною,ні періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція маєобласть визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з такогофакту ми не можемо робити висновок про парність або непарність. Проте, якщонулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, то вона не єперіодичною. Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нуліпершої або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля. Аналогічно можна зробити висновок і з несиметричного розміщення точокрозриву. Для складних функцій [pic] можна керуватися такими простимитвердженнями: 1. якщо функція [pic] парна, то складна функція також парна; 2. якщо функція [pic] і [pic] непарні, то складна функція непарна; 3. якщо [pic] непарна, а функція[pic] парна, то складна функція парна; 4. якщо функція [pic] періодична, то і складна функція [pic] періодична, причому її період може бути меншим за період функції [pic], але не більшим; їх періоди збігаються, якщо функція f строго монотонна. Зручно користуватися такими твердженнями: 1. сума скінченого числа парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією; 2. добуток парних функцій є парною функцією; 3. добуток непарних функцій є парною функцією, якщо число функцій- множників – парне число, і непарною, якщо число функцій-множників непарне; 4. добуток(частка) парної і непарної функції є функцією непарною. Дослідимо функції та побудуємо їх графіки.Приклад 1. Побудувати графік функції [pic]Розв’язання.Область визначення функції f : Х=[pic][pic][pic][pic][pic].Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначеналише у двох точках.Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції відсутні.Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемопохідну [pic] [pic]; х=0–критична точка. Для [pic][pic][pic][pic] [pic]. Отже, на цих проміжках функція зростає.Оскільки функція парна, то на проміжках [pic][pic][pic] вона спадає. Тодіточка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення [pic].Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину: [pic] [pic]. На проміжках [pic][pic][pic] [pic]. Отже, графік функції опуклийвниз. На проміжку [pic] [pic], а тому графік функції опуклий вгору. Точки перегину відсутні.Оскільки [pic], то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графікафункції. Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2: [pic], [pic]. Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 євертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, щопряма х=-2 також є вертикальною асимптотою. [pic].Приклад 2. Побудувати графік функції: [pic]Розв’язання. 1. Область визначення функції f : [pic]. 2. Функція не належить ні до парних, ні до непарних. Це безпосередньо випливає з того, що область її визначення несиметрична відносно нуля. 3. Період функції [pic]. Тому дослідження функції достатньо спочатку провести на проміжку [pic]. Крім того, враховуючи, що [pic], робимо висновок про симетричність графіка відносно прямої [pic] на проміжку [pic]. Тому можна обмежитися дослідженням функції на проміжку [pic]. 4. Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки на проміжку [pic]. Для цього знайдемо її похідну [pic]. Для [pic][pic] [pic]. Тому функція на цьому проміжку спадає. Тоді напроміжку [pic] вона зростає, а в точці [pic]має мінімум, який дорівнює 1. Враховуючи періодичність функції, робимо висновок, що вона напроміжках[pic] і зростає на проміжках [pic], [pic]. В точках [pic] набуваємінімального значення, яке дорівнює 1. 5. Дослідимо функцію на опуклість на проміжку [pic]: [pic]. Звідси безпосередньо випливає, що для [pic] [pic]. Отже, графік функції опуклий вниз. Тоді і на проміжку [pic] він опуклий вниз. Таким чином, на проміжках [pic] графік функції опуклий вниз. 6. Визначимо поведінку функції біля нуля справа і біля [pic] зліва: [pic] [pic]. Отже, прямі х=0, х=[pic] – вертикальні асимптоти. Тоді і пряміх=[pic],[pic] – вертикальні асимптоти. [pic] 2.3. Застосування похідної для розв’язування рівнянь Похідна в окремих випадках може бути застосована до розв’язуваннярівнянь, а саме : для встановлення кількості коренів або їх відсутності,для їх знаходження. Так, наприклад, якщо маємо рівняння [pic], де [pic] – зростаюча абоспадна функція, то , зрозуміло, що рівняння не може мати більше одногокореня, причому можна з впевненістю сказати, що він буде, якщо а належитьмножині значень функції [pic]. А для визначення строгої монотонностізастосовується похідна. Використовують і такий факт: якщо многочлен k-го степеня має k дійснихкоренів, то його похідна має їх k –1 . Розглянемо застосування похідної до розв’язування рівнянь наконкретних прикладах. Приклад 1. Яким умовам повинні задовольняти параметри p та q, щобрівняння [pic] мало три різних дійсних корені? Розв’язання. Розглянемо функцію [pic]. Для того щоб дана функція мала три різні нулі, необхідно, щоб їїпохідна [pic]мала два різних нулі. А це буде тоді, коли [pic]. Звідси [pic]. Отже, похідна має один додатний і один від’ємний корінь. Тоді функція[pic] має обов’язково один від’ємний корінь. А це можливо за умови, що[pic]. Отже, [pic].Приклад 2.Скільки дійсних коренів має рівняння [pic]Розв’язання. Розглянемо функцію [pic]=[pic].Знайдемо її похідну [pic]=[pic]. Нехай а) х<0, тоді очевидно, [pic]>0; б) х=0, тоді [pic]; в) x>0, тоді знову ж таки [pic]>0. Отже, похідна всюди додатна, за винятком однієї ізольованої точких=0. це означає, що функція f зростає на всій числовій осі. Тому данерівняння не може мати більше одного кореня. Оскільки [pic], то нуль і є тимєдиним коренем.Приклад 3.Розв’язати рівняння [pic]. Тривіальним коренем рівняння є х=0. доведемо, що інших кореніврівняння не має. Розглянемо функцію [pic]. Знайдемо її похідну [pic] для будь-якого [pic]. Отже, функція [pic] зростає на всій числовій осі. Тому рівняння немає більше коренів.Приклад 4.Розв’язати рівняння [pic].Розглянемо функцію [pic]. Вона диференційована на всій області визначення. Знайдемо її похідну [pic]. Очевидно, [pic] для [pic]. А це означає, що рівняння має лише один корінь (найвищий показник степеня непарний). Тривіальним коренем є х=1.Відповідь: 1. 2.4. Текстові задачі на екстремумПриклад 1.Яке із десяти чисел [pic]найбільше? Розв’язання. Зрозуміло, що це число міститься в середині цієїскінченої послідовності чисел і його можна знайти безпосереднімобчисленням. Знайдемо це число за допомогою похідної. Для цього розглянемо функцію [pic]. Знайдемо її похідну, записавши функцію в такому вигляді: [pic]. Тоді [pic]. Знак похідної залежить лише від виразу, що знаходиться в дужках.Функція [pic] спадає на інтервалі [pic], причому [pic], а [pic]. Тому наінтервалі [pic] функція f зростає, а на інтервалі [pic]– спадає. Тодінайбільше число буде [pic] або [pic]. Безпосереднє обчислення даєвідповідь на поставлене в задачі запитання : [pic] є найбільшим середдесяти даних чисел.Приклад 2. У плоску фігуру, обмежену параболою [pic] і прямою у=4, вписатипрямокутник найбільшої площі так, щоб нижня основа лежала на прямій [pic],а вершини верхньої основи на параболі.Розв’язання. Нехай у фігуру ABC вписано прямокутник DKMN. [pic].Позначимо абсциси точок M і N через [pic], а тоді точки D і K матимутьабсцисою точку -[pic]. Отже, DN=2[pic], де DN – ширина прямокутника. Висота прямокутникабуде дорівнювати різниці ординат точок M і N, тобто MN=[pic]. Тоді площу прямокутника DKMN запишемо у такому вигляді: [pic]. Розглянемо функцію [pic]. Її похідна [pic]. Точка [pic] є точкоюмаксимуму для функції [pic]. Тоді [pic].Відповідь:[pic].Приклад 3. Криволінійна трапеція обмежена графіком функції [pic] та прямимих=-1, х=2, у=0. У якій точці графіка функції треба провести дотичну, щобвона відтинала від криволінійної трапеції звичайну трапецію найбільшоїплощі?Розв’язання. Позначимо шукану точку через [pic], де [pic]. Запишеморівняння дотичної, яка проходить через точку графіка з абсцисою [pic]: [pic], [pic]. Знайдемо значення цієї дотичної в точках х=-1, х=2: [pic], [pic]. Площу звичайної трапеції запишемо у такому вигляді: [pic] [pic].Розглянемо функцію [pic][pic].Знайдемо її похідну: [pic] [pic].Функція [pic] має єдину критичну точку [pic], в якій вона досягає максимуму.Відповідь:[pic]. Висновок Мета даної курсової роботи розкрити деякі питання застосуванняпохідної: для дослідження функцій на монотонність та екстремум, знаходженнянайбільшого та найменшого значення функцій, розглянути прикладні задачі надослідження функцій, а також задачі на складання рівнянь дотичної, нормаліта деяких інших. Для цього ми побудували роботу таким чином: спочатку наведені всінеобхідні теоретичні відомості, далі розглянуто алгоритми розв’язаннякожного типу задач, після чого наводиться приклади, які розв’язані з повнимпоясненням. Приклади розташовані у порядку зростання складності, що даєможливість поступово засвоювати викладення матеріалу. В роботі наводятьсянеобхідні геометричні інтерпретації. Всі розглянуті приклади взяті із збірника задач з математики длясередньої загальноосвітньої школи. На нашу думку робота буде корисною для учнів 10, 11 класівзагальноосвітніх шкіл, ліцеїв та гімназій.

Добавить документ в свой блог или на сайт



Похожие:

Похідна та її застосування iconПохідна та її застосування
Вступ

Похідна та її застосування iconПохідна. Брейн-ринг Мета
Мета. Систематизувати знання учнів з даної теми, формувати навички І вміння знаходити похідні функцій. Ознайомити учнів з історичним...

Похідна та її застосування iconПлан Похідна за напрямком Градієнт функції Основні властивості Похідна функції за  напрямком І градієнт
Розглянемо деяку точку  і деякий напрямок, визначений напрямними косинусами  і  (тобто  і  - косинуси кутів, утворених вектором  з...

Похідна та її застосування iconРозділ І запобіжний захід. Мета І підстави його застосування
Метою дослідження курсової роботи є висвітлення, систематизація та вивчення проблем застосування застави, як міри запобіжного заходу...

Похідна та її застосування iconПорівняння функцій та їх застосування
Метод виділення головної частини функції І його застосування до обчислення границь. 20

Похідна та її застосування iconЗастосування метану Галузі застосування
Добування ацетилен, водню (для синтезу аміаку та органічних речовин), сажі (для друкарських фарб, гумових виробів)

Похідна та її застосування iconОсобливості застосування теорії комунікацій у маркетингу
Теорія комунікацій має широке застосування в ро­боті служб маркетингових комунікацій різних підприємств та ор­ганізацій

Похідна та її застосування iconОсобливості застосування теорії комунікацій у маркетингу
Теорія комунікацій має широке застосування в ро­боті служб маркетингових комунікацій різних підприємств та ор­ганізацій

Похідна та її застосування iconВсеукраїнський студентський архів вступ I. Теоретичні основи застосування прискореної амортизації
У випадку ж застосування підприємством занижених термінів корисного використання засобів праці всі розглянуті методи амортизації...

Похідна та її застосування iconПравозастосовний орган керується такими вимогами
Основні вимоги до правильного застосування норм права. Види актів застосування норм права

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы