Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис icon

Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис



НазваниеРешение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис
Дата конвертации13.08.2012
Размер52.75 Kb.
ТипРешение
скачать >>>

  1. Показать, что оператор A, действующий на векторы пространства следующим образом: , линеен, и найти матрицы оператора в базисах


Решение.

Проверим два свойства линейности оператора

1)




2)




Так как эти два свойства выполняются, то оператор А линеен.


Базис

Найдем, как действует оператор на каждый базисный вектор.


, ,

Тогда матрица оператора А в базисе имеет вид


Базис

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид

Обратная матрица

Матрица оператора A в базисе вычисляется по формуле:





  1. Построить в естественном базисе квадрики


А)


Решение. Приведем уравнение квадрики к каноническому виду в другом ортонормированном базисе.

Квадратичная форма уравнения квадрики имеет вид (отбросили линейную часть)

gif" name="object22" align=absmiddle width=121 height=24>

Выписываем ее матрицу



Находим собственные числа матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение





Получим



Находим два корня характеристического уравнения .

Находим собственные векторы.

Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений




Решим систему методом Гаусса, запишем коэффициенты системы в матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.



Получаем общее решение системы

Находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять .

Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений



Аналогично первой системе отсюда находим собственный вектор .

Легко проверить, что скалярное произведение , то есть собственные векторы ортогональны.

Их длины равны соответственно .

Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты



Матрица перехода имеет вид



Старые координаты связаны с новыми уравнением , то есть

(*)


Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа 17 и -17.




Выделим полные квадраты.



Разделим на 17



Выполняем параллельный перенос осей координат



Новое начало системы координат имеет координаты



Найдем координаты нового начала в исходной системе координат, подставим значения в формулы перехода (*).







В новой системе координат уравнение принимает канонический вид



Это уравнение является каноническим уравнением двух пересекающихся прямых. Точка пересечения прямых находится в точке , Изображение прямых приведено на рисунке.





Б)



Решение. Приведем уравнение квадрики к каноническому виду в другом ортонормированном базисе.

Квадратичная форма уравнения квадрики имеет вид (отбросили линейную часть)



Выписываем ее матрицу



Находим собственные числа матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение





Получим



Подбором находим один корень . Преобразуем уравнение, выделяя множитель



или



откуда



Находим два других корня характеристического уравнения и .

Находим собственные векторы.

Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений




Решим систему методом Гаусса, запишем коэффициенты системы в матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.



Получаем общее решение системы

Находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять .

Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений



Аналогично первой системе отсюда находим собственный вектор .

Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений



Отсюда находим собственный вектор .

Легко проверить, что скалярные произведения , то есть собственные векторы попарно ортогональны.

Их длины равны соответственно .

Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты



Матрица перехода имеет вид



Старые координаты связаны с новыми уравнением , то есть

(*)




Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа




Приводим подобные члены



Выделим полные квадраты




или



Выполняем параллельный перенос осей координат



Новое начало системы координат имеет координаты



Найдем координаты нового начала в исходной системе координат, подставим значения в формулы перехода (*).






На рисунке представлены исходная и новая системы координат


В новой системе координат уравнение принимает канонический вид



Это уравнение является каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Его центр находится в точке , две вещественные оси параллельны векторам , , вещественные полуоси равны , . Мнимая ось параллельна вектору , мнимая полуось равна . Изображение гиперболоида приведено на рисунке.






Похожие:

Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис iconСамостоятельная работа по темам: «Термодинамика», «Кинетика»; 3 ч решение задач по теме «Коллигативные свойства растворов»
Актуальность. Коллигативные свойства зависят от концентрации частиц (молекул, ионов) в растворе. Это давление пара раствора, температура...
Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис icon§ 10. Линейные операторы определение линейного оператора
Линейные операторы конечномерных пространств Пусть φ оператор n-мерного пространства Ln, e1,…,en базис Ln
Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис iconЦелью данной контрольной работы показать особенности микромира, а также важность возникновению квантовой физики
С помощью которой, можно было изучать свойства микромира, так как cвойства объектов этого мира совершенно не похожи на свойства привычного...
Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис iconВерищагин Дмитрий Сергеевич, Титов Кирилл "Терапия истинной кармы"   Введение Перед вами новая книга
Охватывает все энергоинформационные планы, так как в человеческом существе присутствуют свойства всех планов. Разберемся, что это...
Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис iconВерищагин Дмитрий Сергеевич, Титов Кирилл "Терапия истинной кармы"   Введение Перед вами новая книга
Охватывает все энергоинформационные планы, так как в человеческом существе присутствуют свойства всех планов. Разберемся, что это...
Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис iconУрок алгебры в 9 классе по теме «Квадратичная функция. Свойства и график квадратичной функции.»
Исходя из темы урока, очевидно, сегодня предстоит знакомство с решением неравенств второй степени, использующих свойства квадратичной...
Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис iconВеликая хартия вольностей
Однако, это не просто два подхода к документу. По сути дела, это два различных варианта документа, отличающихся друг от друга как...
Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис iconВеликая хартия вольностей
Однако, это не просто два подхода к документу. По сути дела, это два различных варианта документа, отличающихся друг от друга как...
Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис iconЗачетные задания по системной экологии 2012 15 свойств объекта исследования
Последовательно два раза к системе добавляем части и называем 3 свойства трех систем
Решение. Проверим два свойства линейности оператора 1 2 Так как эти два свойства выполняются, то оператор а линеен. Базис iconЛекція №5 Тема: Оператор присвоєння, введення/виведення, розгалуження
Значення змінних змінюють за допомогою оператора при­своєння. Загальний вигляд оператора присвоєння такий
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы