А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород icon

А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород



НазваниеА. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород
Дата конвертации08.08.2012
Размер55.33 Kb.
ТипДокументы
скачать >>>


Силаева В.А., Силаев А.М.

Нижний Новгород, НИУ ВШЭ – Нижний Новгород

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ СО СЛУЧАЙНЫМ ПЕРЕКЛЮЧЕНЕМ РЕЖИМОВ


Экономические процессы и явления часто подвержены резким, внезапным и скрытым изменениям, которые адекватно описываются математическими моделями со скачкообразными изменениями параметров в случайные моменты времени. В [1, 2] для описания нестационарного поведения экономических переменных используются модели марковских процессов в дискретном времени и разработаны алгоритмы оценивания параметров регрессии со случайными скачкообразными изменениями режимов. В начале 1990 гг. в ряде работ [3 – 5] были введены в рассмотрение модели авторегрессионной условной гетероскедастичности с марковскими случайными переключениями параметров и исследованы свойства так называемых SWARCH моделей. В то же время достаточно часто на практике возникают задачи оценивания параметров финансовых временных рядов, когда необходимо учитывать всего одно возможное переключение режимов на интервале наблюдения.

Рассмотрим следующую модель множественной регрессии без переключений

, ; (1)

где – объясняемая переменная, – вектор-столбец размерности наблюдаемых линейно независимых регрессоров, – вектор-столбец размерности , ~ –независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним значением и дисперсией , – интервал времени наблюдений. Для оценки параметров модели в этом простом случае логарифм функции правдоподобия



максимизируется относительно и .
В результате формируются оценки максимального правдоподобия

; . (2)

Наблюдаемые временные ряды финансовых показателей в реальности демонстрируют эмпирические особенности (кластеризация волатильности, левередж-эффект, долгая память, негауссовость доходностей), см., например, рис. 1.



(а)



(б)



(в)



(г)

Рис. 1. Графики дневной доходности индекса РТС (а), эмпирической плотность вероятности и интегральной функции распределения доходности (б), автокорреляционной функции доходности индекса РТС (в) и автокорреляционной функции квадрата доходности индекса РТС (г).

К настоящему времени хорошо изучены модели авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) и их разновидности, которые позволяют получить более точные оценки параметров моделей финансовых временных рядов. Будем предполагать, что доходность некоторого финансового актива описывается уравнением вида, учитывающим возможность скачкообразного изменения параметров

. (3)

Здесь – объясняемая переменная, – вектор-столбец размерности наблюдаемых линейно независимых регрессоров, и – векторы оцениваемых параметров размерности , , ; – дискретная случайная величина, для которой задано априорное геометрическое распределение вероятностей , . Уравнение для условной дисперсии для различных режимов работы в модели выглядит как в модели GARCH(p, q):

, .

Для удобства введем векторы неизвестных параметров модели

, .

Задача состоит в том, чтобы найти оценки параметров , и момента по реализациям наблюдений , .

Если ввести в рассмотрение случайную последовательность



то уравнение модели (3) можно представить в виде

, ; (4)

где принимает в каждый момент дискретного времени значения 0 или 1. Последовательность является марковской цепью с вероятностями начальных значений , и переходными вероятностями

, ,

, .

Особенностью задачи является то, что при заранее известном значении момента переключения оценки параметров , вычисляются методом максимально правдоподобия как в обычной модели GARCH(p, q). С другой стороны, при фиксированных значениях , можно найти максимального правдоподобия последовательности – индикатора появления скачкообразного изменения параметров и затем найти оценку величины .

Для нахождения оценок максимального правдоподобия

(5)

реализации используется алгоритм Витерби [6], который основан на возможности представления функции правдоподобия в (5) с учетом марковости процесса в виде произведения вероятностей:

(6)

Отсюда видно, что оценку максимального правдоподобия (5) последовательности можно вычислять рекуррентно. Cначала находятся функции

;

; (7)

, ;

и запоминаются аргументы максимумов

; (8)

, .

Затем находится оценка последнего значения последовательности

(9)

и в обратном времени восстанавливаются оценки предыдущих значений

, . (11)

Для того, чтобы получить оценки параметров и совместно с оценками используется EM алгоритм (“expectation and maximization”) [7], который предполагает чередование процедур оценки параметров , и оценки последовательности . Сначала при некоторых априорно заданных наборах параметров и по формулам (7) – (11) вычисляются оценки . Затем, на основе вычисляются новые оценки параметров и и т.д.:

, , , . (12)

Для проверки работоспособности полученного алгоритма проводилось компьютерное моделирование с помощью ряда тестовых примеров. Результаты моделирования показывают, что точность оценивания в рассматриваемой модели во многом зависит от того, как сильно различаются значения параметров до и после скачка и от отношения «сигнал/шум» в данной задаче.

При малых значениях отношения сигнал/шум алгоритм характеризуется сходимостью к значениям далеким от истинных. Но при достаточно больших отношениях сигнал/шум возникает сходимость алгоритма к значениям, близким к истинным. Процесс успешной настройки параметров в ходе итераций сопровождается ростом максимального значения функции правдоподобия. Точность оценивания параметров модели улучшается с увеличением интервала наблюдений .

Проверка работоспособности алгоритма проводилась также с помощью обработки реальных данных – рядов суточных доходностей ценных бумаг, допущенных к обращению в торговой системе РТС. Результаты позволяют сделать вывод, что предлагаемый алгоритм оценивания параметров моделей финансовых временных рядов можно использовать на практике наряду с другими специально разработанными для этой цели процедурами оценивания.


Литература

  1. Hamilton J.D. Time series analysis. – Princeton, N.J. Princeton University Press, 1994.

  2. Kim C.-J., Nelson C.R. State-space models with regime-switching: classical and Gibbs-sampling approaches with applications. – MIT Press, 1999.

  3. Hamilton J. D., Susmel R. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity and Changes in Regime // Journal of Econometrics, 1994. V. 64. Pp. 307-333.

  4. Cai J. A Markov Model of Switching-Regime ARCH // Journal of Business & Economic Statistics, 1994. V. 12 . Pp. 309-316.

  5. Dueker M.J. Markov Switching in GARCH Processes and Mean-Reverting Stock-Market Volatility // Journal of Business & Economic Statistics, 1997. V. 15, No. 1. Pp. 26-34.

  6. Forney G.D. Jr. The Viterbi Algorithm // Proc. of the IEEE. 1973. V. 61. N. 3. P. 268–278.

  7. Dempster A. P., Laird N. M., Rubin D. B. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm // J. R. Stat. Soc. 1977.Ser. B39. P. 1-38.






Похожие:

А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород iconПравительство российской федерации нижегородский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования национальный исследовательский университет
По направлению подготовки 080100. 68 "Экономика" уровень подготовки «Магистр»/ Е. Е. Кузьмичева, М. В. Губочкина. Нижний Новгород:...
А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород iconНиу вшэ «Нижний Новгород» положение об отделе координации научных исследований
Отдел координации научных исследования (далее по тексту Отдел) является структурным подразделением ниу вшэ «Нижний Новгород» (далее...
А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород iconА. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород
Менеджмент. Тем не менее, на основании этих показателей неправильно делать вывод о более высоком качестве студентов, поступивших...
А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород iconМонография нижний Новгород 2011 удк 658. 3 Ббк 65. 291. 6 С 24
Морозова Г. А., доктор экономических наук, профессор, зав кафедрой Волго-Вятской академии гос службы (г. Нижний Новгород)
А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород iconГ. Нижний Новгород, ул. Шимборского, д. 3, кв. 39 (прописка), г. Нижний Новгород, ул. Богородского, д. 12, кв. 10 (фактическое проживание)
«Разработка алгоритмов обработки изображений в однородных распределенных нейроноподобных системах». Присвоена ученая степень кандидата...
А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород iconГ. Нижний Новгород, ул. Шимборского, д. 3, кв. 39 (прописка), г. Нижний Новгород, ул. Богородского, д. 12, кв. 10 (фактическое проживание)
«Разработка алгоритмов обработки изображений в однородных распределенных нейроноподобных системах». Присвоена ученая степень кандидата...
А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород iconПриказом ниу вшэ нижний Новгород

А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород iconЗаседание ученого совета
Зусман В. Г. – заведующий кафедрой прикладной лингвистики и межкультурной коммуникации ниу вшэ – Нижний Новгород
А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород iconНижегородский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования национальный исследовательский университет
По направлению 080100. 62 "Экономика"/ А. К. Ковина – ниу вшэ – Нижний Новгород, 2011. – 33 с
А. М. Нижний Новгород, ниу вшэ – Нижний Новгород iconСообщаем о новых платежных реквизитах ниу вшэ нижний новгород
Для средств субсидий на выполнение государственного задания, содержание движимого т особо ценного имущества, налогов (бывшие бюджетные...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы