Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович icon

Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович



НазваниеРостовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович
страница1/4
Дата конвертации07.08.2012
Размер206.53 Kb.
ТипМетодические указания
скачать >>>
  1   2   3   4


Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования


«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»


Р.В. ВЕДРИНСКИЙ, А.А. НОВАКОВИЧ


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


для студентов физического факультета

к решению задач по курсу


ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА


Часть 1


Ростов-на-Дону

2006




Методические указания разработаны доктором физико-математических

наук, профессором кафедры теоретической и вычислительной физики РГУ
Р.В. Ведринским, и кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры теоретической и вычислительной физики РГУ А.А. Новаковичем.


Ответственный редактор доктор физико-математических наук,

профессор В.П. Саченко.


Компьютерный набор и верстка студентка Н.В. Коновалова.


Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и

вычислительной физики физического факультета РГУ,

протокол № 15 от 14 февраля 2006 г.


СОДЕРЖАНИЕ:


1. Элементы векторной алгебры …………………………………………стр. 4

2. Градиент скалярного поля ……………………………………………..стр. 9

3. Дивергенция векторного поля и теорема Остроградского- Гаусса …стр.12

4. Ротор векторного поля и теорема Стокса …………………………….стр.17

5. Комбинированные задачи векторного анализа ………………………стр.22

6. Задачи на использование метода оператора набла …………………..стр.24

Литература ………………………………………………………………стр.29


1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

Большинство физических величин являются скалярными или векторными, причем физической величиной является сам вектор, а не его компоненты, зависящие от выбора системы координат.

Скаляр – однокомпонентная величина f, значение которой не зависит от выбора системы координат, например: масса, заряд, энергия, работа, плотность, объем, давление и т.д.

Вектор – трехкомпонентная величина , компоненты (проекции) которой преобразуются при поворотах системы координат как декартовы координаты точки, например, сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля и т.д.


Правая декартова координатная система – три взаимно перпендикулярные координатные оси x, y, z (x1, x2, x3), направленные так, что направление оси z (x3) определяется направлениями осей x, y (x1, x2) по правилу правого винта.

Единичные орты – три единичных вектора (), направленные по соответствующим координатным осям. (В математической литературе их чаще обозначают .)

Линейная комбинация векторов - , где ,  - вещественные числа. ЛКВ обладает всеми традиционными алгебраическими свойствами суммы произведений.

Скалярное произведение векторов - скаляр, со следующими свойствами: 1. , 2. ,

3. .

Скалярное произведение двух векторов и равно



или



где и – длины векторов и , - угол между векторами и , , и - проекции вектора на оси x, y и z (1, 2 и 3).



Векторное произведение векторов - вектор, со следующими свойствами: 1. , 2. , . Модуль векторного произведения – это площадь параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях, равная:



Компоненты векторного произведения вычисляются по следующей формуле, которая легко получается из приведенных выше свойств этого произведения:

=

Двойное векторное произведение вычисляется по формуле «бац минус цаб»:



Смешанное произведение векторов: - скаляр, модуль которого равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях. Для любых векторов СПВ не меняется при их циклической перестановке и меняет знак при перестановке двух любых векторов-сомножителей:



Если хотя бы два вектора-сомножителя коллинеарны, смешанное произведение равно 0.

СПФ вычисляется по формуле:



где V –объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , знак “+” - в случае, когда тройка векторов правая, а знак “-” - в случае, когда тройка векторов левая.

Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку в векторной форме имеет вид



или в компонентах:



Уравнение прямой, параллельной вектору и проходящей через точку имеет вид:

,

где  - любое вещественное число. Учитывая, что величина  одна и та же для всех координатных осей, получаем, что уравнение прямой, записанное в компонентах, имеет вид:





Задачи

    1. Выразить косинус угла между векторами и через направляющие косинусы этих векторов (направляющие косинусы- косинусы углов между вектором и осями координат).

1.2 Дан тетраэдр ABCD, где, например, A(0,1,1), B(1,2,3), C(3,1,0), D(2,1,3). Найти:

1.2.1 Координаты вектора ;

1.2.2 Длину стороны AB;

1.2.3 угол между векторами и ;

1.2.4 Площадь грани ABC;

1.2.5 Вектор нормали к грани ABC;

1.2.6 Угол между гранями ABC и ABD;

1.2.7 Объем тетраэдра ABCD;

1.2.8 Уравнение плоскости, параллельной плоскости ABC и проходящей через точку D;

1.2.9 Уравнение прямой, параллельной прямой AB и проходящей через точку C;

1.2.10 Расстояние от точки D до плоскости ABC;

1.2.11 Расстояние от точки C до прямой AB;

1.2.12 Координату точки O, где O- проекция точки D на плоскость ABC;

1.2.13 Координату точки P, где P- проекция точки C на прямую AB;

1.3 Найти проекции скорости и ускорения точки, а также угол между скоростью и ускорением в заданный момент времени, если координаты x и y заданы, условиями:

1.3.1 x = sin(t2), y = cos(t2), t = 1;

1.3.2 x = sin(t)-cos(2t), y = cos(t2), t = 1;

1.3.3 x = sin2(t), y = cos(t), t = 2.

1.4 Найти координаты центра масс системы трех частиц с массами m1, m2 и m3, расположенных в точках A1, A2 и A3:

1.4.1 m1 = 2, m2 = 4, m3 = 3, A1 (0,0,2), A2 (1,1,0), A3 (0,1,1);

1.4.2 m1 = 1, m2 = 2, m3 = 2, A1 (1,0,1), A2 (0,2,3), A3 (1,1,1);

1.4.3 m1 = 3, m2 = 4, m3 = 1, A1 (2,0,0), A2 (1,2,1), A3 (-1,1,1);

1.4.4 m1 = 3, m2 = 1, m3 = 2, A1 (-1,0,1), A2 (2,3,0), A3 (1,0,2).

1.5 Упростить выражения:

1.5.1 ;

1.5.2 ;

1.5.3 ;

1.5.4 .

    1. Доказать справедливость тождества:



1.7 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору , и уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору :

1.7.1 A(1,2,-3, ), (5,7,-6);

1.7.2 A(-2,0,1, ), (-1,2,4);

1.7.3 A(1,2,-1, ), (0,1,-1).

1.8 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

.


2. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ


Если в каждой точке пространства задан скаляр - это скалярное поле. Если в каждой точке пространства задан вектор - это векторное поле.

Приращение скалярного поля при перемещении на вектор равно: .

Градиент – это вектор с компонентами . Величина , где  - угол между векторами градиент и . Отсюда следует, что направление вектора - это направление скорейшего роста скалярного поля в данной точке, а модуль градиента – это скорость роста поля в этом направлении.

Экстремальные точки скалярного поля – это точки, при смещении из которых с точностью до членов, линейных по смещению, поле остается неизменным. В этих точках .
  1   2   3   4




Похожие:

Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович iconДоговор № на оказание платных образовательных услуг в сфере высшего профессионального образования г. Ростов-на-Дону 2011 г. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет»,
«Ростовский государственный строительный университет», именуемое в дальнейшем вуз, в лице и о ректора университета Вагина Владимира...
Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович iconРостовский государственный строительный университет

Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович iconСведения о результатах приема в гоу впо «Ростовский государственный строительный университет» за 2010 год

Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович iconРостовский Государственный Строительный Университет Кафедра Прикладной Геодезии
Как следствие, погрешность определения морскими судами своего местоположения уменьшилась до 80 м
Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович iconСтатья опубликована в журнале «Популярное Бетоноведение», №2 (2007)
Л. В. Моргун, А. Ю. Богатина, В. Н. Моргун, П. В. Смирнова, М. О. Бацман, О. И. Крылова, В. Г. Соханев, Ростовский государственный...
Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович iconО дате проведения Конференции
Фгбоу впо «Ростовский государственный строительный университет» состоится конференция научно-педагогических работников, представителей...
Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович iconМинистерство образования российской федерации ростовский государственный строительный университет
При рассмотрении первого вопроса темы основное внимание следует уделить характеристике политической сферы и процесса становления...
Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович iconМинистерство образования и науки российской федерации государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ростовский государственный строительный университет
...
Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович iconКомплексное лечение острых язвенных гастродуоденальных кровотечений в зависимости от архитектоники сосудистого русла в зоне локализации язвы 14. 01. 17 хирургия
Работа выполнена в Государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный...
Ростовский государственный университет р. В. Ведринский, А. А. Новакович iconОбоснование тактики хирургического лечения нагноившегося эпителиального копчикового хода на стадии абсцесса (клиническое, анатомическое и экспериментальное исследования) 14. 01. 17 хирургия
Работа выполнена в Государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы