Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка icon

Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка



НазваниеРешение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка
страница1/6
Дата конвертации27.04.2013
Размер0.88 Mb.
ТипДокументы
скачать >>>
  1   2   3   4   5   6
      1. Федеральное агентство по образованию

      2. Государственное образовательное учреждение

      3. высшего профессионального образования

      4. ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




      1. ^

        Элементы теории функций комплексного переменного




      1. Индивидуальные задания




      1. ^

        Пособие разработано ассистентом Костиной Е.В., ассистентом Морозовой Е.А., доцентом Плаксиной В.П., ст. преп. Федосеевой О.А..


Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»
      1. © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ




Пермь 2007

Разбор типового варианта

Задание 1.

1) Найти модуль и аргумент чисел и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

2) Найти: а). ; б). ; в).

Решение.

1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка , числу - точка .





Для нахождения модуля и аргумента заданных чисел воспользуемся формулами:

и

Получим:

, ,

, .

Чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической и показательной применим формулы:

и .

Использовав ранее полученные результаты, получим:

,

,

,

.

2) а)



б)



в) Применим формулу .



при : ;

при : ;

при :



Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) .

Решение.

а)

б) По определению .

,



Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции :



Таким образом, получим:



Найдем частные производные и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

.

,

,

т.е. для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

,

,

т.е. для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел и частные производные существуют и непрерывны в окрестности любой точки , то производная существует в любой точке комплексной плоскости С.

Найдем эту производную:







Итак, .

Действительная часть производной:

,

мнимая часть производной:

.

Задание 4. Определить вид кривой .

Решение.

.

Откуда

Выразим из каждого уравнения:

Исключим из уравнений:

.

,

, ,

,

- уравнение гиперболы.


Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами:

а).

б).

а). Искомым множеством является пересечение кольца и внутренней части угла :



б). Кривую запишем в декартовых координатах:





Итак, .

Или ,

- Лемниската Бернулли.

Неравенство определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:



Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Решение.

Найдем частные производные:





Следовательно,

, .

Таким образом, функция гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в функция , что .

В силу условий Коши-Римана имеем:

(1)

(2)

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

. (3)

Продифференцируем (3) по х:



Сопоставляя результат с (2), получаем , откуда .

Таким образом, имеем

и

Учитывая условие , получаем .

Итак,

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Решение.

Для того чтобы найти образ области при отображении , нужно найти образ границы области , затем взять произвольную точку из области и найти ее образ.

Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области кривая задана . Чтобы найти уравнение образа этой кривой в плоскости при отображении с помощью функции , нужно исключить и из уравнений:

(1)

Если кривая задана параметрическими уравнениями:

или ,

то параметрические уравнения её образа при отображении будут



В данном примере граница области состоит из трех частей: . Найдем ее образ при данном отображении.

Выделим и действительную и мнимую части функции.

;

, .

Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):



Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:

.



Окончательное уравнение границы при .

Аналогично находим образ : при .

Образ находим из системы:



Следовательно, образ границы : при и при ; . Изобразим образы границ на плоскости .

Для изображения образа области на плоскости возьмем контрольную точку. Точка обратится в точку .



Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) , ;

б) , .

Решение.

а) Функция имеет две особые точки и . Отметим их на плоскости Z, проведем 2 окружности с центром в точке , проходящие соответственно через точки и . Следовательно, имеется три области, в каждой из которых функция является аналитической:

1);

2) кольцо ;

3) область , являющаяся внешностью круга .


Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу

(1)

справедливую при .

Представим функцию в виде суммы элементарных дробей:

.

1) Рассмотрим круг . Запишем элементарные дроби и в виде , где при . Представим функцию следующим образом: . Теперь к таким дробям применима формула (1).

Так как в рассматриваемой области , то в силу формулы (1) . Так как и тем более (если , то тем более ), значит, в силу формулы (1) .

Следовательно, ==



Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

Так как , то и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

Следовательно, ==.

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

В рассматриваемой области , значит и поэтому

.

Функцию представим в виде . В силу полученных разложений имеет место равенство

=.

Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана.

б) Функция имеет 2 особые точки и , отметим их на плоскости Z. Точка совпадает с точкой . Проводим окружность с центром в точке , проходящую через точку .

Следовательно существуют две области, в каждой из которых функция является аналитической:

1) кольцо

2) кольцо

Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу (1). Представим функцию в виде суммы элементарных дробей:



1) Требуется получить разложение функции по степеням z–1 в области . Первая дробь уже представляет собой степень . Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде, сделаем замену , тогда и . Дробь разложим по степеням как в предыдущем примере. При воспользуемся представлением:

;

Сделаем обратную замену. Получим, что при функция представима в виде

.

Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана.

2) Аналогично, сделав замену , получаем представление дроби в области



Сделав обратную замену, получаем, что при функция представима в виде:

.

В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части.

Задание 9. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки .

Решение. Воспользуемся известным разложением:

.

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

a) ;

б) ;

в) .

Решение.

а). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням :



Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит - полюс. Порядок высшей отрицательной степени определяет порядок полюса. Следовательно, - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу , тогда .

б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем признак поведения функции в особой точке.

, значит устранимая точка и, следовательно .

в). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем разложение функции в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, значит - существенно особая точка. Тогда , т.к. коэффициент при равен нулю.

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

а) , где - отрезок прямой, , .

б) , где - ломаная, , , .

в) , где - дуга окружности , .

г) , где - отрезок прямой , соединяющий точки и , и .

Решение.

а) Так как подынтегральная функция аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

б) Подынтегральная функция определена и непрерывна всюду, ломаная представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

.

Следовательно,

.

Воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла:

.

На отрезке , значит , . Поэтому .

На отрезке , , . Поэтому

.

Искомый интеграл равен .

в) Положим , тогда , . Следовательно,

=.

г) Зададим линию параметрическими уравнениями: , , , .

Для кривой, заданной параметрическими уравнениями , , справедлива формула .

Поэтому =.

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

а) ;

б) .

Решение.

а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и . Тогда .

Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.

, следовательно .

, следовательно - полюс.

Так как , то - полюс порядка .



.

Таким образом, .

б). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и . Тогда .

Так как и - полюсы первого порядка, то для вычисления вычетов применим формулу, где , , .

,

Таким образом, .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция, , где и - многочлены степени и соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси и , т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то



где означает сумму вычетов функции по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция четная, то =. Построим функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает с подынтегральной функцией . Особые точки функции - это точки и . Из них в верхней полуплоскости находится точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции относительно полюса равен =. Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно, =.

б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция, , где и - многочлены степени и соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси, , - произвольное действительное число, то

;

где означает сумму вычетов функции по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция является четной, то =. Построим функцию = такую, что на действительной оси (при ) совпадает с : . Отметим, что при справедливо равенство . Функция имеет в верхней полуплоскости полюс первого порядка в точке . Вычет функции относительно этого полюса равен =. Следовательно, = и =.

в) Сформулируем правило, позволяющее вычислить определенный интеграл функции, зависящей рационально от тригонометрических функций с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция аргументов и , и функция непрерывна внутри промежутка интегрирования. Полагаем , тогда , , , . В этом случае

=

где есть сумма вычетов функции относительно полюсов, заключенных внутри окружности .

В рассматриваемом интеграле применим подстановку и после преобразований получим: =. Внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат содержится только одна особая точка подынтегральной функции - это точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции относительно точки равен =. Следовательно, =.

  1   2   3   4   5   6




Похожие:

Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconУрок изучения новой темы. Класс: 10 класс. Продолжительность урока: 45 минут. Учебник: А. Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10-11. Цель
Найти все числа, которым на числовой окружности соответствует точка (точка показывается цветной иголкой)
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconУрок математики в 1-м классе Тема: «Прибавление к числу 7однозначных чисел с переходом через десяток»
Цель: научить прибавлять к числу 7 однозначные числа с переходом через десяток, с промежуточным слагаемым 10
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка icon1. Географічні показники
Бэлэнешть +430 м північна точка 48o 28' Північної широти (Наславча, Единецкий район) південна точка 45o 28' Північної широти (Джуржулешть,...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconКонтрольная работа «Отношения и пропорции»
Из винтовки сделано 50 выстрелов, при этом в цель попало 45 пуль. Найти отношение числа попаданий к числу выстрелов. Какая часть...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconIi нижегородская компьютерно-рисуночная устная геометрическая олимпиада «круг»
ВС=2 (Свободными являются точки a и В; точка с является частично свободной.) (Геометрическим местом точки с будет соответствующая...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconIi нижегородская компьютерно-рисуночная устная геометрическая олимпиада «круг»
ВС=2 (Свободными являются точки a и В; точка с является частично свободной.) (Геометрическим местом точки с будет соответствующая...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconТема 6
К числу основных требований, которым должны соответствовать wan, следует отнести
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconКонтрольная работа №6 «Линейная функция и её график» Вариант 1 в каком квадранте лежит точка В(-3; 2) ? 1) I 2) II 3) III 4)IV
В2, Найдите значение коэффициента k функции y = kx, если точка А( -1; 5) принадлежит
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка iconРешение задач варианта олимпиады факультета вмк
Слова акт, утро, комар соответственно означают квадрат, куб и четвертую степень одного натурального числа. Какое слово соответствует...
Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка icon16. Які методи визначення точки безбитковості
Точка безбитковості(ТБ)-це точка коли доходи дорівнюють витратам І підприємство немає ні прибутку ні збитку
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы