Методичні вказівки та учбові завдання до курсу \"Теорія ймовірностей\" для курсантів Військового інституту icon

Методичні вказівки та учбові завдання до курсу "Теорія ймовірностей" для курсантів Військового інституту



НазваниеМетодичні вказівки та учбові завдання до курсу "Теорія ймовірностей" для курсантів Військового інституту
страница1/3
Дата конвертации20.05.2013
Размер385.34 Kb.
ТипМетодичні вказівки
скачать >>>
  1   2   3

Міністерство освіти і нaуки України


Київський національний університет імені Тараса Шевченка


Методичні вказівки та учбові завдання до курсу “Теорія ймовірностей” для курсантів Військового інституту




Київ- 2001


2


Складач А. В. Виноградська, канд. фіз.-мат наук.


3

Вступ………………………………………………………………………………

Розділ1.Випадкові події………………..……………………………………….

1.2. Стохастичний експеримент. Простір елементарних подій…………

1.3. Класичне визначення ймовірності…………………………….…….

1.4. Поняття алгебри та - алгебри……………………………………

1. 5. Геметрична інтерпретація ймовірностей …………………………

1.6.Аксіоми теорії ймовірностей…………………………………………

1.7. Теорема додавання ймовірностей……………………………………

1.8. Умовні ймовірності. Незалежні випадкові події……………………

1. 9 Формула повної ймовірності. Формула Байеса…………………… .


Розділ2. Випадкові величини…………………………………….…….……….

2.1.Випадкові величини – функції в просторі елементарних подій……

2.2. Дискретні випадкові величини………………………………………

2.3. Абсолютно неперервні випадкові величини………………………..

Розділ 3.Послідовності випадкових величин.Граничні теореми…………..




3.1.Закон великих чисел…………………………………………………..

3.2. Посилений закон великих чисел…………………………………….

3.3. Центральна гранична теорема………………………………………


Список літератури…………………………………………………………………


4


Вступ


Методичні вказівки присвячені основним розділам курсу “ Теорії ймовірностей “ таким як “Випадкові події”, “ Випадкові величини”, “ Граничні теореми”.В посібнику розглядаєтся теоретичні положення курсу по кожному розділу, основні поняття іллюструються прикладами. Показано, як теоретичний матеріал застосовується до розв’язку задач.

Мета розробки- сприяти білш глибокому засвоєнню дисципліни.


5

1.1 Стохастичний експеримент. Простір елементарних подій


Вихідним поняттям теорії ймовірностей є поняття стохастичного експерименту, випадкової події та ймовірності випадкової події. Стохастичними називають експерименти, які можна повторири будь яку кількість раз, але результати яких не можна напевне передбачити. В основі теоретико- множиного методу викладу теорії ймовірностей лежить припущення, що кожному стохастичному експерименту поставлено у відповідність деяка множина , точки якої зображають всі можливі наслідки даного експерименту. Множину  називають простором елементарних подій, а його точки – еле-ментарними подіями. Таким чином, простір елементарних подій  це сукупність всіх можливих наслідків стохастичного експерименту.

Приклад1. Припустимо, що монету підкидають один раз. Простір елементарних подій , цього експерименту має вигляд ={Г, Р}, де Г означає появу герба, буква Р-появу решки.

Приклад2. Монету підкидають двічі. Простором елементарних подій цього експерименту є множина ={ГГ, ГР, РГ, РР}. Тут ГР означає, наприклад, що при першому підкиданні з’явився герб, а при другому- решка.

Приклад 3. Підкидають шестиграний гральний кубик на якому вибиті очки від 1 до 6. Нас цікавить число очок, яке випало. Простіром елементарних подій тут може бути множина, яка складається з чисел 1,2,3,4,5,6, тобто ={ 1,2,3,4,5,6}.

В прикладах розглянутих вище простір елементарних подій був скінченною множиною. Але в багатьох задачах теорії ймовірностей експерименти мають нескінченне число можливих наслідків.

Приклад 4. Будемо вважати, що монету підкидають до першої появи герба. Простором елементарних подій такого експерименту є множина
= {1, 2 , … , n , … }, де n = РРРРР…РГ означає, що герб вперше

n-1 раз

з’явиться при n-тому підкиданні монети, а відповідає тій можливості, що герб ніколи не з’явиться (в цьому випадку наш експеримент продовжується нескінчено довго , -зліченна множина).

Неважко уявити собі задачу, де множина всіх наслідків стохастичного експерименту незліченна.


6

Приклад 5 . Нехай експеримент полягає у вимірюванні двох величин, які набувають значення з відрізка [ 0, 1] . Простір елементарних подій = { (x,y): 0} має континуум наслідків, так як результатом може виступити довільна точка відрізку [ 0, 1].


^ 1. 2 ВИПАДКОВІ ПОДІЇ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

Будь-яка підмножина А простору елементарни подій ( А) називається випадковою подією. При цьому  - достовірна подія, тобто подія, яка відбувається при будь- якому наслідку стохастичного експерименту.

Говорять, що подія А наступила, якщо наступила, яка небудь з елемен-тарних подій А.

Приклад1. Припустимо, що один раз підкидають гральний кубик і
А  подія, яка полягає в тому, що число очок, яке з’явиться, ділиться на 3. Тоді
 ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, А={3, 6}.

Приклад 2. Припустимо, що монету підкидають до першої появи герба. Нехай А подія, яка полягає в тому, що буде зроблено не більше трьох підкидань. Тоді ^ А={Г, РГ, РРГ}, ={Г, РГ, РРГ,РРРГ, РРРРГ, …,РРРРР…РГ , ……}.

n-1 раз

Таким чином, випадкові події пов’язані з даним стохастичним експериментомпідмножини в просторі елементарних подій  .

Сумою двох подій А та В називається подія А+ В ( АВ), яка складається з елементарних подій , які належать хоча б одній із подій А або В.

Добутком АВ (АВ) називається подія, яка складається з елементарних подій які належать одночасно і А і В.

Різниця подій А та В відповідає множині А-В ( А\В), яка складається з тих елементів А, які не належать В.=А називається доповненням до події А. Правило де Моргана.


7

Відзначимо, що основні поняття теорії множин можна також подати мовою теорії ймовірностей.

Теорія множин Теорія ймовірностей

____________________________________________________________________

Множина  - простір елементарних подій


____________________________________________________________________

Множина  - достовірна подія-подія, яка відбу-

вається при кожному здійсненні екс-

перименту.

_____________________________________________________________________

 ( порожня множина ) -неможлива подія- подія, яка не відбува-

вається при будь-якому здійсненні експе-

рименту.

_____________________________________________________________________

А⊂В з події А випливає подія В

_____________________________________________________________________

А^ В ( сума множин А та В) АВ - подія, яка полягає в тому,

що відбувається принаймі одна

з подій А або В

____________________________________________________________________

( переріз множин - подія, яка полягає в тому,

А і В) що відбудеться і А , і В.

_____________________________________________________________________

\ A ( доповнення до А ) - протилежна подія до А-

Mножина складається з подія , яка полягає в тому

тих точок, які не входять в що А не відбудеться

множину А.

____________________________________________________________________

= =- події А та

( А та В множини, В несумісні

які не перетинаються).

8


А\В ( різниця множин А і В) А\В-різниця подій А і В

подія, яка полягає в тому, що

відбудеться А і не відбудеться В

Сума (об’єднання) є подія, яка наступає тоді і тільки тоді, коли наступає одна з подій .

Добуток (або перетин) називається подія, яка полягає в тому, що відбуваються всі події Аі, і=1, 2, 3,…. , або всі події Аі, і=1, 2, 3,…., n.


Задача1. Монету підкидають двічі. Описати простір елементарних подій. Описати події : А={ принаймі один раз з’явиться герб }, подія В={ при другому підкиданні з’явиться герб }.

Задача2. Гральний кубик підкидають двічі. Описати простір елементарних подій. Описати події : ^ А={ сума очок які з’явились дорівнює 8 }, подія
В={ принаймі один раз з’явиться 6 }.

Задача3. З партії, що містить Nвиробів, серед яких є n бракованих, взято m виробів. Описати простір елементарних подій. Описати подію А: серед взятих виробів l- бракованих (n<N, lm)

Розв’язування.Простір елементарних подій  складається з усіх можливих партій, що містять m виробів, l (число таких партій ), ^ А складається з тих партій m виробів, серед яких є рівно l бракованих (число таких партій ).

Задача4. Побудувати множину елементарних подій в експерименті, що полягає в виборі з урни, яка містить m білих та n чорних куль, k  куль, де k. Яке число елементарних подій? Розв’язати задачу при умові, що кулі виймаються послідовно по одній.

Задача5. В коробці шість однакових, занумерованих кубиків. Навмання по одному вилучають всі кубики. Скільки елементарних подій містить простір? Описати подію ^ А={номери вилучених кубиків з’являться в зростаючому порядку}.

Задача 6. Три раза підкидають монету. а) Описати простір елементарних подій;

^ 9

б) описати події:А={двічі випав герб}, В={ принаймі один раз випав герб}.

Задача 7.Серед усіх родин з двома дітьми обрано одну. Описати простір елементарних подій і випадкові події : А={ в родині є хлопчик і дівчинка},

B={ в родині не більше однієї дівчинки}.

Задача 8. З таблиці випадкових чисел навмання вибрані два числа. Події А та В відповідно означають, що вибрано хоча б одне просте та хоча б одне парне число. Що означають події АВ та АВ ?

Розв’язування. Подія АВ означає появу подій А та В, тобто з двох вибраних чисел одне просте, а друге парне. Подія АВ означає появу хоча б однієї з подій А чи В, тобто серед двох вибраних чисел є хоча б одне просте або хоча б одне парне число, або одне з цих чисел просте, друге  парне.

Задача 9. Із множини подружніх пар навмання вибирається одна пара. Подія А={ чоловіку більше 30 років }, подія В={ чоловік старший за жінку }, подія С={ жінці більше 30 років }. З’ясувати зміст подій АВС, А\(ВА), АС.


Розв’язування. АВС  { подружжю за 30 років, причому чоловік старший за жінку };

А\(ВА) =( А але не ВА)  { чоловіку за 30 років, але він не старший за жінку };

АС  { подружжю за 30 років, причому чоловік не старший за жінку };


Задача 10. Подія А – хоча б один з трьох приборів які перевіряються бракований. Всі прибори доброякісні. Що означають події: АВ, АВ?

Задача 11. Із таблиці випадкових чисел навмання взяте одне число. Подія А вибране число ділиться на 5; подія В- дане число закінчується нулем. Що означають події А\ В та А

Задача 12. Підкидають два гральних кубики. Нехай подія А={сума очок непарна}, подія В={хоча б на одному кубику випала одиниця}. Описати події АВ, АВ, А.

Задача 13. Зроблено 3 постріли по мишені. Нехай Аі  подія, яка полягає в тому, що при і-тому пострілі є влучення (і=1,2,3). Виразити через події Аі такі

10

події: а) А  відбулось три влучення; б) В  не було жодного влучення; в) лише одне влучення; г) не менше двох влучень.

Задача 14. М ішень складається з 1О кругів, які обмежені концентричними колами з радіусами rк (k=1,2,…,10), причому r 1r2r10. Подія А к-попадання в круг радіуса rк (k=1,2,…,10). Що означають події В=, С=?

Задача 15. Нехай А12,…,Аn- випадкові події. Довести, що Р(.


^ 1.3 КЛАСИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ


Частота випадкової події.Нехай   простір елементарних подій. Розглянемо деякий стохастичний експеримент і подію ^ А, яка спостерігається в цьому експерименті. Повторимо експеримент n раз. Позначимо через Kn(А) - число експериментів, в яких відбулася подія А . Частотою подій А називається відношення

.

Частота може бути обчислена лише після того, як проведена серія експериментів, і, взагалі кажучи, частота змінюється, при переході від однієї до інщої серії з n експериментів, або з зміною n. Але, як показує досвід, при достатньо великих n для більшості таких серій експериментів частота зберігає майже постійну величину, причому великі відхилення спостерігаються тим рідше, чим більше n.

Якщо при великих n частота події ^ А мало відрізняється від деякого фіксованого значення р, то говорять, що подія А стохастично стійка, а число р є ймовірностю події А. Тобто, ймовірність події А є число близьке до частоти появи події А в довгій серії тотожніх експериментів.
  1   2   3




Похожие:

Методичні вказівки та учбові завдання до курсу \"Теорія ймовірностей\" для курсантів Військового інституту iconМетодичні вказівки до вивчення тем курсу 10 Тема Фінансово-кредитна інформація як об’єкт автоматизованої обробки 10
Розділ Навчально-методичне забезпечення. Методичні вказівки до вивчення тем курсу 10
Методичні вказівки та учбові завдання до курсу \"Теорія ймовірностей\" для курсантів Військового інституту iconМетодичні вказівки до циклу лабораторних робіт з курсу проектування контролерів периферійних пристроїв до видання
Слухали: про затвердження текстів методичних вказівок з виробничої практики (укладачі Р. Б. Дунець та Я. С. Парамуд) для студентів...
Методичні вказівки та учбові завдання до курсу \"Теорія ймовірностей\" для курсантів Військового інституту iconМетодичні вказівки до лабораторної роботи з курсу «Інформаційні технології» Для студентів спеціальності
Протокол сигналізації ір-телефонії Н. 323”. Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Інформаційні технології” для студентів...
Методичні вказівки та учбові завдання до курсу \"Теорія ймовірностей\" для курсантів Військового інституту iconМетодичні вказівки до лабораторної роботи з курсу «Інформаційні технології» Для студентів спеціальності
Протокол сигналізації ір-телефонії sip”. Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Інформаційні технології” для студентів...
Методичні вказівки та учбові завдання до курсу \"Теорія ймовірностей\" для курсантів Військового інституту iconМетодичні вказівки до виконання розрахункової роботи з курсу “Страхування” для студентів базового напряму підготовки
Методичні вказівки до виконання розрахункової роботи з курсу “Страхування” для студентів базового напряму підготовки 0501 «Економіка...
Методичні вказівки та учбові завдання до курсу \"Теорія ймовірностей\" для курсантів Військового інституту iconПротокол сигналізації ір-телефонії sip методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу
Протокол сигналізації ір-телефонії sip”. Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Інформаційні технології” для студентів...
Методичні вказівки та учбові завдання до курсу \"Теорія ймовірностей\" для курсантів Військового інституту iconПротокол сигналізації ір-телефонії mgcp методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу
Протокол сигналізації ір-телефонії mgcp”. Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Інформаційні технології” для студентів...
Методичні вказівки та учбові завдання до курсу \"Теорія ймовірностей\" для курсантів Військового інституту iconПротокол сигналізації ір-телефонії H. 323 Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу
Протокол сигналізації ір-телефонії Н. 323”. Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Інформаційні технології” для студентів...
Методичні вказівки та учбові завдання до курсу \"Теорія ймовірностей\" для курсантів Військового інституту iconМетодичні вказівки для виконання практичних робіт з курсу «Менеджмент» студентами спеціальності 050100 «Економіка підприємства»
Методичні вказівки для виконання практичних робіт з курсу “Менеджмент” студентами спеціальності 050100 “Економіка підприємства” /...
Методичні вказівки та учбові завдання до курсу \"Теорія ймовірностей\" для курсантів Військового інституту iconСистема Автоматизованого Проектування нвіс alliance методичні вказівки
Методичні вказівки до курсової роботи з дисципліни “Tеорія І проектування комп’ютерів, комплексів, систем та мереж” для студентів...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы