8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу icon

8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу



Название8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу
Дата конвертации17.05.2013
Размер76.8 Kb.
ТипДокументы
скачать >>>

8.3.  Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу. В теорії виробничих функцій, їх застосуванні важливим поняттям є поняття віддачі від масштабу. Для того, щоб розглянути це поняття, введемо однорідні функції.

Означення.


Однорідні
функції

Функція f  ( t ) = f  ( x 1 , x 2 ,  , x  ) називається однорідною функцією Ейлера степеня  , якщо виконується

f  ( t  ) = f  ( t x 1 , t x 2 ,  , t x  ) = t   f  (  ) ,   R ,

тобто при збільшенні кожної незалежної змінної в і раз значення функції збільшується в раз .


Економічно однорідність виробничої функції f  (  )  означає, що при збільшенні вектора виробничих витрат ресурсів в масштабі t ( в t раз ) , виробництво збільшується в t   раз. Це називається віддачею від масштабу . При   =  1 функція називається лінійною однорідною . Лінійна однорідна виробнича функція має властивість постійної віддачі від масштабу : збільшення всіх факторів виробництва на одну і ту ж величину приводить до збільшення обсягу продукції на ту ж величину. Таким чином, при збільшенні на 10 % кількості капіталу та праці для виробничої функції з постійною віддачею масштабу одержимо збільшення випуску продукції на 10 %.

F (tK , tL ) = t  F ( K , )  t > 0.

Якщо збільшення вектора виробничих витрат в t раз викликає збільшення випуску менше ніж в t раз, тобто  < 1, то говорять, що виробнича функція характеризується спадною віддачею від масштабу ; при  > 1, тобто при збільшенні випуску більше ніж в t раз , така виробнича функція має зростаючу віддачу від масштабу.

Так класична виробнича функція Кобба-Дугласа має постійну віддачу від масштабу

F (tK , tL ) = A ( t K  )   (t L ) 1-  = tA K  1-  = tF (, L ).

Загальна функція Кобба-Дугласа може мати як зростаючу віддачу від масштабу при   +    =    >  1, так і спадну віддачу при   +    =   < 1, бо вона є однорідною функцією Ейлера степеня   =   +   :  

F (tK , tL ) = A ( t K  )   (t L )  = t  + A K   = t  + F (, L ).

Лінійна виробнича функція, функція Леонтьєва є лінійними однорідними функціями, функціями сталої віддачі від масштабу. Динамічна виробнича функція 8.2.6. мала змінну віддачу від масштабу : в I та III періоди мала зростаючу віддачу від масштабу

 1  +   1 = 1.1060,   3  +   3 = 1.0381,

а в II період  спадну віддачу від масштабу

 2  +   2 = 0.8875 .

Чотирьохфакторна виробнича функція 8.2.7, а також виробнича функція CES Салоу 8.2.8 є однорідними функціями степеня h . Для Радянського Союзу виконувалась зростаюча віддача від масштабу : h  =  1.11111  >  1.





Властивість. Однорідну виробничу функцію можна представити як функцію витрат одного фактора, нехай x 1, та відношення витрат інших факторів до x 1 : x i  x 1 , .

f  1 , ,  ,  )  =  


 Функція f однорідна, тому

f  t  )  = f  t x 1 , t x ,  , t x  )  = t  f  1 , ,  ,  )  .

Звідки

f  1 , ,  ,  )  = f  t x 1 , t x ,  , t x  )  .

Покладемо t = 1  1 , одержимо

f  1 , ,  ,  )  = . 

Розглянемо лінійну однорідну функцію факторів ,, N :

 ( t K , t L , t N  ) = t  F ( K , L , N  ) .

Тоді за вказаною властивістю маємо

Y = L F  ,

Звідки

L = F  K  L, 1, N  L ) .

Тим самим одержали, що обсяг виробництва на одного працівника y   =  Y   L є функцією капітала на одного працівника або капіталоозброєнності k   =  K   L та ресурсоозброєнності n   =  N   L


y = f ( k , n )


Лінійну однорідну виробничу функцію капіталу K та праці L можна записати : продуктивність праці є функцією капіталоозброєнності праці :


ПП від КОП

y = f ( k , n )


Для класичної виробничої функції Кобба-Дугласа ця функціональна залежність візначається

y = k  .

Тим самим, використання виробничих функцій, які визначають продуктивність праці в залежності від капіталоозброєнності праці, значно спрощує економічний аналіз цих виробничих функцій.

Додатній, відє’ємний та нейтральний ефекти масштабу динамічної виробничої функції показані 1 на Рис. 8.4 . Розглядаємо виробничий процес, у якому праця і капітал використовуються у відношенні 5 годин праці до 1 години машинного часу. Промінь OP містить різні комбінації праці та капіталу, які використовуються для випуску продукції при збереженні сталої пропорції цих факторів виробництва. Для відносно низьких обсягів випуску продукції виробнича функція мала додатній ефект масштабу     1, як показано на відрізку OA . При цьому ізокванти наближаються все ближче одна до одної. Для середніх обсягів випуску продукції виробнича функція є лінійною однорідною   =  1 на відрізку AB . Ізокванти при цьму рівномірно віддалені одна від одної. Для відносно великих обсягів випуску продукції її виробнича функція демонструє від’ємний ефект масштабу     1, що показано нв відрізку BP . При цьому ізокванти все більше віддаляються одна від одної, так як потрібно все більше і більше виробничих факторів.


1За підручником : Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М.: “ Экономика”, “Дело”, 1992. -510 с. ( сс. 183-187 ) .




Нажми чтобы узнать.

Похожие:

8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу iconОднорідні рівняння Загальна теорія
Якщо функції та однорідні одного ступеня, то рівня­ння називається однорідним. Нехай функції та однорідні ступеня, тобто
8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу icon1 Однорідні рівняння
Якщо функції та однорідні одного ступеня, то рівня­ння називається однорідним. Нехай функції та однорідні ступеня, тобто
8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу iconЛекція 16. Однорідні симетричні ігри >16 Однорідні симетричні ігри (ігри з обмеженою взаємодією) Зауваження №1. В класичній теорії ігор приймають участь n гравців (Дж фон Нейман), І функції виграшу гравців R
Мкп). Для вирішення цієї проблеми М. Л. Цетліним було запропоновано новий клас ігор n гравців під загальною назвою – однорідні симетричні...
8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу iconПоняття, функції та система інвестиційного права
Загальна теорія права предметом правового регулювання вважає однорідні суспільно-необхідні відносини, що вини­кають у різних сферах...
8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу iconРеферат на тему: Функції відбору ( car list), ( cdr list). Ці функції
Ці функції відбору (селекторні функції) є примітивними функціями, та були розглянуті раніше. Також було показано як утворити похідні...
8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу iconПлан Область визначення. Способи задання функції. Рис. Зауваження 1
Зауваження Теорема 3 (п 2) стверджує існування визначеного інтеграла від Кусково-неперервної функції, яка має скінченне число точок...
8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу iconСклад, функції та значення крові. Кров – рідка сполучна тканина. Основні функції: Дихальна функція
Дихальна функція полягає в переносі кисню від легень до тканин організму та со2 від клітин до легень. Ця функція забезпечує енергією...
8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу iconОсновні правила диференціювання. Таблиця похідних
Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні...
8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу iconПоняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня
На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної X, а від багатьох аргументів x1,…,xn
8 Однорідні функції Ейлера. Віддача від масштабу iconШкіра. Будова та функції шкіри. Функції шкіри: Являється бар’єром між зовнішнім середовищем і внутрішнім середовищем організму. 2
Захищає організм від інфекції, механічних і фізичних ушкоджень і втрати рідини. Крім того в шкірі ще є потові і сальні залози, які...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы