Задача. Доказать, что если icon

Задача. Доказать, что если




Скачать 43.19 Kb.
НазваниеЗадача. Доказать, что если
Дата конвертации03.01.2013
Размер43.19 Kb.
ТипДокументы
источник
1. /Глава 2-1.doc
2. /Глава 2-2 (1).doc
3. /Глава 2-2 (2).doc
4. /Параграф 1.doc
5. /Параграф 2.doc
6. /Параграф 3.doc
7. /Параграф 4.doc
8. /Параграф 5.doc
9. /Параграф 6-1.doc
10. /Параграф 6-2.doc
11. /Параграф 7-1.doc
12. /Параграф 7-2.doc
13. /Параграф 7-3.doc
Задача. Доказать, что если
Решение. Пусть и
Задача. Каждое ребро призмы abca 1 b 1 с 1 равно Точки м и n середины ребер ав и a 1
Аксиоматика векторного пространства
Следствие из аксиом векторного пространства
Размерность Определение 1
Аксиоматика Евклидово-векторного пространства
Следствия из аксиом скалярного произведения
Теорема 18 (теорема косинусов для треугольника). Во всяком треугольнике
Конгруэнтность треугольников
Определение 19 Если каждым двум векторам и ставится в соответствие каждое действительное число такое, что
В на основании соотношения
Основные соотношения между тригонометрическими функциями Пусть и два единичных вектора

Глава 2

1. Некоторые векторные равенства


Среди векторных соотношений можно выделить несколько важных соотношений, называемых здесь основными. Эти основные соотношения являются, образно выражаясь, ключами к решению широкого класса задач.

I Основное соотношение. Во всяком треугольнике ЛВС выполняется равенство

(I)

Где М – центроид (точка пересечения медиан) треугольника АВС.

Докажем соотношение (I).

Пусть М – центроид треугольника АВС. Соединим точку М со всеми вершинами треугольника. Прямая МВ пересекает сторону АС треугольника АВС в точке О, являющейся серединой стороны АС. На прямой ВМ откладываем МЕ ВМ и соединяем точку Е с вершинами А и С. очевидно, что АМСЕ –параллелограмм. Поэтому . Откуда . Так как , то . Ч.т.д.

Задача. Доказать, что если М – центроид треугольника АВС и О -произвольная точка пространства, то выполняется равенство

(1)

Доказательство:

Запишем следующие векторные равенства:







Сложив эти равенства по частям, получаем:

,

откуда



Доказанное равенство также следует отнести к основным векторным соотношениям, так как оно часто используется в решении многих задач.

II Основное соотношения. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D так, что АD : DС = m : n.

Тогда имеет месть следующее соотношение:

(II)

Доказательство:

Из треугольника АВС имеем:





.

Ч.т.д.

Задача. Через середину Е медианы СС1 треугольника АВС проведена прямая АЕ, пересекающая сторону ВС в точке F. Вычислить АЕ : ЕF и СF : FВ.

Решение.

Введем векторы и . Пусть СF : = m : n. Тогда по формуле (II) имеем:



и (1)

где 0 < х < 1.

С другой стороны, учитывая, что Е – середина медианы СС1 получаем для АЕ следующее выражение:

(2)

В силу единственности разложения вектора по двум векторам из (1) и (2) получаем систему:

(3)

Разделив по частям первое уравнение системы (3) на второе, получаем, что m : n = 1 : 2, т.е. СF : = 1 : 2.

Сложив по частям уравнение системы (3), находим, что , т.е. AE : EF = 3 : 4

III Основное соотношение. Если точки М и N делят отрезки АВ и CD соответственно в равных отношениях так, что AM : MB = CN : ND = m : n, то выполняется равенство.

(III)

Доказательство:

Для доказательства равенства (III)
мы воспользуемся формулой (II). Запишем, что отрезки АВ и CD могут произвольно располагаться относительно друг друга (например, они могут лежать на скрещивающихся прямых и на прямых, принадлежащих одной плоскости).

Пусть О - произвольная точка, не принадлежащая ни отрезку АВ, ни отрезку CD. Соединим точку О с точками А, М, В, С, N и D и раcсмотрим векторы и .

Имеем:

,

,



Ч. т. д.

Задача. На прямой m даны три точки Р, Q, R, а на прямой m1 -три точки P1, Q1, R1 причем , . Доказать, что середины отрезков PP1, QQ1 и RR1 принадлежат одной прямой.

Решение.

Пусть М, N и К - середины отрезков РР1 QQ1 и RR1 соответственно.

На основании (III) запишем следующие векторные равенства:

(1)

(2)

Из (1) и (2) следует, что векторы и коллинеарные. А так как начало одного из них является концом другого, то точки М, N и К принадлежат одной прямой.

IV Основное соотношение. Дан тетраэдр ABCD и в плоскости его грани ABC точка М. Доказать, что для разложения



Выполняется равенство



Доказательство:

Допустим, что точка М лежит внутри треугольника ABC. Проведем через точки А и М прямую, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Пусть Е делит сторону ВС в отношении m : n, т.е.

BE : EC = m : n.

Тогда по формуле (II)



Пусть далее точка М делит отрезок АЕ в отношении p : q, т.е. AM : ME = p:q. Тогда



.

Откуда



Ч. т. д.

Добавить документ в свой блог или на сайт



Похожие:

Задача. Доказать, что если iconДоказать невиновность//Комсомольская правда в Украине. – 2009. – 27 мая. – С. 10 Что делать, если инспектор «разводит»
Гаи фразу типа «А что это у вас за запах такой странный из машины? Вы что пили?» И будь вы хоть тысячу раз трезвенником, такой вопрос...

Задача. Доказать, что если iconСборник задач "Неравенства"
Прасолов). Доказать, что если a,b,c стороны треугольника, то (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)?abc

Задача. Доказать, что если icon2. Доказать утверждение методом математической индукции
Доказать равенство, используя определения операций. (AB)(BA)=(CD)  A=B=C=D. (в комментариях к задачам указано,что следует использовать...

Задача. Доказать, что если iconДомашнее задание по теме: «Матрицы и действия над ними»
Доказать, что если матрица перестановочна с матрицей, то она перестановочна и с матрицей (где – любое отличное от нуля число)

Задача. Доказать, что если iconУченым удалось доказать, что зеленый чай помогает избавиться от лишнего веса
О чудодейственных свойствах улунского чая в Китае было известно уже давно, однако научно доказать его способность стимулировать процесс...

Задача. Доказать, что если iconПосылки: Для любых объектов X, y и z если X есть часть y и y есть часть z, то X есть часть z. Палец есть часть кисти руки. Кисть руки есть часть руки. Рука есть часть человека
Задача. Записать следующее рассуждение на языке логики предикатов и доказать его справедливость, используя метод резолюций

Задача. Доказать, что если iconТеневая экономика и теневая политика: взаимные интересы
Наша задача доказать обратное, показать, что теневая политика нуждается в теневой экономике, воспроизводит ее и пользуется ее плодами....

Задача. Доказать, что если iconТеневая экономика и теневая политика: взаимные интересы
Наша задача доказать обратное, показать, что теневая политика нуждается в теневой экономике, воспроизводит ее и пользуется ее плодами....

Задача. Доказать, что если iconАлександр Савкин
Или, еще хуже, в результате манипуляции нам приходится расплачиваться за результаты своих действий, которые, по сути, нашими не являлись....

Задача. Доказать, что если iconАлександр Савкин
Или, еще хуже, в результате манипуляции нам приходится расплачиваться за результаты своих действий, которые, по сути, нашими не являлись....

Задача. Доказать, что если iconВведение Задача №1 Задача №2 Задача №3 Задача №4 Задача №5 Задача №6 Заключение
Следовательно, объектом экономического анализа являются все направления хозяйственной деятельности предприятия

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы