Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации icon

Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации



НазваниеАппроксимация. Постановка задачи аппроксимации
Дата конвертации10.02.2013
Размер61.32 Kb.
ТипДокументы
скачать >>>


Аппроксимация.

Постановка задачи аппроксимации: даны точек дискретной функции . Построить функцию , которая близка к данной в соответствии с выбранным критерием близости.

В качестве обычно рекомендуется выбирать регрессионную модель. В регрессионных моделях искомая функция является суммой некоторых простых функций, называемых регрессорами. Эти функции могут быть произвольными и основаниями для их выбора служат физические соображения, интуиция, опыт, соображения простоты. Регрессионная модель записывается в следующем виде:

,

(2.10)

где регрессоры выбирает исследователь, а стандартные методы позволяют определить оптимальные коэффициенты , обеспечивающие близость функций и . При этом обычно в качестве критерия близости выбирают критерий минимума суммы квадратов отклонений значений от значений - ,

где ,

(2.11)

Очевидно, что для выбранных регрессоров имеем и "настройка" функции идет через коэффициенты . Найденные коэффициенты соответствуют точке минимума функции многих переменных .

Отметим, что в регрессионной модели вместо скалярной переменной можно использовать массив , и это соответствует наличию многих входных параметров в математической модели. Следовательно, в регрессионной модели имеем: исходных точек; регрессоров; входных параметров; каждый регрессор может зависеть от одного или нескольких параметров.

Обычно значения и невелики, а . Случай соответствует интерполяции, т.к. при этом будет проходить через заданные точки. В этом случае обычно применяют не регрессионные модели, а кубические сплайны.


Вычисление коэффициентов регрессионной модели и метод наименьших квадратов.

Метод вычисления коэффициентов в (2.10) называют методом наименьших квадратов (сокращенно - МНК), если при этом используется критерий наименьших квадратов .

Для упрощения записи будем использовать скалярную переменную , что соответствует , но все формулы верны, если - это массив.

Запишем условия минимума функции многих переменных :

,

и определим эти частные производные, дифференцируя . Получаем:



(2.12)

Подставим сюда

, ,

изменим порядок суммирования и обозначим через значение -го регрессора в -ой точке. Получаем систему уравнений с неизвестными величинами .

,

(2.13)

Система является линейной и решается стандартными методами. В результате получаем оптимальные коэффициенты .

Вводя матрицу коэффициентов системы (2.13), ,

и векторы , , , запишем её в компактном виде:



(2.14)

Часто вводят регрессионную матрицу c элементами .

; транспонированная матрица: .

Она полезна при вычислениях , , где , .

Подчеркнем, что полученная система линейна относительно коэффициентов , а зависимость от входных параметров может быть произвольной.

Пример регрессионной модели.

Пусть имеем исходных точек, входных параметра , регрессора: , , , что соответствует регрессионной модели . Решив систему трех линейных уравнений, получим аппроксимирующую функцию с конкретными числовыми коэффициентами.

Регрессорами могут быть в частности полиномы или просто степени , например: , , , , т.е. , это аппроксимирующий полином.

Достоинства регрессионных моделей: простота, наглядность, представление данных в многомерном пространстве, наличие стандартных статистических методов для проверки их адекватности. Недостатки: простота, произвольный выбор регрессоров, малая область адекватности.

^ АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛИНОМОМ. (МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ).

Задача. Даны 4 точки дискретной функции .



1

2

3

4



0

1

2

3



0

3

5

4

Построить функцию , которая близка к данной в соответствии с выбранным критерием близости.

Регрессионная модель записывается в следующем виде (аппроксимирующая функция):

, .

Вводим регрессоры: , , , тогда:.

Вычисляем коэффициенты методом наименьших квадратов. Запишем систему 3-х уравнений, которая является линейной и решается стандартными методами:



- значение -го регрессора в -ой точке, где , ;



1

2

3

4



0

1

2

3



0

3

5

4
































Введем элементы матрицы ( и ) для нашей системы:

, , , .

Теперь система уравнений примет вид:

,

где


























Получаем систему уравнений:

;

Решая данную систему, находим коэффициенты , , .

В результате получаем функцию:





0

1

2

3



-0.1

3.3

4.7

4.1




Похожие:

Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации iconПостановка задачи
Наименование задачи: расчет начислений заработной платы по профессиям и в целом по заводу
Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации iconКонтрольная работа по дисциплине «Информационные системы в экономике» на тему «Постановка задачи»
В работе приводится вариант решения задачи «Расчет заработной платы» с использованием ms excel
Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации iconИнформационные системы в экономике» на тему «Постановка экономической задачи»
Наименование задачи: расчет выручки и налога на добавленную стоимость от реализации сервисных услуг компьютерной организации ООО...
Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации iconКонтрольная Работа Информационные системы в экономике Вариант 10 содержание часть 1 Постановка задачи
Цель решения задачи: Обеспечение бесперебойности поставок, а также своевременный контроль за поставкой материалов
Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации iconПостановка задачи 1 > Организационно-экономическая сущность задачи 2
Допустим, для статистических отчетов необходимо ежемесячно получать ведомость под названием «Сумма заработной платы по профессиям»,...
Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации iconПостановка задачи 1 > Организационно-экономическая сущность задачи 2
Допустим, для статистических отчетов необходимо ежемесячно получать ведомость под названием «Сумма заработной платы по профессиям»,...
Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации iconПостановка задачи Решение

Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации iconКонтрольная работа по дисциплине «Информационные системы в экономике» Направление контрольной работы №1 «Постановка экономической задачи»
Цель решения задачи: своевременное и правильное отражение всех приходов, и расходов наличных денег в кассе организации
Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации iconРазработка информационно поисковой системы "название" средствами субд-mysql
Постановка задачи актуальность, формулировка задачи, перечень решаемых подзадач, требования к функциональным характеристикам, системное...
Аппроксимация. Постановка задачи аппроксимации iconКонтрольная работа по дисциплине «Информационные системы в экономике» На тему: Постановка задачи
Экономическая сущность задачи. Учёт суммы заработной платы по участкам и цехам необходим для учета расходов, которые отражаются на...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы