2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов icon

2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов



Название2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов
Дата конвертации18.06.2013
Размер144.89 Kb.
ТипДокументы
скачать >>>
1. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Глава_1.doc
2. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Глава_2.doc
3. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Глава_3.doc
4. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Глава_4.doc
5. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Глава_5-1.doc
6. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Глава_5-2_5-4.doc
7. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Глава_7.doc
8. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Цифровая_1.doc
9. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Цифровая_2.doc
10. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Цифровая_3.doc
11. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Цифровая_4.doc
12. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Цифровая_5.doc
13. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Цифровая_6-8.doc
14. /Основы аналоговой и цифровой электроники/Ю_М_ОГЛАВЛЕНИЕ.doc
15. /Основы аналоговой и цифровой электроники/глава_6.doc
А. В. Пуговкин Доцент кафедры телевидение и управление тусур
2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов
3. полупроводники – основа современной элементной базы электроники преимущества полупроводниковых элементов перед электровакуумными
4. многопереходные электронные элементы
5. основы теории электронных усилителей общие положения
Кроме значительного усложнения схемы
7. источники вторичного электропитания электронных устройств
II. Основы цифровой электроники
2. логические функции
3. характеристики и параметры логических элементов, основы схемотехники
Цифровые устройства комбинационного типа
Последовательностные цифровые устройства
6.
генераторы импульсных сигналов

Оглавление I. Основы аналоговой электронники
6. автогенераторы

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ОПИСАНИЯ
ЭЛЕКТРОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Описание нелинейных элементов


Все электрические элементы, в силу сложности происходящих в них физических процессов, являются нелинейными и инерционными. Это означает, что описание электрических связей “вход-выход” (воздействие-реакция) возможно лишь с помощью нелинейных дифференциальных уравнений. Из математики известны аналитические трудности решения нелинейных дифференциальных уравнений даже невысокого порядка. Поэтому в настоящее время наиболее профессионально приемлемым способом описания электронных компонентов является цифровое моделирование с использованием мощных программных продуктов (типа MicroSim DesignLab 8.0 и др.), позволяющих проводить численный анализ нелинейных инерционных элементов.

“Ручные” методы анализа в настоящее время используют только для решения простейшей задачи – расчета статического режима в простейших нелинейных цепях. Типичным примером такой задачи является определение статического режима в цепи из последовательно соединенных линейного и нелинейного элементов ( рис. 2.1).




Рис. 2.1. Последовательная нелинейная цепь: НЭ – нелинейный элемент



Пусть нелинейный элемент задан функцией

i=F(U), (2.1)

изображенной на рис. 2.2. Ток через линейный элемент – резистор – определяется линейным уравнением ( законом Ома)

.


Учитывая, что по II закону Кирхгоффа


Ur=E-Uн,


ток в цепи также может быть выражен линейной зависимостью

, (2.2)

которая графически представляет прямую линию, построенную по двум точкам:




Рис. 2.2. Определение тока в по-
следовательной нелинейной цепи
Uн=0, i=E/r,

i=0, Uн=E (рис.2.2).

Поскольку значение искомого тока I одновременно должно удовлетворять уравнениям (2.1) и (2.2), то решением задачи является точка А пересечения прямой линии и характеристики функции.


2.2. Линеаризация нелинейных уравнений





Рис. 2.3. Искажения выходного сигнала,
вызванные нелинейностью характеристики
“вход-выход” усилителя
На практике встречается широкий класс задач, когда нелинейность электронного элемента (устройства) не является принципиально необходимой и даже, более того, может оказаться вредной. Так нелинейность характеристики “вход-выход” усилителя приводит к искажению формы усиливаемого сигнала (нелинейные искажения), который может оказаться неприемлемым, например для качественно воспроизводимой музыки (см. рис. 2.3).

Ситуация изменится, если входной сигнал подать на вход усилителя на фоне постоянного пьедестала – напряжения смещения Есм (см. рис. 2.4) так, чтобы размах сигнала не выходил за пределы практически линейного участка а-в.





Рис. 2.4. Подача входного сигнала на
постоянном пьедестале – напряжении
смещения
Из рис. 2.4 видно, что, несмотря на сохранившуюся нелинейность характеристики усилителя, переменная составляющая выходного напряжения теперь линейно связана со входным сигналом Uвых(t)=kUc(t).

В принципе, для любого нелинейного элемента с характеристикой “вход-выход”

y=F(x),

для малых приращений относительно некоторого начального значения функции y0=F(x0),




Рис. 2.5. Замена нелинейной зависи-
мости y=F(x) линейной для малых
приращений y=kx относительно
исходного значения y0 , x0
связь “вход=выход” может быть заменена линейной (рис. 2.5) связью для приращения

y=kx, (2.3)

y=y-y0, x=x-x0.

Хотя уравнение (2.3) выглядит как линейное, оно называется линеаризованным, т. к. коэффициент уравнения k не является постоянной величиной, а зависит от начального значения y0 функции:

k=f (y0 ).

Замена нелинейной связи y=F(x) линейной для приращений

y=kx

относительно некоторого исходного значения функции y0=F(x0) называется линеаризацией. Значения y0, x0, определяемые вектором “рабочей точки” по характеристике нелинейного элемента при x0, будем именовать режимом покоя нелинейного элемента (или начальным режимом при x=0). Поскольку коэффициенты линеаризованного уравнения (в т. ч.е и дифференциального), а следовательно, и параметры устройства зависят от режима покоя – это понятие очень важно для электроники, а оптимальный выбор режима покоя является достаточно сложной оптимизационной многопараметровой задачей, поскольку характер зависимости отдельных параметров элемента от режима покоя может быть диаметрально противоположным.

Математически переход от нелинейного уравнения к линеаризованному осуществляется путем разложения нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности режима покоя с удержанием в этом разложении только приращения первого порядка.

Для электронного двухполюсника, описываемого на постоянном токе нелинейным уравнением

U=F(i), (2.4)

линеаризованное уравнение примет вид

. (2.5)

Очевидно, что коэффициент k уравнения (2.5) имеет размерность сопротивления, которое принято называть дифференциальным сопротивлением, или сопротивлением для приращений:

U=ri. (2.6)

Переход от нелинейного уравнения (2.4) к линеаризованному (2.6) позволяет при анализе цепи для приращений заменить нелинейный двухполюсный элемент резистором, сопротивление r которого должно быть определено из статического режима.

Рассмотрим пример использования линеаризации для решения конкретной задачи.




Рис. 2.6. Нелинейная цепь
На рис. 2.6 изображена схема, содержащая нелинейный элемент НЭ с характеристикой

u=ai2.

В схеме действуют два источника – постоянная ЭДС Е и переменный сигнал Uc(t) произвольной формы. Необходимо определить значение тока ic(t), потребляемого от источника переменного сигнала.

Допустим, что графоаналитическим методом определено значение постоянного тока I 0.




Рис. 2.7. Линеаризован-
ная модель цепи по рис. 2.6




Рис. 2.8. Схема нели-
нейного управляемого
элемента
Линеаризованное уравнение нелинейного элемента

U=2a I 0i=ri, r=2a I 0.


Полагая, что , заменим нелинейную цепь линеаризованной моделью (см. рис.2.7). Теперь анализ такой цепи является достаточно простой задачей. Особенностью линеаризованных моделей цепей является то, что постоянные источники в них отсутствуют, т. к. их приращения равны нулю (источник постоянной ЭДС заменяется закороткой, источник постоянного тока – разрывом).

Рассмотрим алгоритм линеаризации некоторого абстрактного управляющего элемента (рис. 2.8).


Пусть есть нелинейные зависимости

I2=F(Uу, U2), Uу=F( Iу). (2.7)





Рис. 2.9. Линеаризованная электрическая
модель управляемого элемента

Проведем линеаризацию относительно режима покоя

I20, U20, Uу0.

Разложив зависимость (2.7) в ряд Тейлора, получим



= (2.8)

=r11.

Оставляя пока без комментариев физический смысл коэффициентов линеаризованных уравнений S, ri, r11 на основании (2.8), можно построить электрическую линеаризованную модель управляемого элемента (рис. 2.9).



Рис. 2.10. Схема усилительного
устройства



Рассмотрим пример использования линеаризованной модели для анализа усилительного устройства, изображенного на рис. 2.10.


За счет источника смещения Есм через управляемый элемент задается ток покоя I20, а под воздействием сигнала Uc(t) этот ток получает полезное приращение I2(Uc), которое и требуется определить.




Рис. 2.11. Линеаризованная модель
усилительного устройства
Заменим схему нелинейного устройства на рис. 2.10 линеаризованной моделью этого устройства, для чего управляемый элемент заменим линеаризованной моделью, а источники постоянной ЭДС Есм и Ен закоротим (см. рис. 2.11). Ясно, что задача определения I2(Uc) по такой схеме решается обычным методом электротехники.





Рис 2.12. Графическое определение
коэффициента линеаризованного уравнения
Поскольку нелинейные зависимости (2.7) для конкретных управляемых элементов чаще всего задаются в виде статических (для постоянного тока) вольт-амперных характеристик, то коэффициенты линеаризованного уравнения могут быть найдены графически. Допустим, что для некоторого элемента зависимость

I2=F(Uу, U2)

задана графически (рис. 2.12).

Из уравнения (2.8) следует, например, что параметр

.

Условие U2=0 означает, что приращения определяют при неизменном значении U20, определяющем режим покоя.

Из рис. 2.12 очевиден алгоритм определения S. Аналогично можно определить и другие параметры линеаризованной модели, используя их определения из 2.8 и соответствующие вольт-амперные характеристики.

2.3. Частотный анализ линеаризованных цепей


При частотном анализе определяется установившееся значение реакции цепи на гармоническое воздействие

x(t)=xm sin  t.

Хотя реальные сигналы, действующие в электронных цепях, как правило, не являются гармоническими, тем не менее гармоническое воздействие широко используется как удобный тестовый сигнал. Гармонический сигнал является единственным физически реализуемым сигналом, который при прохождении через линейную цепь не меняет своей формы (меняется лишь амплитуда и появляется фазовый сдвиг, рис. 2.13).




Рис. 2.13. Реакция цепи на гармоническое
воздействие
Сохранение формы облегчает анализ (определение реакции), сводя его к определению амплитуды и фазы выходного сигнала.

С другой стороны, определяя реакцию цепи на гармонические сигналы разных частот (от низких до высоких), можно определить степень инерционности (быстродействие) цепи, т. к. максимальная скорость изменения гармонического сигнала во времени пропорциональна частоте:

x(t)=xm sin t; = xm cos t; = xm.

При частотном анализе широко используется символический метод (метод комплексных амплитуд), при котором реальный гармонический сигнал

x(t)=xm sin t

заменяется символическим (физически не существующим) комплексным экспоненциальным воздействием:

. (2.9)

Такая замена возможна только для линейной цепи, в которой справедлив принцип суперпозиции, и проводится с целью замены дифференциального уравнения цепи алгебраическим.

Действительно, дифференцирование и интегрирование (2.9) по времени приводят к следующим очевидным результатам:



т. е. к умножению или делению исходной функции на j.

Реакция цепи на символический сигнал ищется в виде

(2.10)

где – некоторый комплексный оператор.

Представляя в (2.10) в показательной форме

,

где () – аргумент , K() – модуль ,

получаем



.


Таким образом, искомая реакция



Итак, определив , его модуль К(), аргумент (), задача решается однозначно.

Оператор называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой цепи (АФЧХ), зависимость называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), –фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).


Очень важным является то обстоятельство, что параметры К() и () могут быть определены экспериментально для сколько угодно сложной цепи, что широко применяется на практике.


Продемонстрируем на простом примере алгоритм частотного анализа. Пусть имеется цепь, связь "вход-выход" которой описывается дифференциальным уравнением

.




Рис. 2.14. Графики АЧХ и ФЧХ
Введем символические значения

,

подстановка которых в дифференциальное уравнение приводит к равенству



откуда получим

(2.11)




Рис. 2.15. Прохождение импульсного
сигнала через цепь с “завалом” АЧХ
в области высоких частот



а окончательно



На основе (2.11) можно построить график АЧХ и ФЧХ (см. рис. 2.14), по которому определяется реакция цепи на гармоническое воздействие любой частоты (i).

Кроме того, АЧХ позволяет сделать вывод о том, что данная цепь плохо пропускает высокочастотные сигналы, т. е. сложный сигнал, проходя через такую цепь, “потеряет” высокочастотные составляющие. На рис. 2.15 показано изменение формы сигнала при прохождении через цепь с АЧХ на рис. 2.14.

2.4. Временной анализ линеаризованных цепей


Важным следствием линеаризации является то, что анализ реакции цепи на приращения относительно режима покоя – это задача при нулевых начальных условиях.

При нулевых начальных условиях применение одностороннего преобразования Лапласа



приводит к замене операции дифференцирования и интегрирования по времени к операции умножения или деления на переменную р:

(2.12)

В результате дифференциальное уравнение, определяющее связь “вход-выход” цепи, трансформируется в алгебраическое в функции от р:

y(p)=x(p)K(p), (2.13)

где передаточная функция цепи.

Переход от изображения реакции цепи к оригиналу (обратному преобразованию Лапласа L-1[у(р)] ) может быть проведен на основании интеграла свертки.

В теории преобразования Лапласа доказано, что, если y(p)=A(p)B(p), а A(t), B(t) – оригиналы А(р) и В(р):



то имеет место равенство ,

которое и называется интегралом свертки: (2.14)

На основании интеграла свертки можно, зная реакцию цепи на некоторый тестовый сигнал, определить реакцию цепи на любой сигнал. В качестве тестового сигнала может, например, выступать дельта-функция (t) – импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности. По определению дельта-функции площадь под кривой (t) равна единице:

.

Хотя дельта-функция является математической абстракцией, ее введение позволяет во многих случаях упростить анализ.

Поскольку изображение по Лапласу дельта-функции

,

то реакция цепи на дельта-функцию есть оригинал передаточной функции и называется импульсной характеристикой цепи:

K(t)=L-1[K(p)].

Для произвольного сигнала x(t) имеем

y(p)=x(p)K(p),

и на основании (2.14) получаем

(2.15)

Соотношение (2.15) означает, что, зная импульсную характеристику цепи k(t), можно определить реакцию цепи на любой сигнал x(t).

Реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие x(t)=1=1(t) (t0) называется переходной характеристикой цепи h(t).

Поскольку изображение по Лапласу единичной функции

,

то реакция системы на единичное воздействие будет равна

h(p)=1(p)K(p) = ,

тогда переходная характеристика

.

Для произвольного сигнала x(t) реакция цепи

y(p)=x(p)K(p).

Проведем очевидное преобразование этого выражения:

На основании свойств преобразования Лапласа оригиналы

.

Тогда на основании интеграла свертки и свойства линейности преобразования Лапласа получим

(2.16)

Соотношение (2.16) называется интегралом Дюамеля и позволяет по известной переходной характеристике цепи h(t) определить реакцию на любой сигнал.

Контрольные вопросы и задания








  1. Рис. 2.16
    Резисторы, конденсаторы и индуктивности. Их основные параметры. Графическое обозначение этих элементов.

  2. Какие методы расчета прохождения сигналов в электрических цепях Вы знаете?

  3. Что такое амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), фазо-частотная (ФЧХ) и переходная характеристики цепи?

  4. Рассчитать АЧХ приведенных цепей (рис. 2.16).


Основные результаты второй главы


Анализ цепей, содержащих нелинейные и инерционные электронные элементы, наиболее эффективен на основе численных методов с использованием моделирующих программ, например MicroSim DesignLab8.0.

Для статического расчета простейших нелинейных цепей возможно применение графоаналитического метода с использованием графического представления нелинейных зависимостей – вольт-амперных характеристик.

Во многих практических случаях, когда нелинейность электронной цепи не является принципиально необходимым свойством, возможно путем линеаризации перейти к линейной зависимости “вход-выход” для приращений относительно некоторого исходного режима цепи, который мы назвали режимом покоя.

Поскольку численное значение параметров линеаризованной модели цепи зависит от режима покоя, то правильный выбор последнего является важной инженерной задачей при проектировании электронных устройств.

Для анализа линеаризованных цепей широко используются частотный метод (при гармоническом воздействии) и временной метод (при произвольном воздействии).

Важнейшим свойством этих видов анализа является переход от дифференциальных уравнений “вход-выход” к алгебраическим в символической форме при частотном методе и в операторной форме при временном методе:

y(j)=x(j)K(j);

y(p)=x(p)K(p).

Использование передаточных операторов K(j) – амплитудной фазовой частотной характеристики и K(p) – передаточной функции системы делает анализ сложных линеаризованных цепей более простым и наглядным.

Зная реакцию цепи на простейшие стандартные воздействия – гармоническое, ступенчатое, дельта-функцию – можно методом наложения определить реакцию цепи на сложный периодический (частотным методом) или непериодический (временным методом) сигнал.


 Более корректное определение: Осредненное (линеаризованное) значение коэффициента передачи равно отношению амплитуды первой гармоники выходного сигнала к амплитуде входного . является функцией сигнала и не зависит от его мгновенного значения.







Похожие:

2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов iconНаучное сообщение «Синтез и свойства сверхтяжелых элементов»
И в области синтеза сверхтяжелых элементов получили мировое признание и закреплены в названии "Дубний" 105-го элемента Периодической...
2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов iconСоединения, определения вероятности
Соединения из n одинаковых элементов, распределенных по подгруппам из α, β, γ элементов, отличающиеся порядком элементов
2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов iconОписание дисциплины
В курсе «Неорганическая химия» изучаются физические и химические свойства простых веществ и соединений элементов главных и побочных...
2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов iconКонспект по дискретной математики
Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств= 2n. Если [pic], состоящее из элементов E, не принадлежащих...
2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов iconЗакон Д. И. Менделеева и система химических элементов. Свойства нейтральных атомов
...
2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов iconНаучно-справочный аппарат книги (3 класс) Цели
Цели: сформировать представление о назначении всех элементов книги; выработать навыки самостоятельной работы с книгой, используя...
2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов iconПрограмма аттестационных испытаний Химический факультет Бакалавриат по направлению Педагогическое образование, профили Химия и Экология Неорганическая химия
Периодический закон Д. И. Менделеева и Периодическая Система элементов Д. И. Менделеева. Строение электронных оболочек атомов. Атомные...
2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов iconАнализ егэ по химии Свердловский район 2009 2010 учебный год
Периодический закон и периодическая система химических элементов. Д. И. Менделеева. Радиусы атомов, их периодические изменения в...
2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов icon20 Выбор сетки конечных элементов
Для несовместных элементов аналогичные оценки получены в серии работ И. Д. Евзерова и В. С. Карпиловского (см., например, [8], [13])....
2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов iconКраткое описание химических элементов

2. математический аппарат описания электронных элементов описание нелинейных элементов iconЗанятие 17 Работа с массивами элементов управления в Visual Basic
Для массивов элементов управления можно создавать общие процедуры обработки событий, которые будут использоваться всеми элементами...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы