Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература icon

Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература



НазваниеСборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература
Дата конвертации12.06.2013
Размер445 b.
ТипСборник задач
скачать >>>


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2 семестр

  • Для студентов 1 курса АВТФ

  • Лектор: Бер Людмила Михайловна


ЛИТЕРАТУРА

  • ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

  • Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1. – М.: ИНТЕГРАЛ-ПРЕСС, 1997.

  • Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2. – М.: ИНТЕГРАЛ-ПРЕСС, 1998.

  • Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1., Т. 2. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

  • Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1975.

  • ^ ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

  • Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ. Справочное пособие. Ч.1. – Минск: Вышэйшая школа, 1989.

  • Герасимович А.И., Кеда Н.П., Сугак М.Б. Математический анализ. Справочное пособие. Ч.2. – Минск: Вышэйшая школа, 1990.

  • Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

  • Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – Минск: Высшая школа А, 2008.

  • Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах. Т. 1,2 – Издательское объединение «Вища школа», 1977.



Неопределенный интеграл

  • Пусть X R.

  • Определение. Функция F(x), xX называется перво-образной для функции y = f(x) на множестве X если она дифференцируема в каждой точке этого множества и F'(x)=f(x).

  • Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a, b] функция y=f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

  • Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве X, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т.е.

  • F2(x) = F1(x) + С, где С – константа.



Неопределенный интеграл

  • Определение. Совокупность F(x) + С всех первообра-ных функции y = f(x) на множестве X называется неопределенным интегралом функции y = f(x).

  • Обозначение.

  • при этом f(x) называют подынтегральная функция,

  • f(x) dx подынтегральное выражение,

  • а – знак интеграла.

  • С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой однопараметрическое семейство кривых y = F(x) + С (С – параметр), обладающих следующим свойством: все касательные к кривой в точках с абсциссой x = x0 параллельны между собой.



Основные свойства

  • , .

  • .

  • .

  • Интеграл от алгебраической суммы функций равен, алгебраической сумме их интегралов, т. е. .

  • Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. , где c – const.

  • Если и x = (t) – дифференцируемая функция, то .

  • В частности, , (а  0).



^ Таблица интегралов



Таблица дифференциалов

  • Во всех формулах этой таблицы в качестве и можно брать произвольную дифференцируемую функцию и = (х).



Методы интегрирования

  • Непосредственное интегрирование – интегрирование с помощью свойств, тождественных преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов.

  • Интегрирование по частям. Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем

  • Замена переменной. Теорема. Пусть функция x = (t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и : Т X. Тогда если на множестве X функция y = f (x) имеет первообразную F(x), то на множестве Т функция F((t)) является первообразной для функции f ((t))  (t). Из теоремы следует, что

          • .


Разложение полиномов на сомножители

  • Определение. Число b (действительное или комплексное) называется корнем полинома Pn(x), если Pn(b) = 0.

  • Теорема 1. Для того, чтобы b было корнем полинома Pn(x), необходимо и достаточно, чтобы Pn(x) делилось на (xb).

  • Теорема 2. Пусть корень полинома b есть комплексное число. Тогда комплексно сопряженное число также является корнем этого полинома.

  • Основная теорема алгебры. Всякий полином степени п  1 имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).

  • Теорема 3. Полином степени п имеет ровно п корней.

  • Определение. Если в разложении Pn(x) на сомножители бином (xb) повторяется k раз, то говорят, что корень b имеет кратность k.

  • Если k = 1, то корень называется простым.

  • Заметим еще, что в паре комплексно сопряженных корней оба корня имеют одинаковую кратность.



Интегрирование дробно-рациональных функций

  • Рациональной дробью называется дробь вида Pm(x) /Qn(x), где Pm(x) и Qn(x) – многочлены степени т и п соответственно. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя (т < п), в противном случае дробь называется неправильной.

  • Простейшими элементарными дробями называются дроби следующего вида:

  • ;

  • , m > 1, целое;

  • , где квадратный трехчлен не имеет действительных корней;

  • , где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.



Интегрирование дробно-рациональных функций

  • Теорема. Пусть Pm(x) /Qn(x)  правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (с вещественными коэффициентами)

  • Qn(x) = a (x x1) (x x2) …(x2 + p x + q) … (x2 + r x + s) ,

  • где x1, x2,…  вещественные корни, (x2 + p x + q), … (x2 + r x + s)  квадратные трехчлены, не разложимые на вещественные множители (+…+ + +…+ = n ). Тогда имеет место разложение

  • где Ai , Bi , Mi , Ni , Ri , Si , …  вещественные числа (некоторые из которых могут быть равны нулю).



Алгоритм интегрирования дробно-рациональной функции

  • 1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.

  • 2. Знаменатель Qn(x) разложим на простейшие сомножители:

  • Qn(x) = (xa)k…(xb)r (x2 + p x + q)l… (x2 + p x + q)s , где многочлены (x2 + p x + q) не имеют действительных корней.

  • 3. Представим дробь Pm(x) /Qn(x) в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:

  • где A1, A2, … ,Cs, Ds неопределенные коэффициенты, которые надо найти.

  • 4. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.

  • 5. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х.

  • 6. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая x равным действительным корням знаменателя.

  • 7. Подставим найденные коэффициенты A1, A2, … ,Cs, Ds в разложение дроби.

  • 8. Проинтегрируем простейшие дроби.



Интегрирование тригонометрических функций

  • Вид интеграла Применяются формулы

  • 1.

  • 2.

  • 3.



Интегрирование тригонометрических функций

  • Интегралы вида , где n и m – целые.

  • 1. Если n и m – четные, положительные, то применяются формулы понижения степени:

  • 2. Если n или m – нечетное, то непосредственно отделяют от нечетной степени один множитель.

  • 3. Если n и m – дробные или целые отрицательные и (n + m ) четное отрицательное, то замена t = tg x, иди t = сtg x.



Интегрирование тригонометрических функций

  • , где R – рациональная функция .

  • 1. Универсальная подстановка:  ,

  • 2. Упрощенные подстановки.

  • a) Подстановка:

  • b) Подстановка:

  • c) Подстановка:

  • d) Подстановка:



Подстановки П.Л.Чебышева

  • Интеграл вида , где m, n, p – рациональные числа

  • выражается через элементарные функции только в следующих случаях:

  • p < 0 – целое  x = t s, d x = s t s-1 d t , s – нок знаменателей m и n;

  • – целое  , s – знаменатель дроби p= к/s, ;

  • – целое  , s – знаменатель дроби p= к/s,

  • .



«Неберушиеся интегралы»

  • Интегралы вида , где Pn (x) – многочлен степени выше второй, в общем случае не выражается через элементарные функции. При этом если n = 2 или n = 3, то они называются эллиптическими, п > 4, то ультра-эллиптическими.

  • Интегралы от трансцендентных функций:

  • – интеграл Пуассона;

  • , – интегральный синус, косинус;

  • , – интегральный логарифм;

  • , – интегралы Френеля и др.



Спасибо за внимание






Похожие:

Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература iconСборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература
Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. М.: Наука, 1973
Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература iconСборник задач по курсу математического анализа. М. Наука, 1972, 1975, 1977, 1985 гг. Задачи и упражнения по математическому анализу (Под ред. Демидовича Б. П.) М. Наука, 1972, 1978, 1990 гг
...
Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература iconСборник задач по аналитической геометрии. М. Наука, 1975, 1980, 1986 гг. 240с., Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. М. Наука, 1977. 288с
Задачники: Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. М. Наука, 1975, 1980, 1986 гг. 240с., Фаддеев Д. К., Соминский...
Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература iconСборник задач по курсу математического анализа >08. 10. 2012 г

Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература iconСборник задач по курсу математического анализа. Докажите по опр., что последовательность
Исследование графика функции: асимптоты, интервалы монотонности, точки перегиба, точки экстремума, интервалы выпуклости (вогнутости):...
Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература iconСборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1981. 480 с. Занятие 1
Литература: Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, 1981. – 480 с
Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература iconСборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник. М. Наука, 1975. 239 с
Нелинейные действия с векторами (скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение)
Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература iconСборник задач по курсу математического анализа: Учеб пособие. 22-е изд., перераб. Спб: Профессия, 2003. 432 с
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: Учеб для вузов: в 3т. 5-е изд.,стер. М.: Дрофа. (Высшее образование. Современный...
Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература iconСборник задач по курсу математического анализа: Учеб пособие. 22-е изд., перераб. Спб: Профессия, 2003. 432 с
Бугров Я. С., Никольский см. Высшая математика: Учеб для вузов: в Зт. 5-е изд.,стер. М.: Дрофа. (Высшее образование. Современный...
Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. Дополнительная литература iconСборник задач по курсу математического анализа: Учеб пособие. 22-е изд., перераб. Спб: Профессия, 2003. 432 с
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: Учеб для вузов: в 3т. 5-е изд.,стер. М.: Дрофа. (Высшее образование. Современный...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы