2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н icon

2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н



Название2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н
Дата конвертации11.11.2012
Размер140.82 Kb.
ТипДокументы

I.1. Матрица – табл. действ. Чисел, организованных в строки и столбцы. Н.:


1 2 3 4

А= 5 6 7 8

9 10 11 12

Матрица А имеет 3 строки и 4 столбца, размер (3*4). Числа, входящие в матрицу, – элементы матрицы. Кажд. эл-т хар-ся 2-я коэфф.: № строки, в кот. стоит эл-т; № столбца. Н.: а12=2 а23=7

а23=5 а32=10

В общ. виде матрица записывается следующ. образом: а11 а12 а13 … а1n

а21 а22 а23 … а2n

… … … … …

аm1 аm2 аm3 … аmn

Размерность (m*n) – m строк, n столбцов. Виды матриц: 1) матрица, кот. имеет 1-у строку при произвольном числе столбцов – матрица-строка. Н.: В=(1 2 3 4 ) (1*4) – размерность; 2) если матрица имеет 1 –н столбец при произвольном числе строк – матрицей столбцов. Н.: 1

С= 2

3

4 (4*1) – размерность; ^ 3) если матрица имеет одинаковое число строк и столбцов – квадратной матрицей. Н.: 1 2 3

А= 5 6 7

Побочная диаг. – 9 10 11

Эл-ты с равными коэфф. образуют гл. диаг. матрицы; 4) если у кв. матрицы все эл-ты=0, кроме эл-тов, стоящих на гл. диаг., – диаг. матрица; 5) если у диаг. матрицы все не нулевые эл-ты= – скалярная матрица; 6) если у скалярной матрицы все не нулевые эл-ты=1 – единичная матрица (Е).

Н.: 1 0 0

Е3= 0 1 0 Е2=1 0

0 0 1 0 1 7) матрица любой размерности, все эл-ты кот.=0 – нулевая матрица.


Правило «звёздочки» (правило «∆»).

а11 а12 а13111112121313=

а21 а22 а23

а31 а32 а33

= а11*(-1)2* а22 а23 12*(-1)3* а21 а23 +

а32 а33 а31 а33

13*(-1)4* а21 а22=а11*(а22332332)-

а31 а32

а12*(а21332331)+а13*(а21322231)=

112233112332122133+

122331132132132231

а11 а12 а13

а21 а22 а23

а31 а32 а33

2 3 4

5 1 2=2+18+40-(12+15+8)=60-(35)=25

3 2 1


Cпособы реш. сист. лин. ур-ий: 1) Метод обратной матрицы: А*Х=В. Матрица имеет обратную матрицу А-1. Домножим ур-ие слева на матрицу А-1. А-1*(АХ)= А-1

-1*А)*Х=А-1Х=А-1



Е Н.: дана сист.

х1+2х23=0 1 2 –1 – матрица

12+2х3=1 А= 2 –1 2 коэфф. сист-ы.

1+3х2+2х3=1 4 3 2

1 2 -1

А=2 –1 2=-2-6+16-(4+8+6)=8-18=10

4 3 2 – определ. А=10

А11=(-1)2* -1 2 =-2-6=-8

3 2

А12=(-1)3* 2 2=-(4-8)=4

4 2

А13=(-1)4* 2 -1=6-(-4)=10

4 3

А21=(-1)3* 2 -1=-(4-(-3))=-7

3 2

А22=(-1)4* 1–1=2-(-4)=6

4 2

А23=(-1)5* 1 2=-(3-8)=5

4 3

А31=(-1)4* 2 -1=4-1=3

-1 2

А32=(-1)5* 1–1=-(2-(-2))=4

2 2

А33=(-1)6* 1 2=-5

2–1

-8 4 10 Транспонируем мат. (строка

Â=-7 6 5 меняется со столбцами) на

3 -4 -5 определ.

-8 –7 3 Х=А-1

(А)Т= 4 6 –4

10 5 -5

0,8 0,7 –0,3 0 -1

А-1= -0,4 –0,6 0,4 -1 = 1

-1 –0,5 0,5 1 1 ^ 2) Ф-лы

Крамера: Дана сист. 3-х ур-ий с 3-я неизвестными.

а11х112х213х3=b1 а11 а12 а13

а21х122х213х3=b2 Δ= а21а22 а23 ≠0

а31х132х233х3=b3 а31а32 а33

Δ – определ. «дельта» (гл. определ. сист.). Если=0, воспользоваться ф-лами нельзя. ^ 3 вспом. определ.: b1 a 12 a13 b1 a 12 a13

Δ1= b2 a 22 a23 Δ2=b2 a 22 a23

b3 a 32 a33 b3 a 32 a33

a11 a12 b1

3= a21 a22 b2

a31 a32 b3


х1=∆1/∆ х3 – неизв.⇒замен. столбцами

х2=∆2/∆ свобод. членов

х3=∆3/∆


^

Т. Крамера


Если ∆, гл. определ. сист.≠0, то сист имеет единственное реш., кот.



Операции над матрицей. 1. Умножение матрицы на скаляр (число). Д/того, чтобы умножить матрицу на скаляр, нужно умножить на это число все эл-ты матрицы. Н.: 1 2 3 3 6 9

А=4 5 6 3А= 11 13 15

7 8 9 21 24 27 ^ 2. Сложение (вычитание) матриц. Даны 2-е матрицы (одинаковые размерности). Тогда ∑ (разность) этих матриц – матрица той же размерности, каждый эл-т кот.=∑ (разности) эл-тов с соотв. коэфф-ми. Н.:

1 2 3 2 4 6 3 6 9 -1 –2 –3

А=4 5 6 В=7 8 9 А+В=11 13 15 А-В=-3 –3 –3

7 8 9 2 1 5 9 9 14 5 7 4

^ 3. Умнож. матриц. Пусть даны 2-е матрицы: 1) А (3*3); 2) В (3*2). А*В – выбираем 1-ую строку и первый столбец.

1 2 3 4 2 17 11

А=2 1 2 В= 2 3 А*В= 16 9

3 1 1 3 1 17 10

(3*3) (3*2) (3*2) Произведение матриц – С (n*m), каждые эл-т кот. будут=. Алгоритм: Дана А (n*k) и B (k*m). A*B=C (n*m). C=A*B (n*m)

k

Cij= ∑aipbij

P=1

Каждый эл-т, стоящий в i строке и j столбце=(Сij) скалярному произведению матриц. p – коэфф. меняющийся; k – число эл-тов в строках А и в столбцах В. Св-ва произведения: 1) Произведение матриц некоммуникативно. Произведения могут и не существовать. Даже если эти произведения существуют, они обязат.=. Если А*В=В*А, матрицы – перестановочные. 2) Произведение матриц ассоциативно: (А*В)*С=А*(В*С). 3) Произведение любой матрицы на единичную матрицу не меняет эту матрицу: АЕ=ЕА=А. 4. Транспонирование матриц. пусть дана матрица А, имеющая размерность (n*m). Транспонированная матрица, строки кот.=столбцам матрицы А, имеет размер (m*n). Транспонирование:

1 2 3 4 1 5 9

А=5 6 7 8 АТ-1= 2 6 10

9 10 11 12 3 7 11

(n*m) 4 8 12


^

Сист. лин. ур-ий

2х+3у=5 – сист. 2-ух лин.ур-ий с 2-я


4х-2у=3 неизвестными

Сист. т-лин. ур-ий с n-неизвестными

а11х112х213х3+…+а1mхn=b1

а21х122х213х3+…+а2mхn=b2

а31х132х233х3+…+а3mхn=b3

……………………………….

am1х1m2х2m3х3+…+аmnхn=bm

aij – известный параметр (коэфф.); i – №

ур-ия, к кот. относ. этот коэфф.; j – № ур-ия, к кот. относ. этот коэфф.; bi – известный параметр (свободный член этой сист.); хj – неизвестный параметр. _ ­­_

i=1, m j=1,n

Т.о. сист. m-ур-ий с n неизвестными. Осн. понятия: 1) упорядоченный набор n-действительных чисел – реш. сист., если при подстановке в кажд. ур-ие он обращает это ур-ие в верное рав-во. Если сист. не имеет реш. – несовместная; имеет 1 реш. – определённая, > 1 реш. – неопределённой. Матричная ф-ма записи сист.:

а11 а12 а13 a1n коэфф. сист. (матрица

а21 а22 а23 a2n коэфф-ов сист.).

А= а31 а32 а33 a3n х1 матрица столбца

……….……. х2 (n*1)

am1 am2 am3 amn х= х3

(m*n) … .

b1 хn

b2 (m*1) A*X=B

b= b3

:

bn





^ Кв. матрица. Дана кв. матрица А, тогда матрица А-1 будет называться обратной д/матрицы А, если выполняются следующ. усл-я: произведение этих матриц в любом порядке=единичной матрице (А*А-1=

-1*А=Е). Теорема: Если матрица имеет обратную, то только одну. Док-во: Докажем от противного. Предположим, что матрица А имеет обратные: А-1 и А*. А*А***А=Е. Домножим это рав-во слева на А-1. А*А*=Е. А-1*(А*А*)=А-1*Е. Воспользуемся ассоциативностью умножения:

-1*А)*А*-1 Е*А*-1

А*-1

Е

Т.е. действительно, если матрица имеет обратную, то только одну.


Св-ва определит.

1. Определ. не меняется при транспонировании . Т.о. строки и столбцы равноправны. 2. Если поменять местами 2-е строки (2 столбца) определит., знак определит. изменится на противоположный. 3. Чтобы умножить определ. на число, достаточно умножить на это число все эл-ты любой строки (столбца) – отличие определ. от матрицы. 4. Если определ. имеет 2-е одинаковые строки (столбца), этот определ.=0. 5. Если в определ. 2-е пропорциональных строки (столбца), этот определ.=0. 6. Если в определ. имеется нулевая строка (столбец), определ.=0. 7. Если любую строку (столбец) определ. умножить на число и прибавить к др. строке (столбцу), этот определ. не изменится. 2 3 4

5 1 2 =-56-(-81)=-56+81=25

3 2 1

2 3 4

1 –5 -6=-10-54+8-(-60+3-24)=25

3 2 1 ^ Т. Лапласа. Д/вычисления определ. можем взять любую строку, а также любой столбец. а11 а12 а13

а21 а22 а23 =

а31 а32 а33

i1i1i2i2i3i31j1j2j2j3j3j



Определ. (детерминант) – число, кот. ставится в соотв. кв. матрице и выражается через её эл-ты. ^ 1. Определ. 1-ого порядка. Дана кв. матрица, имеющая размеры: │А│=

=│а11 а12 │=а11а1212а21

а21Xа22

Прямые скобки указывают, что матрица явл. определительной. │1 2│=-2 │2 4│=24

│4 6│ │-3 6│

│а11 а12 а13Менор ij) – определ. 2-ого

│а21 а22 а23│порядка, кот. получается при

│а31 а32 а33│вычёркивании в определителе 3-его порядка i-строки и j-столбца.

М11=│а22 а23│М12=│а21 а23│М21=│а12 а13

│а32 а33│ │а31 а33│ │а32 а33

^ Алгебраическое дополнение Аij=(-1)i+j ij. Если нечётная, то отличается от менора знаком. Если чётная, то ничем. │а11 а12 а13

│а21 а22 а23│=

│а31 а32 а33

111112121313

│2 3 4│

│5 1 2│=2*(-1)2*│1 2│+3*(-1)3*│5 2│+

│3 2 1│ │2 1│ │3 1│

+4*(-1)4

│5 1│=2*(-3)+(-3)*(-1)+4*7=25

│3 2│


^

Вычисление определ. высш. Порядков


Происходит по той же ф-ле, т. Лапласа справедлива д/каждого порядка.

│ 2 4 3 -1│ │ 2 4 3 -1│ │-8 0 –4 2│=│ -4 8 2 0│=

│-2 4 1 0│ │ -2 4 1 0

│-1 5 2 5│ │-11 –15 –13 0

│ -4 8 2│

=(-1)*(-1)5*│ -2 4 1│=2*(-1)=

│-11 –15 -13│

│-2 4 1│

=│-2 4 1│=0

│11 15 13│

^ Алгоритм вычисления обратной матрицы.

Дана кв. матрица А. Найти обратную, т.е.

А-1. а11 а12 а13

А= а21 а22 а23 А-1 – ?

а31 а32 а33

Найдём определ. матрицы А. 1) Если определ. матрицы А=0, то матрица не имеет обратной и называется вырожденой. Если определ. матрицы А не=0, то матрица имеет определ. и называется не вырожденной.

^ 2) Вычисляем присоединённую матрицу. Присоединённая матрица – матрица состоящая из алгебраических дополнений.

1.│А│≠0 2. А11 А12 А13

Â= А21 А22 А23

А31 А32 А33

3. Транспонируем присоединённую матрицу и делим её на определ. матрицы А.

А-1=(Â)Т*1/|А| Н.: Дан определ. мат А.

|1 3 -1|

|А|=|2 –7 4|=42+36+2-(-21+36+4)=80-(11)=

|3 –1 6|

=69≠0 |А|=69

А11=(-1)2| 7 4|=42+4=46 А12=(-1)3|2 4|=0

|-1 6| |3 6|

А13=(-1)4|2 7|=-2-21=-23

|3 -1|

А21=(-1)3| 3 -1|=-(18-1)=-17

|-1 6|

А22=(-1)4|1 -1|=6+3=9

|3 6|

А23=(-1)5|1 3|=-(-1-9)=10

|3 -1|

А31=(-1)4|3 -1|=12+7=10

|7 4|

А32=(-1)5|1-1|=-(4+2)=-6

|2 4|

А33=(-1)6 1 3=7-6=1 46 0 -23

2 7 Â= -17 9 10

19 –6 1

46/69 –17/69 19/69 А*А-1

А-1= 0 9/69 –6/69

-23/69 10/69 1/69

1) 1*46/69+3*0+(-1)*(-23/69)=1

2) 1*(-17/69)+3*9/69+(-1)*10/69=

-17/69+27/69-10/69=0

3) 1*19/69+3*(-6/69)+(-1)*1/69=

=19/69-18/69-1/69=0

4) 2*46/69+7*0+4*(-23/69)=92/69-92/69=0

5) 2*(-17/69)+7*9/69+4*10/69=

=-34/69+63/69+40/69=1

6) 2*19/69+7*(-6/69)+4*1/69=

=38/69-42/69+4/69=0

7) 3*46/69+(-1)*0+6*(-23/69)=

=138/69-138/69=0

8) 3*(-17/69)+(-1)*9/69+6*10/69=

=-51/69-9/69+60/69=0

9) 3*19/69+(-1)*(-6/69)+6*1/69=

57/69+6/69+6/69=69/69=1 1 0 0

Е3= 0 1 0

0 0 1

























Нажми чтобы узнать.

Похожие:

2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н iconЭлементы линейной алгебры § Определители, их вычисление и свойства
Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т е
2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н iconДисциплина лааг консультация (линейная алгебра и аналитическая геометрия)
Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т е
2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н iconДисциплина лааг консультация (линейная алгебра и векторная алгебра)
Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т е
2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н iconИнтеллектуальная игра «морской бой»
Игровое поле – квадрат, состоящий из 10 строк, обозначенных числами от 1 до 10, и 10 столбцов, обозначенных буквами от а до К. Координаты...
2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н iconЛекция 20. Строение матрицы Адамара
Элементы матрицы можно вычислить непосредственно. Нумерацию строк и столбцов начнем с в этом случае номер строки или столбца задается...
2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н iconЗадания части A6 Задание 1 (демо 2009)
Представим массив в виде квадратной таблицы, в которой для элемента массива A[i,j] величина i является номером строки, а величина...
2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н iconИстория. 11 класс
Установите соответствие между фамилиями государственных деятелей и историческими событиями: к каждой позиции первого столбца подберите...
2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н iconИстория. 11 класс
Установите соответствие между фамилиями государственных деятелей и историческими событиями: к каждой позиции первого столбца подберите...
2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н iconКонспект развлечения по пдд во второй младшей группе "Как кот Мурзик познакомился с правилами дорожного движения"
Вед: Ребята, сегодня к нам в гости придет кот, по имени Мурзик. Он очень хочет с вами поиграть. Давайте громко похлопаем в ладоши...
2-я коэфф.: № строки, в кот стоит эл-т; № столбца. Н iconЦвета, абрисы и заливки в CorelDraw
Щелчок на стрелке “вниз” внизу и стрелке “вверх” наверху строки палитры позволяет прокручивать её, открывая новые цвета. Щелчок по...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы