Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации icon

Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации



НазваниеЗадача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
страница1/2
Дата конвертации17.10.2012
Размер0.51 Mb.
ТипЗадача
  1   2

Задача 1.

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 час работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении Фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,1 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,3 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производит ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной работы?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение

Введем следующие обозначения:

х1 – количество первого напитка («Лимонад»)

х2 – количество второго напитка («Тоник»)

Цена 1 л «Лимонада» таким образом составляет 0,1 х1 (ден. ед.), а цена 1 л «Тоника» составляет 0,3 х2 (ден. ед.). Т.к. нам необходимо максимизировать прибыль, получаем целевую функцию:

max f1,х2) = 0,1 х1 + 0,3 х2.

Ограничения задачи имеют вид:

0,02х1 + 0,04 х2 24;

0,01х1 + 0,04 х2 16;

х1,2 0.


Построим прямые, соответствующие ограничениям задачи: первая прямая имеет вид 0,02х1 + 0,04 х2 = 24, решением ее служат точки (1200;0)
и (0;400); вторая прямая имеет вид 0,01х1 + 0,04 х2 = 16, решением ее служат точки (1600;0) и (0;600).

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.1




рис. 1 Область допустимых решений


На рисунке 1 заштрихована область допустимых значений. Для определения движения к оптимуму построим вектор-градиент.
При максимизации функции движемся вдоль вектора-градиента.

Решая систему уравнений

0,02х1 + 0,04 х2 = 24;

0,01х1 + 0,04 х2 = 16.


Находим, что х1 = 800, х2 = 200.

max f1,х2) = 0,1 800 + 0,3 200 = 140 (ден. ед.)


Ответ: Прибыль будет максимальной, если производить 800 л. «Лимонада» и 200 л. «Тоника» ежедневно (х1 = 800, х2 = 200). При решении задачи на минимум решения не будет, так как целевая функция не ограничена снизу (особый случай ЗЛП).

Задача 2.

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования 2.

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.



Вид ресурсов



Нормы расхода ресурсов на ед. продукции



Запасы

ресурсов


I

вид

II

вид


III

вид


Труд

Сырье 1

Сырье 2

Оборудование


3

20

10

0


6

15

15

3


4

20

20

5


2000

15000

7400

1500

Цена изделия

6

10

9




Требуется:

  1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

  2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

  3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

  4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

    • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

    • определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;

    • оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.



Решение

^ 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем условные обозначения:

х1 – норма расхода ресурсов на одно изделие I вида

х2 – норма расхода ресурсов на одно изделие II вида

х3 – норма расхода ресурсов на одно изделие III вида

Целевая функция имеет вид:

max f(x) = 6 х1 + 10 х2 + 9 х3

Ограничения задачи имеют вид:

3 х1 + 6 х2 + 4 х32000

20 х1 + 15 х2 + 20 х315000

10 х1 + 15 х2 + 20 х37400

3 х2 +5 х31500

х1,2,30

Оптимальный план найдем через поиск решения в надстройках Microsoft Excel (рис. 2 и рис. 3)



рис. 2 Поиск оптимального плана



рис. 3 Добавление ограничения задачи

Таблица 1

Результаты поиска решения

 

х1

х2

х3

 

 

 

 

значение

520

0

110

 

ЦФ

4110

 

коэф. в ЦФ

6

10

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ограничения

 

 

 

 

Тип ресурсов

 

 

 

 

Левая часть

Знак

Правая часть

Труд

3

6

4

 

2000

<=

2000

Сырье 1

20

15

20

 

12600

<=

15000

Сырье 2

10

15

20

 

7400

<=

7400

Оборудование

0

3

5

 

550

<=

1500

Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4110 ед.) предприятие может получить при выпуске 520 единиц продукции I вида и 110 единиц продукции II вида. При этом трудовые ресурсы и сырье второго вида будут использованы полностью, тогда как из
15 000 единиц сырья первого вида будет использовано только 12 600 единиц, а из 1500 единиц оборудования будет задействовано только 550 единиц.

Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета (рис. 4):



рис. 4 Содержание отчета по результатам

В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных х1, х 2, х 3, которые равны 520;0;110 соответственно; значение целевой функции (4110 ед.), а также левые части ограничений.

()* = (520;0;110)

^ 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 4 функциональных ограничения: труд, сырье 1, сырье 2, оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 4 неизвестных:

y1 – двойственная оценка ресурса «Труд»

y2 – двойственная оценка ресурса «Сырье 1»

y3 – двойственная оценка ресурса «Сырье 2»

y4 – двойственная оценка ресурса «Оборудования»

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

min g(y) = 2000 y1+15000 y2+7400 y3+1500 y4

Необходимо найти такие «цены» на типы ресурсов (yi), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче будет 3 ограничения.

В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции.

Каждое ограничение соответствует определенной норме использования ресурса на единицу продукции:

3 y1 + 20 y2 +10 y3 6;

6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y410;

4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y49.

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности

= 0, тогда

y1(3 х1+ 6 х2+4 х3 – 2000) = 0;

y2(20 х1 + 15 х2 + 20 х3 – 15000) = 0;

y3(10 х1 + 15 х2 + 20 х3 – 7400) = 0;

y4(3 х2 + 5 х3 – 1500) = 0.

()* = (520;0;110)

Подставим оптимальные значения вектора в полученное выражение

y1(3*520+ 6*0+4*110 – 2000) = 0;

y2(20*520 + 15*0 + 20*110 – 15000) = 0;

y3(10*520 + 15*0 + 20 *110 – 7400) = 0;

y4(3 *0 + 5*110 – 1500) = 0.

Отсюда получим

y1(2 000- 2 000) = 0;

y2 (12 600 – 15 000) = 0, т.к. 12 600 < 15 000, то y2 = 0;

y3 (7400-7400) = 0;

y4 (550-1500) = 0, т.к. 550 < 1500, то y4 = 0.

Далее воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности

, если >0, то

В нашей задаче х1=520 > 0 и х3 = 110 > 0, поэтому первое и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

х1(3 y1 + 20 y2 +10 y3 – 6) = 0;

х2(6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y4 -10) = 0;

х3 (4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y4 –9) = 0.

Решая систему уравнений

3*у1 + 20*у2+10у3-6=0

у2 = 0

4*у1 + 20*у2 + 20 у3 + 5*у4-9=0

у4 = 0,

получим у1 = 1,5, у2 = 0, у3 = 0,15, у4 = 0.

Необходимо проверить выполнение первой теоремы двойственности


g(y) = 2000 y1+15000 y2+7400 y3+1500 y4 = 2 000*1,5 + 7400 *0,15 = 4 110

f(x) = 6 х1 + 10 х2 + 9 х3 = 6*520+9*110 = 4 110.

Это означает, что оптимальный план двойственности определен верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решения – Отчет по устойчивости в Excel (рис. 5).



рис. 5. Отчет по устойчивости

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора : ()* = (1,5;0;0,15;0)

3 y1 + 20 y2 +10 y36 3*1,5 + 20*0+10*0,156 6=6;

6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y410 6*1,5 + 15*0 + 15*0,15 + 3*010 11,25>10;

4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y49 4*1,5 + 20*0 + 20*0,15 + 5*09 9=9.

Затраты на 2 вид продукции превышает цену (11,25>10). Это же видно
и в отчете по устойчивости (рис. 5), значение х2 (нормир. стоимость)
равно -1,25. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу продукции больше, чем цена изделия. Эта продукция не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

  • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

  • определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;

  • оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

^ Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:


20002000 74007400

1260015000 5501500

Запасы по первому и третьему виду ресурсов были использованы полностью, а по второму и четвертому виду недоиспользованы на 2400 и 950 единиц соответственно.

^ Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины приводит к увеличению или уменьшению f(). Оно определяется:

f() =

=24 =24*1,5=36

f(x)*= 4110 + 36 = 4146 (ед.)


Из расчетов видно, что если мы увеличим запасы ресурса первого вида на 24 единицы, то выручка возрастет на 36 единицы, т.е. общая выручка составит после изменения ресурсов 4146 единиц.

При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на них не изменились.


y1 = 1,5 3 х1 + 6 х2 + 4 х32000 + 24

y2 = 0 20 х1 + 15 х2 + 20 х315000

y3 = 0,15 10 х1 + 15 х2 + 20 х37400

y4 = 0 0 x1 + 3 х2 +5 х31500

Решим систему уравнений:

3 х1 + 4 х3 = 2024

10 х1 + 20 х3 = 7400,

откуда х1 = 544,

х3 = .

Таким образом, новый оптимальный план () = (544; 0; 98).

= 24 * 6 = 144, т.е. при увеличении запаса ресурса первого вида выручка увеличится на 144 ед.

^ Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

8 y1 + 4 y2 + 20 y3 + 6 y4=11

подставим у1 = 1,5, у2 = 0, у3 = 0,15, у4 = 0

8*1,5 + 4*0 + 20*0,15 + 6*0 = 11

12+3=11

15=11. Т.к. 15>11, то включение в план изделия четвертого вида нецелесообразно.

Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий3.


Задачи 3.1-3.10. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 1 выберите числовые значения для таблицы 2.

Таблица 1


Вариант

Для первой строки

Для второй строки

Для третьей строки

10

0,1

0,1

0,2

160

0,1

0,2

0,3

180

0,1

0,2

0,3

170


Таблица 2



Предприятия

(виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат аi j



Конечный продукт Y


1


2


3



1

2

3



































РЕШЕНИЕ:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

1.1. Заполним таблицу 2 данными:

Таблица 2

Исходные данные


Предприятия

(виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат аi j



Конечный продукт Y


1


2


3



1

2

3


0,1

0,1

0,1



0,1

0,2

0,2



0,2

0,3

0,3



160

180

170


  1   2




Похожие:

Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации iconЗадача 1 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
При перемещении линии уровня в направлении вектора-Градиента получаем точку В, это и есть точка минимума, найдем ее координаты –...
Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации iconЗадача 1 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Финансовый консультант фирмы «авс» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства...
Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации iconЗадача 1 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Для производства красок используется два исходных продукта – а и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют...
Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации iconЗадача 1 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества...
Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации iconЗадача 1 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций а должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую,...
Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации iconВариант 5 Задача 1 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Е работ поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта а и В. Максимально возможные суточные...
Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации iconЗадача 1 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор...
Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации iconЗадача Решить задачу методом рассуждений и методом преобразования логических выражений

Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации iconЛабораторная работа по дисциплине: «Экономико математическое моделирование» Вариант №5 Смоленск 2006г. Задача Провести моделирование и решить специальную задачу линейного программирования
Задача Провести моделирование и решить специальную задачу линейного программирования
Задача Решить графическим методом типовую задачу оптимизации iconРешить задачу линейного программирования симплекс-методом

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы