Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття icon

Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття



НазваниеВступ до теорії ймовірностей. Основні поняття
Дата конвертации25.09.2012
Размер0.53 Mb.
ТипДокументы

§1. Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття.

Стохастичним називається експеримент, результат якого не можна передбачити наперед.

Стохастичниму експерименту ставиться у відповідність деяка множина , точки (елементи) якої відображають найбільш повну інформацію про можливі результати цього експерименту.

Множина називається простором елементарних подій, а її точки (елементи) - елементарними подіями. Множина може бути дискретною (скінченною або зчисленною) або неперервною.

Приклад . Проводиться стохастичний експеримент – монету підкидають два рази.

Очевидно, що ={ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}.

    1. ^ Класифікація подій та дії над ними.

Підмножини , для яких за умовами експерименту можлива відповідь одного з двох типів: “наслідок “ або “наслідок ” називаються випадковими подіями.

Зокрема, в прикладі 2 подія А : “герб з’явиться принаймні один раз”. Підмножина

А={ГГ, ГЦ, ЦГ} містить три елементи з множини , тобто подія А складається з трьох елементарних подій.

Множина , яка трактується як подія, характерна тим, що в результаті експерименту вона обов’язково відбувається при виконанні певної сукупності умов, називається вірогідною подією.

Підмножиною довільної множини вважається порожня множина Ш, яка не містить жодної точки з , тобто така подія в експерименті не відбувається , вона наз. неможливою подією і позначається Ш.

Нехай А і В – випадкові події. Якщо А В (тобто кожний елемент А міститься в В), то це означає, що подія А тягне за собою подію В. Іншими словами, якщо подія А відбувається, то подія В теж відбувається, тобто подія В є наслідком події А. Якщо А В і В А, то події А і В називаються рівносильними (еквівалентними): А=В.

^ Об’єднанням (сумою) двох подій А і В називається подія А В (або А+В), яка полягає в тому, що відбулася принаймні одна з подій А або В.

Перетином (суміщенням або добутком) двох подій називається подія А (або А·В), яка полягає в тому, що відбулася і подія А і подія В.

Різницею А\В називається подія, яка полягає в тому, що відбулася подія А, а В не відбулася.

Доповнення множини А позначається = \А, де - подія, протилежна події А.
  • ^

    Події А і В наз. сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої, тобто А В Ш.


Події називаються попарно несумісними, якщо Ш ( ).

^ Повною групою несумісних подій називається сукупність (скінченна або нескінченна) попарно несумісних подій, причому в результаті експерименту з’явиться тільки одна з цих подій, тобто

= Ш ( ), .

Операції об’єднання і перетину подій мають очевидні властивості:

. комутативність , А В=В А;

. асоціативність , (А В) С=А (В С);

. дистрибутивність , .

    1. Частота випадкової події.

Нехай ми повторили експеримент n разів, і - число спроб, в яких відбулася подія А.

Відношення називається частотою події А в даній серії експериментів.

Частота має такі властивості:

. .

.

. (Ш)=0.

. , де А, В – дві несумісні події.

1.3. Статистичне означення ймовірності.

Границя частоти при необмеженому збільшенні числа спроб n називається ймовірністю події А

.

Таке означення ймовірності наз. статистичним. Для підрахунку ймовірності воно не вик. 1.4. Класичне означення ймовірності.

,

тобто ймовірністю випадкової події А наз. відношення числа елементарних подій (спроб) m , сприятливих події А, до кількості всіх можливих елементарних подій (числа спроб) n в даному експерименті.

Основні властивості ймовірності:

. ,

.

. (Ш)=0.

^ 1.5. Геометрична ймовірність.

В область , площа якої , навмання кидають точку. Треба обчислити ймовірність того, що точка попаде в область , яка міститься в . Припустимо, що точка може попасти в довільну точку області і ймовірність попадання в якусь частину обл. пропорційна площі цієї частини. В цьому випадку йм. попадання в обл. ,

тобто ймовірність попадання випадкової точки всередину деякої області визначається як відношення розміру цієї області до розміру всієї області , в яку може попасти дана точка.

В одновимірному випадку під розміром обл. розуміємо довжину відрізка, в 3-вимір. – об’єм області.

^ 1.6. Поняття про аксіоматичне означення ймовірності.

За Колмогоровим, задається простір елементарних подій – множина і -алгебра підмножин множини . Ці підмножини наз. випадковими подіями. Довільній події А ставиться у відповідність невід’ємне число - ймовірність події А. Трійка наз. ймовірнісним простором.

Аксіоми, які визначають -алгебру множини :

. , Ш ;

. ;

. .

Звідси випливає, що .


Ймовірність як функція множини А задовольняє аксіоми:

. ;

. , де - попарно несумісні події;

. .

Аксіома – це розширена аксіома додавання, з неї випливає, що (Ш)=0.

Дійсно, оскільки Ш =Ш Ш ….., то (Ш)= (Ш)+ (Ш)…. Звідки (Ш)=0.

§2. Основні теореми теорії ймовірностей.

^ 2.1.Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

Якщо події А і В несумісні (А В= Ш), причому відомі їх ймовірності Р(А) і Р(В), то ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей

. (1)
  • Дійсно, нехай n – число всіх елементарних подій в деякому досліді, - число елементарних подій, сприятливих події А, - число елементарних подій, сприятливих події В. Тоді появі події сприяють + елементарних подій. Отже , за класичним означенням ймовірності


.

Наслідок 1. Ймовірність протилежної події обчислюється за формулою . (2)

Дійсно, оскільки , то . З іншого боку, . Отже, , звідки .

Наслідок 2. , (3)

де ( ) – попарно несумісні події.

Наслідок 3. Якщо події ( ) утворюють повну групу попарно несумісних подій, то

. (4)

Дійсно, за означенням повної групи попарно несумісних подій маємо , але .

Приклад 1.

^ 2.2. Умовна ймовірність.

Вище ми говорили, що в основі означення ймовірності випадкової події лежить сукупність деяких певних умов. Якщо ж ніяких інших обмежень, крім цих умов, при обчисленні ймовірності не накладається, то така ймовірність називається безумовною. Якщо ж поява деякої події відбувається за умови, що відбулась інша подія , причому , то ймовірність появи події наз. умовною

, ( ). (5)

Деколи використовують таке позначення умовної ймовірності .

Приклад 2

Умовна ймовірність служить характеристикою залежності однієї події від іншої.

Дві події і називаються залежними, якщо

, (6)

і незалежними, якщо . (7)

^ 2.3. Теорема множення ймовірностей залежних подій.

Розглянемо дві залежні події і , причому відомі ймовірності і . Ймовірність суміщення цих подій обчислюється за теоремою:

^ Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчисленої за умови, що перша відбулася

(8)

або .

Дійсно, за означенням умовної ймовірності із співвідношення (5) маємо

.

Оскільки , то .

Наслідок. Якщо події ( ), залежні , то

, (9)

тобто ймовірність сумісної появи декількох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх решти, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події відбулися.

^ 2.4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

Ця теорема є наслідком попередньої. Дійсно, якщо А , В - незалежні події , то, враховуючи (7), маємо . (10)

Декілька подій називаються попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні.

Наприклад, події А, В, С попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, В і С.

Декілька подій наз. незалежними в сукупності, якщо незалежні кожні дві з них і незалежні кожна з них і всі можливі добутки решти подій.Наприклад, якщо події А, В, С незалежні в сукупності, то незалежні події А і В, А і С, В і С, А і В С, В і С, і . Варто зауважити, якщо декілька подій попарно незалежні, то це ще не означає, що вони незалежні в сукупності.

Відповідно для незалежних в сукупності подій ( ) теорема множення ймовірностей записується . (11)

Приклад 3.


^ 2.5. Наслідки з теорем додавання і множення ймовірностей.

      1. Ймовірність появи принаймні однієї події.

Нехай в результаті експерименту можуть з’явитися події , , , незалежні в сукупності, причому відомі йм.-і їх появи і ймовірності не появи , ( ) , ( ).

Нехай - подія, яка полягає в появі принаймні однієї з подій , , , тобото

= ( ) ( ) ( ) ( ).

= .

Отже, , або + ( )=1.

Звідки =1- ( ), оскільки події , , незалежні в сукупності, або інакше .

Для подій , ,…, маємо

. (12)

Зокрема, якщо , то і

. (13)

Приклад 4.

^ 2.5.2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Нехай дві події і сумісні, причому відомі ймовірності цих подій , та ймовірність їх сумісної появи .

Ймовірність появи принаймні однієї з двох сумісних подій і дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи

. (14)

Дійсно, оскільки події і сумісні , то подія наступить, якщо наступить одна з трьох несумісних подій , або :

=( ) ( ) ( ).

Подія наступить, якщо відбудеться одна з двох несумісних подій або .

Аналогічно, подія наступить, якщо відбудеться одна з двох несумісних подій або .

Отже, = ( ) ( ); = ( ) ( )

,

( )= ( )+ ( ) ( )= ( )

+ = .

Для трьох сумісних подій формула (14) має вигляд

. (15)

^ 2.5.3. Формула повної ймовірності.

Нехай - несумісні події, які утворюють повну групу (так звані гіпотези), причому відомі їх ймовірності . Деяка подія може наступити разом з однією , причому відомі умовні ймовірності .

^ Ймовірність появи події , яка може відбутися разом з однією з гіпотез , дорівнює сумі добутків ймовірностей гіпотез на відповідні умовні ймовірності події

. (16)

Це так звана формула повної ймовірності.

Дійсно, подія наступає разом з однією з подій , тобто

.

За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо

,

а використ-чи теор. множення йм.-ей залежних подій , отримаємо (16).

^ 2.5.4. Формули Байєса.

Ймовірності гіпотез після проведення досліду, тобто коли відбулася подія , обчислюються

= (17)

Дійсно, за теоремою множення ймовірностей залежних подій маємо

.

Приклад 5.

§3. Схема незалежних спроб. Формула Бернуллі. Граничні теореми.

^ 3.1. Схема незалежних спроб. Формула Бернуллі.

Нехай проводиться скінченне число спроб, в результаті яких може зґявитися подія з певною ймовірністю , причому ймовірність не залежить від наслідків інших спроб. Такі спроби назвемо незалежними відносно події .

Обчислимо ймовірність того, що в результаті проведення незалежних спроб подія наступить рівно разів, якщо в кожній із спроб вона наступає із сталою ймовірністю або не наступає з ймовірністю . Позначимо шукану ймовірність .Ймовірність того, що подія в спробах зґявиться рівно разів, а в решті - спроб зґявиться протилежна подія , за теоремою множення ймовірностей незалежних подій дорівнює . При цьому подія в спробах може зґявитися рівно разів в різних комбінаціях, число яких . Оскільки всі комбінації подій є подіями несумісними і нам байдуже, в якій послідовності зґявиться подія або подія , то, застосовуючи теорему додавання ймовірностей несумісних подій, отримаємо формулу Бернуллі

= = . (1)

Йм.-і наз. біномними , оскільки вони мають відношення до формули бінома Ньютона

+ +…+ +…+ + , або

+ + +…+ +…+ + =1.


Приклад 1.

Найімовірнішим числом появ події в незалежних спробах наз. число, для якого йм. >= ймовірності кожного з решти можливих наслідків спроб.

= . (2)

Тоді, за означенням числа , ймовірності та не повинні перевищувати , тобто повинні виконуватися умови

, (3)

. (4)

Із нерівності (3) маємо

,

або після спрощення , звідки

. (5)

Аналогічно із (4) маємо

,

або , звідки

. (6)

Об’єднавши нерівності (5) і (6), отримаємо подвійну нерівність

, (7)

з якої і визначається найімовірніше число появ події.

Зауважимо, що довжина інтервала (7) дорівнює 1: =

Тому, якщо межі цього інтервала - дробові числа, то отримаємо тільки одне значення , якщо ж межі є цілими числами, то отримаємо два значення найімовірнішого числа

= та = .

Приклад 2.

Число - середнє число появ події в спробах.Для великих значень безпосереднє застосування формули Бернуллі є нераціональним, тому для обчислення ймовірності використовують інші, так звані асимптотичні, формули, що базуються на граничних теор.

^ 3.3. Локальна теорема Муавра – Лапласа.

Якщо ймовірність появи події в кожній спробі стала і така, що , то ймовірність числа появ події в спробах обчислюється за формулою

, (8)

де - парна

Приклад 3.

^ 3.4. Інтегральна теорема Муавра – Лапласа.

Якщо ймовірність появи події в кожній спробі стала і така, що , то ймовірність того, що подія з’явиться в спробах від до разів, обчислюється за формулою

, (9)

або , (10)

де , ; - функція Лапласа, вона непарна : , протабульована і для значень приймають 0,5.

Дійсно, розглянемо нерівність , або після очевидних перетворень

.

Звідки = ( )= = .

Зауважимо, що формули (8)-(10) можна застосовувати , якщо

Приклад 4.

^ 3.5. Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності.

Нехай провели незалежних спроб, в результаті яких подія наступила рівно разів, тобто відносна частота появ події . В кожній із спроб подія наступає із сталою ймовірністю ( ). Потрібно обчислити ймовірність того, що відхилення відносної частоти появ події від ймовірності не перевищить деякого заданого числа , тобто ймовірність виконання нерівності . (11)

Позначимо шукану ймовірність .

Перепишемо нерівність (11) або .

Домножимо кожну з частин останньої нерівності на : .

Тоді за формулою (9)

= = .

Отже, . (12)


^ 3.6. Теорема Пуассона.

Точність формул (8)-(10) знижується, коли , тому для оцінки ймовірностей масових, але рідкісних ( ) подій використовують теорему Пуассона.

^ Якщо в серії незалежних спроб , , але так, що добуток залишається сталим, то ймовірність обчислюється за формулою

. (13)

Формула (13) називається формулою Пуассона.

Дійсно, з формули Бернуллі (1) маємо

= = =

=

Перейшовши до границі, коли , отримаємо



= .

Отже, .

= . (14)

Приклад 5 Приклад 6.

§4.Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин.

^ 4.1. Дискретні і неперевні випадкові величини.

Назвемо випадковою величину, пов’язану з даним дослідом, яка при кожному здійсненні досліду може приймати те чи інше числове значення, залежно від випадку.Випадкова подія є якісною характеристикою випадкового результату досліду, а випадкова величина – його кількісною характеристикою. Випадкові величини поділяються на дискретні і неперервні.

Дискретна випадкова величина - це така величина, яка може приймати лишень розрізнені (дискретні, перервні) значення: . Випадкова в. називається неперервною, якщо сукупність її можливих значень цілком заповнює деякий проміжок числової осі.

^ 4.2. Закон розподілу випадкової величини.

Приклад 1.

Співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і ймовірностями, з якими приймаються ці значення, наз.-ся законом розподілу ймовірностей в. в.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу

. . . Р . . . причому , (1)

Графічне зображення закону розподілу називається многокутником розподілу: по осі абсцис відкладаємо можливі значення випадкової в. , а по осі ординат – ймовірності цих значень.

Закон розподілу неперервної випадкової величини може бути заданий графічно або аналітично (з допомогою формули). Тому для неперервних випадкових величин (як, зрештою, і для дискретних) визначають ймовірність попадання в деякий інтервал числової осі.

Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал визначають як ймовірність події і позначають , (2)

^ 4.3. Функція розподілу.

Функція розподілу(інтегральна) ймовірностей випадкової величини визначаються як ймовірність того, що в. в. Х прийме значення, менше деякого фіксованого числа і позначають

(3)

або .

Тоді ймовірність попадання випадкової величини в деякий інтервал :

. (4)

Дійсно, випадкова подія є об’єднанням двох несумісних подій і .

Отже, за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо

,

звідки ,або, враховуючи (3) .

Встановимо деякі властивості функції розподілу.

. є неспадною функцією, тобто , якщо .

. Значення функції розподілу належать відрізку , тобто .

Інакше:

. Функція розподілу неперервна зліва:

.

^ 4.4. Щільність розподілу

Нехай неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу , неперервною і диференційовною. Ймовірність попадання цієї випадкової величини в деякий інтервал знайдемо на підставі співвідношення (4):

тобто як приріст функції розподілу на цьому інтервалі.

Відношення виражає середню ймовірність, яка приходиться на одиницю довжини інтервалу.Перейшовши до границі при , отримаємо

.
  1. ^

    Функція (5)


називається щільністю розподілу неперервної випадкової величини Х , а її графік – кривою розподілу. Іноді вживають термін – диференціальна функція розподілу .
  1. З означення (5) випливає, що . (6)


Використавши формули (4) і (6), виразимо ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал через щільність розподілу

. (7)

Дійсно, .

Встановимо деякі властивості щільності розподілу:

. є невід’ємною функцією, тобто .

Дійсно, оскільки неспадна функція, то .

. .

Геометричне тлумачення щільності розподілу випливає із формули (7): ймовірність попадання випадкової величини Х обчислюється як площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху , знизу – відрізком осі абсцис, зліва і справа - відрізками прямих , .

геометрично означає, що вся площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, = 1.

^ 4.5. Приклади основних законів розподілу:

а) дискретних випадкових величин:

1. біномний розподіл: в.в. Х наз. розподіленою за біномним законом, якщо вона приймає значення із ймовірностями .

Функція розподілу . Очевидно, що =0 при і =1 при .

2. розподіл Пуассона: в.в. Х наз.розподіл. за зак. Пуассона з параметром ( пр), якщо вона приймає значення із йм.-и , причому дуже мале, а дуже велике.

Функція розподілу .

3. геометричний розподіл:

Нехай проводиться серія незалежних дослідів, в кожному з яких подія ^ А може з’явитися з

деякою ймовірністю р. Досліди продовжуються до першої появи події А, після чого дослід припиняється.Нехай випадкова величина Х – кількість проведених дослідів до першої появи події А.Можливі значення величини Х: . Подія означає, що в перших дослідах подія А не наступила, а в -му досліді наступила. Ймовірність дорівнює

.

Х123…n…Рpqp …Очевидно, що ,

Функція розподілу . =0 при

б) неперервних випадкових величин.

4. рівномірний розподіл: в.в. Х називається розподіленою рівномірно на інтервалі , якщо її щільність розподілу стала на цьому інтервалі



Використовуючи властивість щільності розподілу, знайдемо :

.

Легко бачити, що для .

для , для

5. показниковий розподіл: в.в. Х називається розподіленою за показниковим (експоненційним) законом з параметром , якщо її щільність розподілу



Використовуючи формулу (6) , отримаємо вираз для функції розподілу

.


6. нормальний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за нормальним законом з параметрами і , якщо її щільність розподілу

, .

Функція розподілу має вигляд .

Якщо зробити заміну

то ,

де - функція Лапласа.




;

якщо то ,

але

.


Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуде значення з інтервалу , обчислюється за формулою

= .

§5. Числові характеристики випадкових величин.

Характеристики, що виражають в стислій формі найістотніші особливості закону розподілу випадкової величини, називаються числовими характеристиками випадкової величини.

^ 5.1. Математичне сподівання.

Поняття матем. сподівання, яке є дійсним середнім значенням в. в. і визначається з врахуванням різних ймовірностей її окремих значень.Для дискретної в. в , заданої рядом розподілу

… де , математичне сподівання обчислюється за формулою

= , (1)

Нехай - неперервна випадкова величина, значення якої , і - її щільність розподілу. Розіб’ємо відрізок на частин, довжини яких , ,…, . Візьмемо в кожному частинному відрізку точку . Добуток приблизно дорівнює ймовірності попадання неперервної випадкової величини в інтервал , а сума наближено дорівнює математичному сподіванню неперервної випадкової величини. Якщо існує границя , то вона позначається = . (2)

У випадку, якщо , то = , причому інтеграл повинен збігатися абсолютно. Відзначимо найпростіші властивості математичного сподівання:

. ; де - стала величина,

. ;

. + ;

. ; якщо випадкові величини незалежні.

^ Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша випадкова величина.

Математичне сподівання називають центром розподілу ймовірностей випадкової величини , випадкова величина називається центрованою.

5.2. Дисперсія.

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання

= . (3)

Для дискретних випадкових величин для неперервних величин випадкових величин

= (4) = (5)

Тут для простоти позначено = .

^ Найпростіші властивості:

. ; де - стала величина,

. ;

. + ; якщо випадкові величини незалежні

= , (6)

де для дискретних випадкових величин і

для неперервних випадкових величин.

називається середнім квадратичним або стандартним відхиленням випадкової величини. Оскільки , то і .

Приклад 1. Приклад 2

5.3. Моменти.

Моментом го порядку випадкової величини називається математичне сподівання го степеня відхилення випадкової величини від деякої сталої величини

. (7)

Якщо =0, то момент називається початковим . (8)

Очевидно, що , .

Якщо = , то момент називається центральним . (9)

Очевидно, що , , = .

Між центральними і початковими моментами існує простий зв’язок, зокрема

, , .

Величина називається абсолютним моментом го порядку.

^ Модою в. В. (позначається ) називається найімовірнісне значення випадкової величини.

Медіана ( ) випадкової величини – таке значення випадкової величини, відносно якого рівноймовірно одержання більшого або меншого значення випадкової величини, тобто

.

Медіана – це абсциса точки, в якій площа під кривою розподілу ділиться навпіл. Медіана визначається як корінь рівняння

^ Коефіцієнт асиметрії (зкошеності) характеризує асиметрію графіка ф-кції розподілу.Коефіцієнт ексцесу характеризує гостровершинність кривої розподілу.

коефіцієнтом варіації -середнє квадратичне відхилення у відсотках до математичного сподівання

%.

Коефіцієнт варіації показує, наскільки велике розсіювання порівняно із середнім значенням в. в.

^ 5.4. Числові характеристики основних законів розподіл

      1. Біномний розподіл.

В. в. - число появ деякої події в незалежних спробах, причому . Нехай - число появ події в -й спробі . Кожна з дискретних в. в. приймає тільки два можливі значення : 0 і 1. В. в. = + +…+ . Отже, ряд розподілу

01 Звідки , , .

Оскільки в. в. незалежні в сукупності, то , .

5.4.2. Розподіл Пуассона.

Випадкова величина Х називається розподіленою за законом Пуассона з параметром ( пр), якщо вона приймає значення ,.. із ймовірностями , причому дуже мале, а дуже велике число. !

= = = . Отже, . (11) = = = + + = + = + =


Отже, = (12)

5.4.3. Геометричний розподіл

Х123…n…Рpqp = . (13)

Для знаходження суми ряду в правій частині (13) використаємо геометричний ряд

,

сума якого . (14)

Диференціюємо (14) по :

Оскільки , ,

то . (15)

Знайдемо = . (16)

Ряд домножимо на : і диференціюємо по

. Отриманий ряд домножимо на : звідки .

Отже, = . (17)

      1. Рівномірний розподіл.

Оскільки то . (18)

.

Отже, = . (19)

      1. Показниковий розподіл.

Оскільки ( . , то . (20)

. Отже, . (21)

      1. Нормальний закон.

Щільність розподілу , . Обчислимо математичне сподівання . Зробивши заміну , , ; отримаємо = + .

Інтеграл = ( це інтеграл Пуассона), інтеграл =0, як інтеграл від непарної функції. Отже, . (22)

Обчислимо дисперсію . Заміна зводить інтеграл до такого , який інтегруємо частинами

+ = .

Таким чином, . (23)

- це матем. сподівання нормально розподіленої в. в., а - її серед. квадратичне відхилення.

    1. ^ Йм. відхилення нормально розподіленої в. в.від її матем. сподівання. Правило 3 сигм.

Нехай - нормально розподілена в. в.з параметрами і . Йм. того, що її значення відхиляться від матем. сподівання не більше, ніж на деяке число , обчислюється

=2 . (24)

Дійсно, переписавши нерівність у вигляді і врахувавши формулу для ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини в деякий інтервал

= ,

отримаємо = = =2 .

Покладемо у формулі (24) , тоді

=2 =0,9973. - правило трьох сигм (25)

§6.Закон великих чисел.
  • ^

    1. Нерівності Чебишова.

  • Нехай Х - невід’ємна в. в., яка має скінченне матем. сподівання , тоді для виконується перша нерівність Чебишова


. (1)

Дійсно, нехай - функція розподілу неперервної в. в. . Тоді

.

Оскільки в області інтегрування , тобто , то .

Остання нерівність тільки підсилиться, якщо інтегрування розповсюдити на всі значення х, але

, звідки , отже і .

Нехай Х - довільна в. в., для якої існує , тоді має місце ^ 2 нерівність Чебишова:

; (2)

Дійсно, нехай Х – неперервна випадкова величина, тоді .

Оскільки в області інтегрування , то але . Звідси , тобто .

Перейшовши до центрованої в в. в , отримаємо таку форму другої нерівності Чебишова

. (3)

де - скінченна дисперсія.

Стосовно до протилежної події – відхилення випадкової величини від її математичного сподівання менше ніж , друга нерівність Чебишова може бути записана у формі

(4)

^ 2. Теорема Чебишова.

Введемо поняття збіжності за ймовірністю:

Кажуть, що послідовність незалежних випадкових величин збігається за ймовірністю до деякої випадкової величини , якщо для

. (5)

^ Теорема Чебишова: Якщо - послідовність попарно незалежних випадкових величин з однаковим математичним сподіванням , дисперсії яких рівномірно обмежені, тобто де - стала величина, то

. (6)

Для доведення розглянемо в. в .В силу властивостей математичного сподівання .

Оскільки незалежні, і , то .

Застосувавши до випадкової величини нерівність Чебишова у формі (4):



будемо мати ,

або перейшовши до границі, отримаємо

, оскільки ймовірність не може бути більше 1.

Теор. Чебишова показує, що при необмеженому збільшенні числа незалежних спроб середнє арифметичне спостережуваних значень в. в, яка має скінченну дисперсію , збігається за ймовірністтю до математичного сподівання цієї випадкової величини. Ця теорема є основою правила середнього арифметичного.

^ 3. Узагальнена теорема Чебишова

Коли характеристики випадкової величини змінюються від досліду до досліду, то має місце

узагальнена теорема Чебишова: Якщо - послідовність попарно незалежних випадкових величин, дисперсії яких рівномірно обмежені, тобто а математичні сподівання - різні, то

. (7)

Для доведення знову використаємо випадкову ведичину .

Тоді , .

Застосувавши до випадкової величини нерівність Чебишова у формі (4)




отримаємо .

Звідки при отримаємо формулу (7).

Частковими випадками теорем Чебишова є наступні теореми.

^ 4. Теорема Бернуллі.

Нехай проводиться незалежних спроб, в кожній з яких з ймовірністю може наступити деяка подія . Якщо - число появ події в спробах, то

. (8)

Іншими словами, із збільшенням числа незалежних спроб частота появи події відрізняється від ймовірності появи цієї події менше ніж на , яким би малим не було .

Дійсно, ввівши випадкові величини маємо , де - число появ події в -й спробі .

Випадкові величини мають однаковий ряд розподілу

01 qp

Звідки Відносну частоту можна розглядати як випадкову величину = . Тоді ; . Нерівність

Чебишова (4) для випадкової величини має вигляд (9)

Умови теореми Чебишова виконуються, і для середнього арифметичного значень величин тобто для , маємо

.


Узагальненням теореми Бернуллі на випадок, коли досліди проводяться в неоднакових умовах, є теорема Пуассона.

^ 5. Теорема Пуассона.

Якщо в послідовності незалежних спроб ймовірність появи події А в -й спробі дорівнює

, то

(10)

де - число появ події А в спробах.

Аналогічно, як при доведенні теореми Бернуллі, маємо .

Випадкові величини мають однаковий ряд розподілу

0 1

Отже , Відносну частоту можна розглядати як випадкову величину = . Тоді , . Нерівність Чебишова (4) для випадкової величини має вигляд (11) Умови узагальненої теореми Чебишова виконуються, і, перейшовши до границі при ,

отримаємо

Приклад 1. Приклад 2 Приклад 3.

^ 6. Центральна гранична теорема.

Під центральною граничною теоремою розуміється група теорем, в яких розглядаються умови про вигляд граничного закону розподілу суми , коли .

Найпростіша форма центральної граничної теореми - теорема Ляпунова - встановлює умови, за яких вказаний граничний закон є нормальним.

^ Теорема Ляпунова.

Якщо випадкові величини взаємно незалежні, однаково розподілені, мають скінченні математичні сподівання , дисперсії і абсолютний центральний момент

3-го порядку , то при закон розподілу суми необмежено наближається до нормального

. (12)

або (13)

Якщо перейти до нормованої центрованої величини

для якої , , (14)

то для великих значень ймовірність того, що сума прийме значення з деякого інтервалу , наближено дорівнює

= . (15)

Дійсно, із формул (11) або (12) за умов (13) маємо .

Найпростішим частковим випадком цієї теореми є інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

Нехай випадкові величини однаково розподілені, дискретні, і такі, що приймають значення 0 і 1 з ймовірностями і відповідно.

Очевидно, що

Тоді для суми маємо

На основі теореми (формула (13))

і отримаємо формулу (9) §3.

Приклад 4.






Похожие:

Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconВступ до теорії ймовірностей. Основні поняття
В наш час методи теорії ймовірностей широко застосовуються в теорії надійності, теорії масового обслуговування, теорії інформації,...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconМетодичні вказівки та учбові завдання до курсу "Теорія ймовірностей" для курсантів Військового інституту
Теорії ймовірностей “ таким як “Випадкові події”, “ Випадкові величини”, “ Граничні теореми”. В посібнику розглядаєтся теоретичні...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconПоложення теорії ймовірностей та математичної статистики Основні поняття та визначення: поняття стохастичної с-ми експерименту, ймовірності, випадкової величини ймовірнісний розподіл
Як правило досліджувана с-ма містить ряд елементів, що мають певну невизначеність. Такі системи називаються стохастичними, оскільки...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconАксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей
Нехай  – простір елементарних подій. Припустимо, що в  виділена система  підмножин, яка є -алгеброю. Це означає, що
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconОсновні теореми теорії ймовірностей
Ми в подальшому викладі будемо користуватися поняттями, що базуються на класичному означенні ймовірності. Розглянемо, як обчислити...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconВступ
Розділ основні положення теорії діагностики фінансового стану
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття icon11 Основні поняття теорії ігор
Потім головна увага знову була звернута до економічних проблем. Нині сфера застосування теорії ігор значно розширилась. Так, у соціальних...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconОсновні теорії походження держави. Особливості виникнення держав у різних народів світу Основні теорії походження держави
Патріархальна теорія (Аристотель, Р. Філмер, Н. К. Михайловський, М. Н. Покровський). Відповідно до цієї теорії держава походить...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconОснови метрології лекція Основні поняття теорії випадкових похибок
Випадкову похибку розглядають як випадкову подію. Під подією в теорії ймовірності розуміється всякий факт, який у результаті випробувань...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconЗаконність та правопорядок Вступ
Для того, щоб визначити основні поняття по даній темі, необхідно перш за все визначити об’єкт та мету мого дослідження, сформулювати...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы