§ Системи випадкових величин icon

§ Системи випадкових величин



Название§ Системи випадкових величин
Дата конвертации25.09.2012
Размер0.53 Mb.
ТипЗакон

§ 7. Системи випадкових величин.

1. Закон розподілу системи.

Законом розподілу системи в. в. наз. співвідношення, яке встановлює зв’язок між областями можливих значень системи і ймовірностями появи системи в цих областях.

  1. X\ … … x1 … … x2 … … ………………xi … … ………………xn … … яка наз. таблицею розподілу системи двох д. в. в. із скінченною кількістю можливих значень.

Всі можливі події , для ; утворюють повну групу несумісних подій, тому .

При цьому закони розподілу кожної із складових системи легко знайти. Так, для складової (її можливі значення , ) додавши ймовірності по рядках

; (1)

X P Для складової аналогічно

  • ^ 2. Функція розподілу системи

Функцією розподілу системи двох випадкових величин наз. функція двох аргументів F(x,y), яка = ймовірності сумісного виконання двох нерівностей X

F(x,y)=P(X). (3)

Геометрично ф-ія розподілу системи двох в. в. представляє собою ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) у лівий нижній нескінченний квадрант площини з вершиною в точці ( )

З геометричної інтерпретації отримаємо властивості функції розподілу системи двох в. в.

10. або . (4)

20. . (5)

30. . (6)

40. , якщо ;

, якщо .

Доведемо цю властивість, використовуючи геом. інтерпретацію функції розподілу системи.

Розглянемо такі три події:

, ,

Очевидно, що C=A+B але A і B – несумісні події. За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо P(C)=P(A)+P(B),

але , , тому ,

звідки .

Оскільки ймовірність – величина невід’ємна, то .

Отже, для .

  1. Аналогічно можна довести другу нерівність

для .

50. Ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат, обчислюється за формулою

. (7)

Виведемо цю формулу, користуючись геом. інтерпретацією системи. Нехай прямокутник має вершини (a,c), (a,d), (b,d), (b,c).Розглянемо такі події , , , , .

Очевидно, що E=A+B+C+D, але A,B,C,D – несумісні події, тому

P(E)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)

Оскільки P(E)=F(b,d), P(B)=F(b,c)-F(a,c), P(C)=F(a,d)-F(a,c), P(D)=F(a,c), то отримаємо

P(A)= F(b,d)- F(b,c)+ F(a,c)- F(a,d)+ F(a,c).

Скоротивши останні два доданки, отримаємо шукану формулу (7).

^ 3. Щільність розподілу системи.

Розглянемо ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в елементарний прямокутник із сторонами і , паралельними координатним осям, який примикає до точки ( ).

Застосувавши формулу (7), одержимо

(8)

Припустимо, що функція є не тільки непер., але і двічі диференційовною, тоді ф-ію , яка визначається формулою (8), наз. щільністю розподілу ймовірностей системи неперервних в. в. .

Отже, за означенням, щільність розподілу системи двох випадкових величин – це границя відношення ймовірності попадання випадкової точки в елементарний прямокутник до площі цього прямокутника, коли останній стягується в точку.

Геометрично щільність розподілу можна зобразити деякою поверхнею розподілу.

. (9)

Використовуючи (9) . (10)
  • ^

    Властивості щільності


. .

Дійсно, є границя відношення додатних величин: ймовірності попадання випадкової точки в прямокутник до площі прямокутника .

. . (11)

Геометрично це означає, що об’єм тіла, обмеженого поверхнею розподілу і

площиною , дорівнює одиниці. Дійсно, оскільки , а .

Одним з простих розподілів системи є рівномірний розподіл, щільність якого

. (12)

Внаслідок властивості щільності розподілу маємо , де - площа області .

Основна властивість рівномірного розподілу полягає в тому, що для нього застосовується геометричний спосіб визначення ймовірності. Так, якщо область міститься в , то

, (13)

де - площа області .

Дійсно, .

Приклад 1.

^ 4. Щільність розподілу окремих складових системи.

Нехай відома щільність розподілу системи . Знайти .

За властивістю функції розподілу маємо

.

Отже, використовуючи формулу , можна таким чином представити : .

(14)

^ 5. Умовні закони розподілу.

Розподіл однієї складової системи, знайдений за умови, що інша складова системи прийняла певне числове значення, називається умовним законом розподілу. Нехай складові системи – д. в. В., можливі значення яких ( ), ; . Припустимо, що величина прийняла значення , при цьому прийме одне із своїх можливих значень : .

= (15)

Сукупність умовних ймовірностей (15) наз. умовним розподілом складової за умови . Аналогічно визначається умовний розподіл складової = (16) Для системи неп. в. в. вводять поняття умовних щільностей розподілу або . За означенням = (17)

За теоремою множення ймовірностей = , але оскільки в. в. неперервна, то =0, і тому умовна ймов. не існує. Отже, праву частину (17) треба видозмінити, не змінюючи її змісту. Це можна зробити, замінивши умову такою: і спрямувавши . Таким чином, отримаємо таке означення умовної щільності розподілу

= . (18)

Знову ж таки за теоремою множення ймовірностей

= .

Тому формулу (18) можна переписати

= .

Розділивши в останньому виразі чисельник і знаменник на , отримаємо

= = . (19)

Аналогічно одержимо = (20)

або . (21)

= ; = . (22)

Відзначимо, що умовна щільність розподілу має такі властивості, як і безумовна, зокрема



Використовуючи теорему множення ймов-ей, для системи двох д. в. в. умовні закони розподілу

= , = , (23)

^ 6. Залежні і незалежні випадкові величини.

В. в. наз. незалежною від в. в. , якщо закон розподілу не залежить від того, яке значення прийняла в. в. : = , (24)

Аналогічно для випадкової величини : = ,

Якщо випадкова величина залежить від , то (25)

і аналогічно .

Для д. в. в. незалежність означає виконання умов хоч би для однієї пари значень ,

= , = (26)

Легко переконатися в тому, якщо не залежить від , то і не залежить від .

Дійсно, нехай = . Із співвідношення = = отримаємо = .

Ознаку незалежності випадкових величин:

Теорема. Для того, щоб н. в. в. та були не залеж., необхідно і досить, щоб щільність розподілу системи = добуткові щільностей розподілу її складових = . (27)

Для д. в. в. ознака незалежності має вигляд = (28)

Приклад 2. Приклад 3.

§ 8. Числові характеристики системи випадкових величин.

1. Моменти

Початковим моментом порядку системи називається мат. спод. добутку –го степеня в. в. і –го степеня випадкової величини = (1)

Початкові моменти обчислюються за формулами = (2)

для системи 2 д. в. в., де

Для системи двох неперервних випадкових величин = . (3)

Найбільш вживані поч. моменти 1-ого порядку = = , = = .

Це мат. спод. складових системи, вони визначають координати точки – центру розсіювання системи на площині .

Для системи двох дискретних випадкових величин = , = (4)

для системи двох н. в. в. = , = (5)

^ Центральним моментом порядку системи наз. мат.спод. добутку –го степеня і –го степеня відповідних центрованих в. в.

= . (6)

Центральні моменти обчислюються за формулами

для системи двох д. в. в. = (7)

для системи двох н. в. в. = (8)

Найбільш вживані центральні моменти другого порядку , , .

Моменти = = = ,

і = = =

^ 2. Момент зв’язку. Коефіцієнт кореляції.

наз. моментом зв’язку або кореляційним моментом (або коваріацією). Позначимо його = = . (10)

= (11)

де для д. випадкових величин (12)

і для неперервних випадкових величин. (13)

Зауважимо, що може бути додатним або від’ємним числом.

Оскільки , , , то для системи вводять кореляційну матрицю

, (14)

яка є симетричною матрицею.

(15)

Покажемо, що значення коефіцієнта кореляції лежать в межах . Для цього представимо коефіцієнт кореляції у вигляді математичного сподівання добутку двох нормованих величин

= , = :

= = (16)

Оскільки = =1, = =1, то з формули (16), враховуючи властивості математичного сподівання , маємо

= + = ,

або .

Тобто , звідки , або , звідки . Об’єднавши ці нерівності, отримаємо . (17)

Коефіцієнт кореляції досягає граничних значень –1 і 1 тільки у випадку лінійної функціональної залежності між величинами та .

^ 3.Корельованість і незалежність випадкових величин

Дві в. в. називаються некорельованими, якщо для них ; і корельованими, якщо .

Якщо в. в. незалежні, то вони і некорельовані, тобто їх коефіцієнт кореляції . Дійсно, нехай та незалежні, тоді

.

Отже,



Кожний з 2 інтегралів =0, оскільки вони є мат. спод. центрованих в. в. Звідси , .

Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне.

(18) Як ми вже знаємо, для незалежних випадкових величин

Покажемо, що дисперсія суми двох корельованих в. в.

.

Дійсно, за означенням дисперсії і враховуючи (18), маємо









Приклад 1. Приклад 2.
  • ^

    4.Числові характеристики умовних законів розподілу.


Умовне математичне сподівання випадкової величини за умови визначається:

для системи дискретних випадкових величин , (19)

або для системи н. в. в. . (20) , (21)

або . (22)

(23)

або . (24)

і умовних середніх квадратичних відхилень = , (25)

(26) або (27)

Із означення умовного математичного сподівання (19) випливає, що із зміною значення буде змінюватися і значення . Очевидно, що ми можемо розглядати функцію , областю визначення якої є множина можливих значень випадкової величини .Така функція називається регресією на . (28)

- регресією на . (29)

Лінії, які виражаються цими рівняннями, називаються лініями регресії. Ці лінії вводяться лише для неперервних в. в., бо для дискретних в. в. вони складаються з ізольованих точок площини.
  • ^

    5.Поняття про двовимірний нормальний розподіл

  • Нехай та - нормально розподілені і незалежні випадкові величини


; .
  1. ^

    Отже, на основі теореми множення щільностей маємо


. (30)

Якщо центр розсіювання співпадає з початком координат, тобто , то

- це канонічна форма двовимірного нормального розподілу.

Фіксованому значенню відповідає деяке стале значення показника степеня

, де -const.

Звідси отримаємо рівняння , (31)

яке наз. рівнянням еліпса однакової щільності або еліпса розсіювання.Осі симетрії наз. головними осями розсіювання.

Нехай та - залежні нормально розподілені випадкові величини.Тоді

(32)

де коефіцієнт кореляції .

Рівняння (33)

- це рівняння еліпса з центром в точці , а осі симетрії утворюють з віссю кути, які визначаються з рівняння .

Орієнтація еліпсів розсіювання відносно коор.осей знаходиться в прямій залежності від . Якщо та некорельовані , то головні осі розсіювання паралельні осям координат.

Щільність розподілу для некорельованих нормальних випадкових величин



тобто така, як і для не залеж. нормальних в. в.. Це означає, що для нормальних в. в. поняття некорельованості і незалежності еквівалентні.

Умовні закони нормального розподілу

, (34)

. (35)

Легко бачити, що ці вирази є щільностями нормального розподілу з математичними сподіваннями



(36)



і середніми квадратичними відхиленнями .


Як видно з формул(36), лінії регресії на та на у випадку нормального розподілу є прямими лініями



які проходять через точку - центр розподілу системи. Кутові коефіцієнти прямих регресії та називаються коефіцієнтами лінійної регресії на та на відповідно.

§9.Числові характеристики функції випадкових величин

^ 1. Математичне сподівання і дисперсія функції випадкової величини.

(1)

Нехай дискретна випадкова величина, задана рядом розподілу

X ^ P де , ( ); , тоді і функція теж дискретна випадкова величина.



Y P (2)

(3)

Якщо - н.в. в., то і функція теж н. в.а в., і мат. спод. (4)

якщо інтеграл (4) збіг-ся, а або - (5)

де .

Приклад 1. Приклад 2.

^ 1.1. Математичне сподівання і дисперсія лінійної функції.

Нехай , (6)

де – невипадкові величини, причому відомі і .

Враховуючи властивості математичного сподівання і дисперсії, отримаємо

, (7)

тобто математичне сподівання лінійної функції є лінійною функцією математичного сподівання її аргументу, а дисперсія

= (8)


^ 1.2. Математичне сподівання і дисперсія мінімальної із двох величин:

випадкової і невипадкової .

Випадкова величина як мінімальна із двох величин зв'язана з залежністю

= = . (9)

Знайдемо її математичне сподівання і дисперсію.

Нехай - н. в. в., щільність розподілу якої . За формулою (4) знайдемо мат. сподівання

= + = + (10)

= + = + (11)

Нехай - д.в.в., яка приймає значення , з відповідними ймов-и .
  1. ^

    За формулою (2) знайдемо математичне сподівання


+ (12)

де - номер максимального з можливих значень в. в. , яке не більше : .

+ (13

Приклад 1. Приклад 2.

^ 1.3. Мат. спод. і дисперсія максимальної із двох величин: випадкової і невипадкової .

= = . (14)

Нехай - н. в. в., щільність .розподілу якої .За формулою (4) знайдемо мат.сподівання

= + = . (15)

= + . (16)

^ 1.4. Математичне сподівання і дисперсія модуля функції випадкової величини.

Нехай = (17)

де - неперервна випадкова в. , щільність якої . За формулою (4) математичне сподівання

= + = +2 - . (18)

= = - (19)

^ 2. Математичне сподівання і дисперсія функції двох випадкових аргументів

(20)

Нехай -сис. д.в.в., задана табл. розподілу ( ), ( ), .

= -( (21)

де початковий момент другого порядку. (22)

Якщо - система н. в. в., щільність розподілу якої , то = -( (23)

де початковий момент другого порядку (24)

Запишемо числові характеристики функції в дещо іншому вигляді. = або = (25)

Тоді формула (23) може бути записана у вигляді

= (26)

Внутр. інтеграл - це умовне мат. спод. , знайдене за умови, що прийняла значення = (27)

(28)

Формула (28) називається інтегральною формулою повного математичного сподівання.

За формулою, аналогічною формулі (27), можна знайти умовний поч. момент другого порядку

= (29)

тоді (30)

Дисперсія = -(

де величини і обчислюються за формулами (30) і (28) відповідно.
  1. ^

    2.1. Математичне сподівання і дисперсія суми двох випадкових величин.


Нехай . (31)

= = +

Отже, = + (32)

= + +2

Отже, = -( = + +2 (33)

^ 2.2. Математичне сподівання і дисперсія лінійної функції двох випадкових величин

Нехай , (34)

де - невипадкові величини.

= (35)

= =

= + + + + + .

= -( = + +2 (36)
  1. ^

    2.3. Математичне сподівання і дисперсія мінімальної із двох випадкових величин.


Нехай = (37)

де - незалежні н. в. в. із щільностями і .Розглянемо гіпотезу, що випадкова величина попала в інтервал , ймовірність цієї гіпотези . За формулою (10)

= +

за (28) = = = + =

= + - - (38)

За (30) = + - - (39)

Якщо випадкові величини розподілені однаково, то

= -2 (40)

2 -2 (41)

Приклад5.

^ 2.4. Математичне сподівання і дисперсія максимальної із двох випадкових величин

Нехай (42)

де - незалежні н. в. в. із щільностями і .Міркуючи аналогічно, як в п.2.3. і використовуючи формули (15) і (16), отримаємо

= - = + (43)

= - =

= + (44)

Якщо випадкові величини розподілені однаково, то

=2 (45)

2 (46)

Приклад6.

^ 2.5. Математичне сподівання і дисперсія модуля різниці випадкових величин.

Нехай , (47)

де - незалежні н. в. в. із щільностями і . Розглянемо гіпотезу, що в. в. попала в інтервал , ймовірність цієї гіпотези . Умовне мат. спод. в. в. при цій гіпотезі було знайдено в п.1.4 формула (18), в якій замінимо на .

+2 - .

За (28) =2 +2 - - (48)

Оскільки величини симетричні, то

=

Тоді =2 +2 - - (49)

Знову ж таки в силу симетрії формулу (49) можна записати таким чином

=2 +2 - - (50)

= = = і випадкові велични незалежні, то

= ]= + + (51)

§10. Закон розподілу функції випадкових величин

^ 1.Закон розподілу функції випадкової величини.

(2)

Нехай: – Xд в в, задана рядом розподілу Тоді – теж д в в

X P , ..., .

Тут розрізняють два випадки: а) коли всі значення різні (функція монотонна),

б) коли серед є значення, які співпадають (функція немонотонна).

а) Якщо всі значення різні, то для кожного i=1,2, ...,n події

і тотожні.

Отже, і шуканий закон розподілу функції має вигляд

Y P де , ( ); .

Приклад 1.

б) Якщо серед чисел є однакові, то кожній групі однакових чисел відводимо в таблиці один стовпчик, а відповідні ймовірності додаємо Приклад 2

Нехай X – н. в. в., щільність розподілу якої відома: f(x). Знайдемо щільність розподілу g(y) випадкової велич . Припустимо, що ф-ія монотонно зростає, неперервна і диф. на .Функція розподілу випадкової величини визначається за формулою

= (3)

Якщо функція монотонно зростає, то подія еквівалентна події ( ), де - ф-ія, обернена функції , яка теж монотонно зростаюча, непер. і диф.

Отже, = = = (4)

Диференціюючи цей вираз по , отримаємо щільність розподілу випадкової величини

= = (5)


Якщо ф-ія на монотонно спадає, то подія еквівалентна події ( ).

Отже, = (6)

і =- . (7)

Оскільки щільність розподілу не може бути від‘ємною, то (5) і (7) можна об‘єднати в одну

= (8)

Зауваження. Якщо функція немонотонна, тобто обернена функція неоднозначна, то весь інтервал зміни значень функції розбиваємо на інтервали монотонності і для знаходження підсумовуємо за формулою (8) по всіх інтервалах монотонності.

Приклад 3. Приклад 4.

^ 1.2. Закон розподілу лінійної функції.

Нехай , де – невипадкові величини. Оскільки монотонна функція, то обернена функція теж монотонна. Маємо і за формулою (8)

. (9)

Вираз (9) показує, що лінійне перетворення в. в. X тотожне зміні масштабу зображення кривої і переносу поч. координат в нову точку. Вигляд кривої при такому перетворенні не змінюється. Покажемо, що лінійна функція розподілена нормально, якщо аргумент - нормально розподілена в. в.: . Припустивши , знайдемо похідну . За формулою (9) запишемо щільність розподілу функції

або . (10)

Таким чином, лінійна ф-ія теж розподілена нормально з параметрами і .

^ 2. Закон розподілу функції двох випадкових величин.

, де - функція. Геометрично функція зображається поверхнею. = (11)

Проведемо площину, || площині , на відстані від неї. Ця площина перетне поверхню по деякій кривій . Спроектуємо криву на площину . Ця проекція, рівняння якої , розділить площину на 2 області - для однієї висота поверхні над площиною буде менше , це область ; а для іншої – більше . Щоб виконувалась рівність (11), випадкова точка повинна попасти в область , яка визначається нерівністю .Отже, = (12)

. (13)

Приклад 5. Приклад 6.

^ 2.1. Закон розподілу суми двох випадкових величин.

. (16)

Нехай - система двох неперервних в. в. Побудуємо на площині лінію

= = . (17)

= . (18)

Із міркувань симетрії можна записати = .

^ 2.2. Композиція законів розподілу

Практичне значення має випадок, коли складові системи незалежні, тобто

.

Тоді говорять про композицію законів розподілу.Виведемо формулу для композиції двох законів розподілу. Нехай - незалежні випадкові величини ( ), тоді щільність розподілу суми , враховуючи (18)

= , (19)

або = (20)

Тут підінтегральні вирази означають згортку функцій і

Приклад 7.. Приклад 8Приклад 9. Приклад 10.

§11. Мат. статист. Основ. поняття. Статист. оцінки параметрів розподілу. Точкові оцінки хар.
  • Математичною статистикою наз. наука, яка займається розробкою методів відбору, опису і аналізу дослідних даних з метою вивчення закономірностей випадкових масових явищ.


  1. ^ Основні поняття.

Сукуп.значень ознаки всіх елем-ів даного типу наз. генерал.сукуп. може бути скінчен.абонеск.

Вибірковою сукупністю або вибіркою наз. сукупність випадково відібраних елементів.

Вибірковий метод полягає в тому, що з генеральної сукупності обсягу береться вибірка обсягу , де і визначаються характеристики вибірки, які приймаються за наближене значення відповідних характеристик генеральної сукупності.

^ 1.1. Статистичний розподіл вибірки

Нехай в результаті проведення досліду з генеральної сукупності зроблена вибірка обсягу . Вважаємо, що ознака - д. в. в., причому значення спостерігалось разів, тобто спостерігалось разів, - разів, …, - разів, і (обсягу вибірки).Значення наз. варіантами, а послідовність варіант, розташованих в порядку зростання – варіаційним рядом. Числа спостережень наз. частотами, а - відносними частотами.

Таблиці частот таблиці відносних частот






  1. ^

    Якщо ознака - неперервна в. в., то користуються інтервальними таблицями частот


Сукуп. значень варіант і відповідних їм частот (або віднос. час.) наз. статис. розподілом вибірки.

Приклад 1

^ 1.2. Полігон і гістограма.

Полігон частот – це ламана лінія, відрізки якої з’єднують точки .

Полігон відносних частот – це теж ламана лінія, відрізки якої з’єднують точки , де - обсяг вибірки.

Якщо непер, то будують гістограму.Гістограма частот – це ступінчата фігура, складена із прямокутників, основами яких є частинні інтервали довжини , а висоти = - щільність частоти. Тоді S i-го прямокутника , а S всієї гістограми частот = .Іноді будують гістограму відносних ч., в цьому випадку висота -го прямокутника = , її площа =1.Приклад 2.

^ 1.3. Емпірична функція розподілу

Функцією розподілу вибірки називають функцію , яка визначає для кожного значення відносну частоту події : = , (1)

де - число варіант, менших .

Її ще наз. емпіричною ф-єю розподілу, оскільки вона шукається емпіричним (дослідним) шляхом. Функцію розподілу генеральної сукупності наз. теоретичною функцією розподілу. Теоретична функція розподілу визначає ймовірність події , а емпірична функція - відносну частоту цієї події.

Із закону великих чисел, зокрема з теореми Бернуллі, випливає, що відносна частота події збігається за ймовірністю до ймовірності цієї події, тобто



Із означення емпіричної функції розподілу маємо такі її властивості:

. .

. - неспадна функція.

. =0 при , =1 при ,де , - найм. і найбільша варіанти.

Приклад 3.

^ 2. Статистичні оцінки параметрів розподілу

Знайти статистичну оцінку невідомого параметра(напр., у розподіл Пуассона) розподілу означає знайти функцію від випадкових величин, яка й буде наближеним значенням параметра.

Нехай θ - невідомий параметр теоретичного розподілу. Задача оцінювання параметра полягає в побудові наближеної формули

θ θ* , (2)

де функція θ* - статистика - теж є випадковою величиною. Значення функції θ* в наближеній рівності (2) наз. оцінкою параметра θ.

Властивості θ :

. незміщеність . (3)

. спроможність , . (4)

Для виконання цієї умови достатньо, щоб дисперсія оцінки при , тобто

(це випливає із нерівності Чебишова).

. ефективність . (5)

^ 3. Точкові оцінки числових характеристик

Вибіркове середнє (6)

Покажемо, що ця оцінка є спроможною і незміщеною. Будемо розглядати як незалежні, однаково розподілені в. в. , математичне сподівання яких .

Оскільки ,

то робимо висновок, що оцінка (6) є незміщеною.Покажемо, що оцінка (6) є спроможною. Дійсно, на основі закону великих чисел (теорема Чебишова)

. (7)

Для характеристики розсіювання спостережуваних значень кількісної ознаки вибірки відносно значення вводять вибіркову дисперсію

(8)

Покажемо, що ця оцінка є спроможною оцінкою дисперсії .

= (9)

Член збігається за ймовірністю до , а до . Це означає, що права частина виразу (9) збігається за ймовірністю до , тобто до дисперсії .

Отже, вибіркова дис. є спроможною оцінкою дисперсії .Перевіримо незміщеність оцінки (8) , тобто перевіримо, чи Для цього в (9) замість підставимо вираз (6):

. (10)

Оскільки дисперсія не залежить від того, в якій точці вибрати початок координат, то виберемо його в точці , (тоді

і .

Оскільки незалежні, то . Тому . (11)

Це означає, що оцінка (8) є зміщеною оцінкою для . Проте якщо помножити величину на , то одержимо незміщену оцінку виправлену вибіркову дисперсію s , яка буде і спроможною

(12)

Величина виправленим середнім квадратичним відхиленням (13)

. (14)

На практиці для обчислення вибіркової дисперсії використовують робочу формулу

, (15)

де , або (якщо різні варіанти). (16)

^ 4. Метод моментів обчислення точкової оцінки параметрів розподілу.

Цей метод запропонований К.Пірсоном.

4.1. Оцінка одного параметра.

Припустимо, що нам відомий вигляд щільності розподілу ознаки , який визначається одним параметром .

= .

Враховуючи, що = , а = , отримаємо = . (17)

Математичне сподівання = є функцією від .

Приклад 4

^ 4.2. Оцінка двох параметрів.

Припустимо, що щільність розподілу має вигляд , де невідомі параметри. = і = . Враховуючи, що = , = , = , = (18)

для знаходження невідомих параметрів .Приклад 5.

§12.Інтервальні оцінки. Надійна ймовірність. Надійні інтервали.

Нехай за даними вибірки ми знайшли парам. . Зрозуміло, що для малого маємо

. (1)

Число характеризує точність оцінки.Надійністю (надійною ймов.)оцінки за наз. ймовірність , з якою здійснюється нерів. (1): . (2) ,

, (3)

тобто ймовірність того, що інтервал заключає в собі невідомий параметр , = .

Такий інтервал називають надійним інтервалом (інтервалом довіри).

  1. ^ Надійні інтервали для оцінки мат. спод. нормал. розподілу при відомому .

. Точковою оцінкою для мат. сподівання є вибіркове середнє . (5)

Оскільки значення незалежні, то

, ,

Вважаємо, що - відома величина.

(6)

, (7)

Причому .

Позначивши , маємо рівняння ; (8)



Тобто побудований надійний інтервал (9)

Висновки:

1) при збільшенні обсягу вибірки число зм-ся, тобто точність оцінки збільшується;

2) зростання надійності веде до зб-ня ,отже, до зростання , або до зменшення точності.

Приклад 1.

  1. Надійні інтервали для оцінки мат. спод. нормальн. розподілу при невідомому .

В цьому випадку для малих обсягів вибірки використовують розподіл Стьюдента. (10)

Щільність розподілу Стьюдента має вигляд

, (11)

де - гама-функція.

Оскільки парна ф-ія від , то ймовірність виконання нерівності (12) визначається так . (13) , (14)

Для конкретної вибірки обсягу випадкові величини і замінимо невипадковими і . Знайдемо надійний інтервал , (15)

який покриває невідомий параметр з надійністю .

- табульоване значення в. в. і .

Із граничних співвідношень ; випливає , коли .

Приклад 2.

^ 3. Надійні інтервали для оцінки серед. квадрат. відхилення нормального розподілу

Нехай випадкова величина Х розподілена нормально. . (16)

, або .

Звідки , або ,

(17), де . (18)

Нехай ( ) незалежні нормально розподілені в. в., для яких , . Тоді сума квадратів цих величин , де , розподілена за законом “ ” (хі) або законом Пірсона з степенем вільності.

Щільність цього розподілу

(19)

тобто цей розподіл визначається одним параметром - обсягом вибірки і з ростом наближається до нормального.
  • ^

    Доведено, що випадкова величина (20)


розподілена за законом “ ” з степенем вільності. Позначимо (21)

= . Оскільки обернена функція = і = , то

=

або після спрощення = для (22)

Для того, щоб знайти (формула (18)), введемо випадкову величину

Перетворимо нерівність (17), припустивши, що

, або, помноживши почленно на , отримаємо

або . (23)

Ймовірність виконання нерівності (23) а отже і рівносильної їй нерівності (17), дорівнює

(24)

З рівняння (24) за даними значеннями і знаходять . Значення протабульовані.

Таким чином, побудований інтервал (17).

Приклад 3.

^ 4. Оцінка ймовірності (біномного розподілу) за відносною частотою

Нехай проводяться незалежні досліди з невідомою ймовірністю появи події А в кожній спробі. Оцінимо невідому ймовірність за відносною частотою ;

а) точкова оцінка. (25)

де - число появ події А , - число спроб. Ця оцінка незміщена. Дійсно, оскільки , то

.

Дисперсія оцінки ( ) , звідки . (26)

б) інтервальна оцінка.

Якщо досить велике і , то можна вважати, що відносна частота розподілена приблизно нормально. Тому можна користуватися формулою

.

В нашому випадку , або . (27)

Позначимо , де визначається з рівняння .

Отже, або (28)


Розв’яжемо останню нерівність (28) відносно .

Якщо , тоді
  • Піднісши до квадрата, отримаємо, або


. (29)

Знаходимо менший корінь = (30)

і більший корінь = (31)

нерівності (29), тоді шуканий надійний інтервал

. (32)

Приклад 4.





Нажми чтобы узнать.

Похожие:

§ Системи випадкових величин icon§ Системи випадкових величин
При вивченні випадкових явищ в залежності від їх складності доводиться використовувати дві, три або більше випадкових величин. Наприклад,...
§ Системи випадкових величин icon§ Системи випадкових величин. Закон розподілу системи. 1 Функція розподілу системи 1
Мат спод. І дисперсія максимальної із двох величин: випадкової І невипадкової. 10
§ Системи випадкових величин icon§10. Закон розподілу функції випадкових величин
Тому при розв’язуванні задач такого типу необхідно знати закони розподілу випадкових величин, що фігурують в постановці задачі. Звичайно...
§ Системи випадкових величин icon§ Числові характеристики системи випадкових величин
Початковим моментом порядку системи називається математичне сподівання добутку –го степеня випадкової величини І –го степеня випадкової...
§ Системи випадкових величин iconВикористання історичних відомостей про системи вимірювання величин в початковому курсі математики з історії розвитку системи одиниць величин
Основою точних вимірювань являються зручні, чітко визначені одиниці величин І еталони цих одиниць. В свою чергу, точність еталонів...
§ Системи випадкових величин icon§ Системи випадкових величин
Якщо умова виконується хоча б для однієї пари значень, то залежні між собою. Дійсно, вже для, ця умова виконується: Отже, 0,37. Таким...
§ Системи випадкових величин iconАбсолютно неперервні випадкові величини
Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань
§ Системи випадкових величин iconОснови метрології лекція Одиниці І системи одиниць фізичних величин
...
§ Системи випадкових величин iconЧислові характеристики випадкових величин
Користуючись такими характеристиками, ми в стислій формі можемо отримати інформацію про істотні особливості законів розподілу випадкової...
§ Системи випадкових величин icon“Густина (щільність) розподілу імовірностей одновимірної і багатовимірної випадкових величин”
Нехай є неперервна випадкова величина з неперервною та диференційованою функцією розподілу
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы