Основи метрології лекція Основні поняття теорії випадкових похибок
|
| Розділ 1. ОСНОВИ МЕТРОЛОГІЇ Лекція 1.5. Основні поняття теорії випадкових похибок.
Випадкову похибку розглядають як випадкову подію.Під подією в теорії ймовірності розуміється всякий факт, який у результаті випробувань може відбутися або не відбутися. Щоб кількісно порівнювати між собою події за ступенем неможливості, потрібно з кожною подією зв'язати певне число, яке тим більше, чим більше можлива подія. Таке число називається імовірністю події. Імовірність події є чисельна міра ступеня об'єктивної можливості цієї події, а конкретніше поняття ймовірності події в самій своїй основі пов'язане з дослідним, практичним поняттям частоти події. Як одиницю виміру приймемо ймовірність достовірної події й припишемо їй ймовірність, рівну 1. Тоді ймовірності інших можливих, але не достовірних подій будуть характеризуватися ймовірностями, меншими за 1. Природно, що ймовірність неможливої події дорівнює 0. Якщо є можливість зробити експерименти й порахувати, скільки випадкових результатів експерименту привели до появи події А, то можна оцінити ймовірність події А за формулою  , (1)де Р(А) - імовірність події А; n - загальне число можливих результатів експерименту, m - число результатів експерименту, які привели до появи події. З формули (1) видно, що  .^ 1. Повна група подій. Кілька подій у даному випробуванні утворять повну групу подій, якщо в результаті випробування неодмінно повинна з'явитися хоча б одна з них. 2. Несумісні події. Кілька подій називаються неспільними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть з'явитися разом. 3. Рівноможливі події. Кілька подій у даному випробуванні називається рівноможливими, якщо є підстава вважати, що жодна з цих подій не є об'єктивно більше можлива, ніж інші. 4. Протилежними подіями називаються дві неспільних події, що утворять повну групу. 5. Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, відбулася подія В чи ні. 6. Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність події А міняється залежно від того, відбулася подія В чи ні. 7. Сумою двох подій А і В називається подія С, що має місце при виконанні події А або події В, або обох разом. 8. Сумою декількох подій називається подія, що має місце при появі хоча б однієї з цих подій. 9. Добутком двох подій А і В називається подія С, що має місце при спільному виникненні події А і події В. 10. ^ називається подія, що складається в спільній появі всіх цих подій. Теорема додавання ймовірностей Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій  .Методом повної індукції можна узагальнити теорему додавання на довільне число несумісних подій  .Наслідок 1. Якщо події  утворюють повну групу неспільних подій, то сума їхніх ймовірностей дорівнює одиниці .Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці  .Найуніверсальнішим способом опису випадкової похибки як випадкової величини є знаходження закону розподілу. Закон розподілу випадкових величин Випадкову похибку розглядають як випадкову подію з певною ймовірністю. Розглянемо випадкову дискретну величину Х с можливими значеннями x1, x2, …, xn. Великі букви - випадкові величини. Малі букви - їхні можливі рішення. Випадкова величина може приймати в кожному досліді тільки одне  Позначимо імовірність відповідних подій через Pi  , розглянуті події утворять повну групу несумісних подій, тому  .^ називається характеристика, яка показує не тільки, які можливі значення приймає випадкова величина, але і їх ймовірності. Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкових величин і відповідними імовірностям Найпростішою формою запису законів розподілу є таблиця виду, яка називається рядом розподілу:
Графічне представлення цієї таблиці називається багатокутником розподілу  Багатокутник і ряд розподілу цілком характеризує випадкову величину і є однією з форм законів розподілу. Інтегральна функція розподілу – це функція F(x), яка визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше х : F(x)=P(X F(x) - універсальна характеристика випадкової величини, вона існує для усіх випадкових величин як дискретних так і безперервних. Основні властивості функції розподілу
при  функція розподілу F(x)=0 ,при  функція розподілу F(x)=1.6. Графік інтегральної функції F(x) розподілу має вигляд  Диференційна функція розподілу – або густина розподілу – це перша похідна від інтегральної функції розподілу  .Властивості: густина розподілу визначена тільки для безперервної випадної величини.  Графік диференційної функції розподілу називають кривою розподілу. Площа обмежена кривою диференційної функції розподілу і віссю абсцис дорівнює 1, і ймовірність попадання результату спостереження і випадкової похибки у заданий інтервал дорівнює цій площі. За кривою розподілу випадкових похибок можна визначити, які значення випадкових похибок більш ймовірні, які менш ймовірні. Функція розподілу результатів вимірювань чи похибок є універсальним способом розміщення випадкових похибок навколо істинного значення, але для їх визначення необхідно проводити складні дослідження і обчислення, тому суттєві особливості випадкових похибок описують за допомогою спеціальних числових характеристик. До них відносяться
Найважливішою характеристикою положення є математичне сподівання, яке показує середнє значення випадкової величини ^ величини Х позначають М[X] або mx. Для дискретних випадкових величин М[X] визначається як сума добутків відповідних значень на їх ймовірність:   .Теоретико-ймовірнісний зміст математичного сподівання – приблизно дорівнює середньому арифметичному значень випадкової величини:  Властивості математичного сподівання:
 ;2)  ;3)  X,Y випадкові величини;4)  X,Y випадкові величини.Модою (Mod) випадкової величини Х називають її найбільшймовірне значення. За модою розподіл може бути одномодальним та багатомодальним або без модальним (див.рис.3). Одномодальний розподіл – розподіл, коли найбільшу ймовірність має одне значення. Для дискретної випадкової величини.  Рис.3. Одномодальний розподіл. Багатомодальний – конкретніше двохмодальний розподіл представлений на рис. 4.  Рис. 4. Двохмодальний розподіл. Медіаною (Med) випадкової величини Х називають таке значення, розподілу Med може бути тільки одна. Med разділяє площу под кривою розподілу на 2 рівні частини. У випадку одномодального і симметричного розподілу mx=Mod=Med, в інших випадках співпадіння немає, див. рис5.  Рис.5.Співідношення між харарктеристиками центру розподілу. Моменти. Найчастіше для характеристики випадкових величин застосовуються моменти двох видів початкові і центральні. Початковий момент. k-го порядку - дискретной случайной величины Х называется сумма вида:  -безперервної випадкової величини Х називаєтся інтеграл виду  .Очевидно, що математичне сподівання випадкової величини - це початковий момент першого порядку  Центрованою випадковою величиною називають відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання:  .Математичне сподівання центрованої випадкової величини рівне 0. Для дискретної випадкової величини отримуємо:   Рис.6. Розподіли центрованої і нецентрованої величин. Моменти центрованої випадкової величини називають центральними моментами. Центральний момент k –го порядку випадкової величини Х -це математичне сподівання k –го порядку відповідної центрованої випадкової величини  Для дискретної випадкової величини:  ,  Для безперервної випадкової величини:   Зв’язок між центральними і початковими моментами різних порядків.   Із всіх моментів в якості характеристики випадкової величини найчастіше використовують перший момент (мат. сподівання)  ідругий центральный момент  , який називають дисперсією випадкової величини.^ – характеризує розсіювання випадкової величини відносно математичного сподівання, позначається  .За означенням:  .Для дискретної випадкової величини:  Для безперервної випадкової величини:  Дисперсія має размірність квадрата випадкової величини. Для наочної характеристики розсіювання зручніше застосовувати величину з розмірністю випадкової величини. Тому з дисперсії добувають корінь, який називають середньоквадратичним відхиленням (СКВ) випадкової величини і позначають  Отже:  ^ 1)  ;2)  ;3)  X,Y - незалежні випадкові величини;4)  .Інші моменти вищих порядків дають можливість визначити додаткові характеристики розподілу, зокрема характеризують форму кривої розподілу. Це такі як асиметрія і ексцес. Вводяться коефіцієнти асиметрії  і ексцесу  (гостро- чи плосковершинності) розподілу (рис.7,8), які визначаються відповідно: ;  . Рис.7.Розподіли з різними коефіцієнтами ексцесу.  Рис.8.Розподіли з різними коефіцієнтами асиметрії. |
функція розподілу F(x)=0 тобто F(
)=0
F(x)=1 тобто F(
)=1
Похожие:
 | Основи метрології лекція 6 Закони розподілу випадкових похибок Якщо врахувати, що випадкова похибка є результатом дії великої кількості випадкових чинників, роль кожного з яких при точних вимірюваннях... | | Лекція основи теорії похибок вимірювань Для підвищення об’єктивності оцінки похибок вимірювань І визначення шляхів їх зменшення, з метою покращання якості вимірювань, необхідно... |
| Основи метрології лекція Виявлення та вилучення похибок Для кожної густини розподілу випадкової похибки існує інший спосіб розрахунку результату вимірювання за результатами окремих спостережень,... | | Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття В наш час методи теорії ймовірностей широко застосовуються в теорії надійності, теорії масового обслуговування, теорії інформації,... |
| Тема: Основні поняття міжнародної інформації Міжнародна інформаційна політика. Концепція, інституційні основи І засоби здійснення. Основи нацональної інформиційної політики | | Основи метрології лекція Одиниці І системи одиниць фізичних величин ... |
| Реферат з дісципліни "Основи економічної теорії" Тема: "Введення в курс "Основи економічної теорії" Практичні потреби регулювання економічного життя й зумовили виникнення економічної теорії | | Реферат з дісципліни "Основи економічної теорії" Тема: "Введення в курс "Основи економічної теорії" Практичні потреби регулювання економічного життя й зумовили виникнення економічної теорії |
| Основи метрології лекція Методи вимірювання фізичних величин Вимірювання можна характеризувати, враховуючи їхні різні ознаки. Якість отримуваних результатів значною мірою залежить від застосовуваних... | | 2 Часове представлення математичної моделі неперервних випадкових сигналів Нагадаємо читачеві основні поняття, які необхідно знати для сприйняття даної теми |