Різницеві інтерполяційні формули icon

Різницеві інтерполяційні формули



НазваниеРізницеві інтерполяційні формули
Дата конвертации17.09.2012
Размер71.34 Kb.
ТипДокументы



Різницеві інтерполяційні формули




Як побачимо далі, ІП можна розглядати як узагальнення відрізку ряду Тейлора.

Узагальненням поняття похідної є поняття розділеної різниці (PP). Нехай у вузлах відомі значення функції . Припустимо також, що при . Тоді РР нульового порядку співпадають зі значеннями функції , РР 1- го порядку визначаються рівністю





РР 2- го порядку:





і взагалі РР k-го порядку визначаються через різниці (-1)-го порядку за формулою





Лема.Справедлива рівність


. (1)


Безпосередньо з (1) випливає ряд наслідків.

1. При фіксованих РР є лінійним функціоналом від функції :





2. РР є симетричною функцією своїх аргументів , тобто не змінюється при їх перестановці.

Якщо функцію задано в точках , то таблицю




називають таблицею розділених різниць.

За допомогою РР можна одержати іншу форму запису ІП Лагранжа:


.


Порівнюючи з твердженням леми, впевнюємось, що вираз в дужках дорівнює . Таким чином, можна написати


, (2)


де визначено нами раніше.

Нехай - ІП Лагранжа з вузлами інтерполяції . Поліном Лагранжа можна подати у вигляді


=+(-)+...+(-). (3)


Різниця - - поліном степеня , який обертається в нуль в точках , оскільки при . Отже,


-=.


Покладаючи , одержуємо


.


З іншого боку, беручи в (2) і , маємо


.


Таким чином, , тому


.


Підставляючи це в (3), одержимо


.


Таке представлення ІП називається формулою Ньютона з розділеними різницями. З порівняння ІП Ньютона і Лагранжа випливає важлива рівність


. (4)


Зокрема, якщо - поліном степеня , то на підставі (4) маємо

при будь-яких .


Якщо , то внаслідок (4) маємо


.


Тому величина може використовуватись як наближена оцінка для величини .

Використання одержаних нами інтерполяційних формул для безпосереднього обчислення наближених значень інтерпольованої функції не є ефективним. Значно краще для цього використовувати схему Ейткена. Нехай - ІП з вузлами , зокрема, .Справедлива рівність


. (5)


Дійсно, права частина - це поліном степеня , який співпадає з в точках . Схема Ейткена обчислення значення полягає в послідовному обчисленні за допомогою (5) елементів таблиці значень ІП.





Цю схему покладено в основу стандартної програми розв'язку такої задачі: Дано таблицю значень деякоІ функції на , потрібно при будь-якому значенні обчислити значення з заданою точністю або з найкращою можливою точністю при наявній інформації,

Побудова алгоритму, яку ми зараз розглянемо, є досить типовою для ситуації, що виникає на практиці. Неможливо запропонувати обгрунтований алгоритм розв'язку поставленої задачі для всіх функцій, якщо про функцію нічого не відомо, крім її значень в заданих точках. Але, припускаючи, що функція є досить гладкою, одержуємо практичний критерій оцінки похибки і, грунтуючись на ньому, будуємо алгоритм розв'язку задачі.

Нехай фіксовано; перенумеруємо вузли інтерполяції в порядку зростання .ІП будемо позначати як .

Раніше ми одержали вираз для похибки (2)


,


а також рівність . Якщо малі, то .Враховуючи це, маємо . З цього випливає, що величину можна розглядати як наближену оцінку похибки інтерполяційної формули . Отже, можна послідовно обчислювати значення ..., якщо при деякому буде , то обчислення можна припинити і покласти . Якщо ця нерівність не виконується ні при якому , то треба знайти і покласти . Якщо величини , починаючи з деякого , мають стійку тенденцію до збільшення, то обчислення значень , припиняються.

Розглянемо тепер дещо узагальнену задачу інтерполювання. Якщо у вузлах інтерполяції відомі не лише значення шуканої функції, а й її похідних до деякого порядку, то було б нерозумним не скористатися цією додатковою інформацією.

Нехай треба побудувати поліном степеня , що задовольняє умовам:




. . . . . . . (6)

,


де всі різні, . Такий поліном називають ІП з кратними вузлами, а числа - кратностями вузлів відповідно.

ІП визначається єдиним чином. Справді, припустимо що існує два полінома степеня , що задавольняють умовам (6). Тоді їх різниця задoвoльняє cпіввідношенням


,


точки є нулями полінома кратності . Цих нулів загалом +1.

Далі будемо припускати, що функція неперервно диференційовна +1 раз. Існування ІП , що задовольняє умовам (6), доведемо, одержавши для нього явний вираз. Визначимо послідовність сукупностей точок що задовольняють таким умовам: при всі точки різні, при . Зокрема, можна покласти .

Побудуємо ІП степеня , що співпадає з в точках . Таблиця РР, відповідних цьому набору вузлів, має вигляд:





Запишемо ІП Ньютона з розділеними різницями:





де


Виражаючи РР через похідні, маємо





Таким чином, всі елементи таблиці мають границі, при . Ми позначатимемо через , отже, .

Якщо всі елементи таблиці мають границі, то на будь-якому відрізку поліноми при прямують до деякого поліному




,

.

Поліном




записується у вигляді


.


Звідси випливає, що він задовольняє умовам, заданим в точці . Внаслідок єдиності ІП поліном не зміниться, якщо переозначити . Тому граничний поліном буде задовольняти заданим умовам в будь-якій точці . Отже, цей поліном є шуканим.


^ ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ


1. Довести рівність

.

При доведенні можна викристати метод математичної індукції.

2. Довести, що при фіксованих PР є лінійним функціоналом від функції .

3. Довести, що РР -го порядку від алгебраїчного полінома -го степеня прийиає постійне значення, що не залежить від набору вузлів , РР більш високих порядків дорівнюють нулю.

4. Дать порівняльну характеристику ІП Лагранжа та Ньютона.

5. Нехай на , звідки беруться та вузли інтерполювання, функція має похідну , яка зберігає свій знак. Показати, що в цьому разі є монотонною функцією аргумента на .

6. Показати, що -а РР полінома -го степеня дорівнює коефіцієнту при незалежно від вибору вузлів .

7. Показати, що якщо , то .

8. Показати, що якщо аргументи помножити на одну і ту ж сталу , а значення функції залишити незмінними, то РР помножаться на .




Нажми чтобы узнать.

Похожие:

Різницеві інтерполяційні формули iconФормули. Рiвносильнiсть формул. Тотожно iстиннi формули
...
Різницеві інтерполяційні формули icon=сумм(А5: А9) сума комірок А5, А6, А7, А8, А9
Для виконання табличних обчислень потрібні формули. Оскільки деякі формули і їхні комбінації зустрічаються дуже часто, те програма...
Різницеві інтерполяційні формули iconФормула суми n перших членів геометричної прогресії Мета
Мета познайомити учнів з виведенням формули суми n перших членів геометричної прогресії; вчити учнів застосовувати одержані формули...
Різницеві інтерполяційні формули icon“Різницеві рівняння”
Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в рівнозначній формі
Різницеві інтерполяційні формули iconЛінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння
Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в рівнозначній формі
Різницеві інтерполяційні формули icon3 Формула Абеля
Розглянемо застосування формули Остроградського Ліувіля до рівняння 2-го порядку
Різницеві інтерполяційні формули iconЛінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами
Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього загального розв’язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних...
Різницеві інтерполяційні формули iconНаближене обчислення визначених інтегралів
Формули, що їх зараз подамо, базуються на тлумаченні визначеного інтеграла як площі криволінійної трапеції та наближеним його представленням...
Різницеві інтерполяційні формули iconVI. атомна І ядерна фізика 37. атом водню в теорії бора Основні формули
Енергія фотона, що ви­промінюється атомом водню при переході з одного стаціонарного стану в інший
Різницеві інтерполяційні формули icon12. 11. Лінійна однорідна система диференціальних рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами
Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы