Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим icon

Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим



НазваниеНаближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим
Дата конвертации17.09.2012
Размер27 Kb.
ТипДокументы



Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь


Розглянемо рівняння з одним невідомим f(x) = 0. Точних методів відшукання всіх коренів такого рівняння немає.

Наближені методи полягають у виконанні двох етапів.

Етап 1. відокремлення коренів. Необхідно знайти відрізок [a;b] , на якому рівняння f(x)=0 має тільки один корінь (рис.10.1).

y











[ ] x

a b

Рис. 10.1.


Етап відокремлення коренів виконується вручну за допомогою загальновідомих методів дослідження функцій (тема 4). На цьому етапі корисною може бути наведена нижче теорема.

Теорема. Якщо функція y=f(x) є неперервною на відрізку [a;b], причому величини f(a) та f(b) мають різні знаки, то на [a;b] рівняння f(x)=0 має хоча б один корінь. Якщо, крім того, похідна f(x) на [a;b] не змінює знака, то цей корінь є єдиним.

Етап 2. уточнення коренів. Розглянемо один з найпростіших методів уточнення відділеного кореня – метод половинного ділення.

Обчислюємо значення f(x) в середині відрізка [a;b], тобто в точці . Залежно від значення вибираємо ту частину інтервалу [a;b], де знаки функції f(x) є різними. Отже, інтервал, у якому є корінь, зменшився удвічі. Продовживши процес, ми звужуємо інтервал до такої величини, поки його розмір (який дорівнює абсолютній похибці) не стане меншим від потрібної нам величини.

Зрозуміло, що другий етап наближеного відшукання кореня бажано виконувати за допомогою комп’ютера.

Алгоритм методу половинного ділення, з використанням шкільних конструкцій алгоритмічної мови, можна записати так:


ввід інтервалу (a;b) та потрібної точності ()

поки |a-b| <  виконувати

пц



якщо f(a)f(b) > 0

то a:=c

інакше b:=c

кц

вивід значення кореня


Розглянемо систему лінійних рівнянь

. (10.1)

Метод Жордана-Гауса (як і інші точні методи) полягає у виконанні досить багатьох дій, у тому числі й операцій віднімання. Отже, знайдені таким методом корені (x1,…,xn) насправді виявляються досить неточними.

Розглянемо один з методів уточнення коренів для систем лінійних рівнянь – метод ітерації. Згідно з цим методом систему (10.1) записують у вигляді

. (10.2)

Початковим наближенням системи (10.2) є точка .

Застосовують таку обчислювальну схему:

. (10.3)

Теорема. Якщо , то зі збільшенням кількості кроків k вектор збігається до точного розв’язку .

Загалом, на практиці досить часто застосовують такий підхід: спершу одним з точних методів відшукують наближені значення коренів, потім якимось з наближених методів поліпшують значення цих коренів до потрібного рівня точності.




Похожие:

Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим iconРозв’язування звичайних диференціальних рівнянь
ДР), що містить лише одну незалежну змінну І похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1). Др, що містить...
Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим icon1 Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість
Клас диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах, досить невеликий, тому мають велике значення наближені методи розв’язку...
Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим iconВизначення. Простір називається метричним, якщо для довільних двох точок
Клас диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах, досить невеликий, тому мають велике значення наближені методи розв’язку...
Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим iconРеферат з дисципліни Алгоритми мови та програмування Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гауса
...
Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим iconТема : Поглибити знання студентів про методи розв’язування систем лінійних рівнянь та дати практику розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера
Тема: Поглибити знання студентів про методи розв’язування систем лінійних рівнянь та дати практику розв’язання систем лінійних алгебраїчних...
Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим iconТема : Поглибити знання студентів про методи розв’язування систем лінійних рівнянь та дати практику розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера
Тема: Поглибити знання студентів про методи розв’язування систем лінійних рівнянь та дати практику розв’язання систем лінійних алгебраїчних...
Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим iconРеферат з математики
Одним з найпоширеніших методів розв'язування систем лінійних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих, або метод Гаус­са....
Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим iconРозв’язання раціональних рівнянь
Різновиди рівнянь не вичерпуються трьома видами, які ми вміємо розв’язувати. Для математиків важливо було навчитися розв’язувати...
Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим iconЗадача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки. План: Задача Коші
Для диференціальних рівнянь вищих порядків, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими...
Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь Розглянемо рівняння з одним невідомим iconОднокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы