Основні теореми теорії ймовірностей icon

Основні теореми теорії ймовірностей



НазваниеОсновні теореми теорії ймовірностей
Дата конвертации11.09.2012
Размер81.53 Kb.
ТипДокументы

§2. Основні теореми теорії ймовірностей.

Ми в подальшому викладі будемо користуватися поняттями, що базуються на класичному означенні ймовірності. Розглянемо, як обчислити ймовірність суми двох несумісних подій. При аксіоматичному підході (див. §1, п.1.6) це приймається як аксіома.

2.1.Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

Якщо події А і В несумісні (АВ= Ø), причому відомі їх ймовірності Р(А) і Р(В), то ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей

. (1)

Дійсно, нехай n – число всіх елементарних подій в деякому досліді, - число елементарних подій, сприятливих події ^ А, - число елементарних подій, сприятливих події В. Тоді появі події сприяють + елементарних подій. Отже , за класичним означенням ймовірності


.

Наслідок 1. Ймовірність протилежної події обчислюється за формулою . (2)

Дійсно, оскільки , то . З іншого боку, . Отже, , звідки .

Наслідок 2. , (3)

де () – попарно несумісні події.

Наслідок 3. Якщо події () утворюють повну групу попарно несумісних подій, то

. (4)

Дійсно, за означенням повної групи попарно несумісних подій маємо , але . Отже, за наслідком 2 маємо формулу (4).

Приклад 1. В партії з 20 деталей є 16 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна.

Розв’язання. Нехай подія : виявиться точно одна стандартна; подія: виявиться дві стандартні; подія: виявиться три стандартні деталі. Ці події попарно несумісні.

Нехай подія: серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна. Отже, і за формулою (3) маємо

.

Обчислимо ймовірності подій ,,:

; ; .

Отже, .

Інший спосіб. При розв’язуванні задач часто буває зручно переходити до протилежної події. Так, якщо подія : не виявиться жодної стандартної деталі, то є протилежною до події , і події , ,, утворюють повну групу попарно несумісних подій. Отже, за формулою (2)

.

Обчисливши ймовірність , отримаємо .

^ 2.2. Умовна ймовірність.

Вище ми говорили, що в основі означення ймовірності випадкової події лежить сукупність деяких певних умов. Якщо ж ніяких інших обмежень, крім цих умов, при обчисленні ймовірності не накладається, то така ймовірність називається безумовною. Якщо ж поява деякої події відбувається за умови, що відбулась інша подія , причому , то ймовірність появи події називають умовною і обчислюють за формулою

, (). (5)

Деколи використовують таке позначення умовної ймовірності .

Приклад 2. Підкидають гральний кубик. Нехай подія (випала парна кількість очок), подія (випала кількість очок, більше трьох). Між цими подіями є зв’язок. Дійсно, зводиться до трьох елементарних подій: випало 4, 5, 6 очок. Якщо подія наступила, то події сприятимуть дві елементарні події: випало 4 або 6 очок.

Отже, .

Умовна ймовірність служить характеристикою залежності однієї події від іншої.

Дві події і називаються

залежними, якщо , (6)

і незалежними, якщо . (7)

^ 2.3. Теорема множення ймовірностей залежних подій.

Розглянемо дві залежні події і , причому відомі ймовірності і . Ймовірність суміщення цих подій обчислюється за теоремою:

Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчисленої за умови, що перша відбулася

(8)

або .

Дійсно, за означенням умовної ймовірності із співвідношення (5) маємо

.

Оскільки , то .

Наслідок. Якщо події (), залежні , то

, (9)

тобто ймовірність сумісної появи декількох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх решти, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події відбулися.

Зокрема, для трьох залежних подій А, В, С маємо

.

^ 2.4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

Ця теорема є наслідком попередньої. Дійсно, якщо А , В - незалежні події , то, враховуючи (7), маємо . (10)

Декілька подій називаються попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні.

Наприклад, події А, В, С попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, В і С.

Декілька подій називаються незалежними в сукупності, якщо незалежні кожні дві з них і незалежні кожна з них і всі можливі добутки решти подій.

Наприклад, якщо події А, В, С незалежні в сукупності, то незалежні події А і В, А і С, В і С,

А і ВС, В і С, і . Варто зауважити, якщо декілька подій попарно незалежні, то це ще не означає, що вони незалежні в сукупності.

Відповідно для незалежних в сукупності подій () теорема множення ймовірностей записується . (11)

Приклад 3. Ймовірності появи кожної з двох незалежних подій і задані і . Знайти ймовірність появи тільки однієї з цих подій.

Розв’язання. Введемо позначення , , , .

Нехай подія : поява тільки події ;

подія : поява тільки події .

Події і несумісні, отже .

Події і незалежні, отже незалежні і події , , тому

,

.

Отже, .


Розглянемо наслідки з теорем додавання і множення ймовірностей.

^ 2.5. Ймовірність появи принаймні однієї події.

Нехай в результаті експерименту можуть з’явитися події , , , незалежні в сукупності, причому відомі ймовірності їх появи і ймовірності не появи , () , ().

Нехай - подія, яка полягає в появі принаймні однієї з подій , , , тобото поява або однієї, або двох, або трьох подій

=()()()().

Подія (не появилася жодна з подій) є протилежною до події : =.

Отже, , або +()=1.

Звідки =1-(), оскільки події,, незалежні в сукупності, або інакше .

Для подій , ,…, маємо

. (12)

Зокрема, якщо , то і

. (13)

Приклад 4. Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець попаде в “десятку”, дорівнює 0,6. Скільки пострілів він повинен зробити, щоб з ймовірністю не менше 0,8 він попав в “десятку” принаймні один раз?

Розв’язання. За умовами задачі 0,6: 0,4. . За формулою (13)

або . Остання нерівність виконується для . Отже, стрілець повинен зробити не менше двох пострілів.

^ 2.6. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Нехай дві події і сумісні, причому відомі ймовірності цих подій , та ймовірність їх сумісної появи .

Ймовірність появи принаймні однієї з двох сумісних подій і дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи

. (14)

Дійсно, оскільки події і сумісні , то подія наступить, якщо наступить одна з трьох несумісних подій , або :

=()()().

Подія наступить, якщо відбудеться одна з двох несумісних подій або .

Аналогічно, подія наступить, якщо відбудеться одна з двох несумісних подій або.

Отже, = ()(); = ()()

і за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій (формула (1)) маємо

,

()=()+() ()= ().

Таким чином,

+ = .

Для трьох сумісних подій формула (14) має вигляд

. (15)

^ 2.7. Формула повної ймовірності.

Нехай - несумісні події, які утворюють повну групу (так звані гіпотези), причому відомі їх ймовірності . Деяка подія може наступити разом з однією з подій , причому відомі умовні ймовірності .

Ймовірність появи події , яка може відбутися разом з однією з гіпотез , дорівнює сумі добутків ймовірностей гіпотез на відповідні умовні ймовірності появи події

. (16)

Це так звана формула повної ймовірності.

Дійсно, подія наступає разом з однією з подій , тобто

.

За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо

,

а використовуючи теорему множення ймовірностей залежних подій , отримаємо формулу (16).

^ 2.8. Формули Байєса.

Ймовірності відомі до проведення досліду (так звані апріорні ймовірності). Як зміняться ймовірності гіпотез після проведення досліду? Тобто як обчислити ймовірності гіпотез

? Відповідь на це питання дає теорема гіпотез:

Ймовірності гіпотез після проведення досліду, тобто коли відбулася подія , обчислюються за формулою

= (17)

Це формули Байєса.

Дійсно, за теоремою множення ймовірностей залежних подій маємо

.

Звідки отримаємо формули (17). Ймовірності називаються апостеріорними, тобто такими, що змінилися після проведення досліду.

Приклад 5. Два стрільці стріляють по мішені незалежно один від одного по одному разу. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця ; для другого - . В мішені виявлено одне влучення. Знайти ймовірність того, що влучив перший стрілець.

Розв’язання. Подія : в мішені виявлено одне влучення. Розглянемо такі гіпотези:

: обидва не влучили; : обидва влучили; - перший влучив, другий не влучив; - другий влучив, перший не влучив.

Обчислимо ймовірності цих гіпотез: =. =.

Контроль: +++=0,08+0,48+0,12+0,32=1.

Оскільки умовні ймовірності =0, =0, =1, =1, то за формулою повної ймовірності (16) ==0,44.

Отже, шукана ймовірність .








Похожие:

Основні теореми теорії ймовірностей iconВступ до теорії ймовірностей. Основні поняття
В наш час методи теорії ймовірностей широко застосовуються в теорії надійності, теорії масового обслуговування, теорії інформації,...
Основні теореми теорії ймовірностей iconМетодичні вказівки та учбові завдання до курсу "Теорія ймовірностей" для курсантів Військового інституту
Теорії ймовірностей “ таким як “Випадкові події”, “ Випадкові величини”, “ Граничні теореми”. В посібнику розглядаєтся теоретичні...
Основні теореми теорії ймовірностей iconВступ до теорії ймовірностей. Основні поняття
Стохастичним називається експеримент, результат якого не можна передбачити наперед
Основні теореми теорії ймовірностей iconАксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей
Нехай  – простір елементарних подій. Припустимо, що в  виділена система  підмножин, яка є -алгеброю. Це означає, що
Основні теореми теорії ймовірностей iconСхема незалежних спроб. Формула Бернуллі. Граничні теореми
В численних застосуваннях теорії ймовірностей часто зустрічається схема незалежних спроб (або схема Бернуллі)
Основні теореми теорії ймовірностей iconОсновні теорії походження держави. Особливості виникнення держав у різних народів світу Основні теорії походження держави
Патріархальна теорія (Аристотель, Р. Філмер, Н. К. Михайловський, М. Н. Покровський). Відповідно до цієї теорії держава походить...
Основні теореми теорії ймовірностей iconПоложення теорії ймовірностей та математичної статистики Основні поняття та визначення: поняття стохастичної с-ми експерименту, ймовірності, випадкової величини ймовірнісний розподіл
Як правило досліджувана с-ма містить ряд елементів, що мають певну невизначеність. Такі системи називаються стохастичними, оскільки...
Основні теореми теорії ймовірностей iconРольова теорія особистості
Основні положення цієї теорії були сформульовані американськими соціологами Дж. Мидом І р. Минтоном, а також активно розроблялися...
Основні теореми теорії ймовірностей iconРольова теорія особистості
Основні положення цієї теорії були сформульовані американськими соціологами Дж. Мидом І р. Минтоном, а також активно розроблялися...
Основні теореми теорії ймовірностей iconОсновні напрями сучасної економічної теорії
Ця стадія неоднозначно тлумачилася представниками різних напрямів І шкіл економічної теорії
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы