Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття icon

Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття



НазваниеВступ до теорії ймовірностей. Основні поняття
Дата конвертации11.09.2012
Размер157.44 Kb.
ТипЗакон

§1. Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття.

Теорія ймовірностей – це математична наука, яка вивчає закономірності випадкових явищ. Варто відзначити, що математичний підхід до вивчення випадкових явищ намагалися знайти ще в стародавньому Китаї, Римі, Греції. В середні віки намагалися застосувати точні методи в задачах, пов’язаних з азартними іграми. Проте початки теорії ймовірностей як математичної науки були закладені в XVII ст. в працях Б.Паскаля, П.Ферма, Х.Гюйгенса, Я. Бернуллі. Пізніше, у XVIII-XIXст. розвиток теорії ймовірностей був викликаний задачами теорії стрільби, теорії похибок, проблемами демографії, тощо. Значного розвитку теорія ймовірностей досягла в XIX-XX ст .завдяки працям А.Муавра, П.Лапласа, К.Гаусса, С.Пуассона, П.Чебишова, А.Маркова, А.Колмогорова та інших вчених.


В наш час методи теорії ймовірностей широко застосовуються в теорії надійності, теорії масового обслуговування, теорії інформації, статистичній фізиці, математичній статистиці та інших галузях знань.

Основними поняттями теорії ймовірностей є поняття:

  • стохастичного експерименту,

  • випадкової події,

  • ймовірності випадкової події.

Стохастичним називається експеримент, результат якого не можна передбачити наперед.

Стохастичниму експерименту ставиться у відповідність деяка множина , точки (елементи) якої відображають найбільш повну інформацію про можливі результати цього експерименту.

Множина називається простором елементарних подій, а її точки (елементи) - елементарними подіями. Множина може бути дискретною (скінченною або зчисленною) або неперервною.

Приклад 1. Проводиться стохастичний експеримент – монету підкидають один раз.

Очевидно, результатом цього експерименту будуть дві елементарні події: поява герба “Г”, або поява цифри “Ц”. Отже, тут простір елементарних подій ={Г, Ц}.

Приклад 2. Проводиться стохастичний експеримент – монету підкидають два рази.

Очевидно, що ={ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}.

Приклад 3. Проводиться стохастичний експеримент – гральний кубик підкидають один раз. Результатом цього експерименту є простір елементарних подій gif" name="object8" align=absmiddle width=21 height=18>={},

де - елементарна подія: “кількість очок на верхній грані кубика”.

У наведених прикладах простір є скінченною множиною. Проте в багатьох задачах доводиться мати справу з експериментами, які мають нескінченну кількість можливих наслідків.

Проводячи експеримент, нас буде цікавити не те , який конкретно наслідок матиме місце в результаті спроби, а лише те, чи буде належати цей наслідок тій чи іншій множині всіх наслідків, можливих в результаті проведення даного експерименту.

    1. ^ Класифікація подій та дії над ними.

Підмножини , для яких за умовами експерименту можлива відповідь одного з двох типів: “наслідок “ або “наслідок ” називаються випадковими подіями.

Зокрема, в прикладі 2 подія А : “герб з’явиться принаймні один раз”. Підмножина

А={ГГ, ГЦ, ЦГ} містить три елементи з множини , тобто подія А складається з трьох елементарних подій.

В прикладі 3 подія А: “при підкиданні кубика випаде парне число очок” – А={}.

Як бачимо, випадкова подія є підмножиною А простору елементарних подій .

Множина , яка трактується як подія, характерна тим, що в результаті експерименту вона обов’язково відбувається при виконанні певної сукупності умов, називається вірогідною подією.

Підмножиною довільної множини вважається порожня множина Ø, яка не містить жодної точки з , тобто така подія в експерименті не відбувається , вона називається неможливою подією і позначається Ø.

Подія (читається “не А”) називається протилежною події А. Якщо в прикладі 1 подія А – поява герба, то подія - поява цифри.

Нехай А і В – випадкові події. Якщо АВ (тобто кожний елемент А міститься в В), то це означає, що подія А тягне за собою подію В. Іншими словами, якщо подія А відбувається, то подія В теж відбувається, тобто подія В є наслідком події А. Якщо АВ і ВА, то події А і В називаються рівносильними (еквівалентними): А=В.

Об’єднанням (сумою) двох подій А і В називається подія АВ (або А+В), яка полягає в тому, що відбулася принаймні одна з подій А або В.

^ Перетином (суміщенням або добутком) двох подій називається подія А (або А·В), яка полягає в тому, що відбулася і подія А і подія В.

Різницею А\В називається подія, яка полягає в тому, що відбулася подія А, а В не відбулася.

Доповнення множини А позначається =\А, де - подія, протилежна події А.

Операції над подіями зручно ілюструвати з допомогою діаграм Ейлера-В’єнна.
^

Події А і В називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої, тобто


АВ Ø.

Наприклад, нехай подія А: “поява туза при вийманні карти з однієї колоди”, подія В: “поява туза при вийманні карти з іншої колоди”. Ці події сумісні.
^

Події А і В називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої, тобто


АВ= Ø.

Наприклад, нехай подія А: “неробочий хід генератора”, подія В: “коротке замикання генератора”. Ці події несумісні.

Події називаються попарно несумісними, якщо Ø ().

Повною групою несумісних подій називається сукупність (скінченна або нескінченна) попарно несумісних подій, причому в результаті експерименту з’явиться тільки одна з цих подій, тобто

= Ø (), .

Пара взаємно протилежних подій і утворює повну групу подій.

Дійсно, = Ø, .

Операції об’єднання і перетину подій мають очевидні властивості:

. комутативність , АВ=ВА;

. асоціативність , (АВ)С=А(ВС);

. дистрибутивність , .

    1. Частота випадкової події.

Розглянемо деякий стохастичний експеримент, який можна повторити скільки завгодно разів, і подію А, яка спостерігається в цьому експерименті. Нехай ми повторили експеримент n разів, і - число спроб, в яких відбулася подія А.

Відношення називається частотою події А в даній серії експериментів.

Частота має такі властивості:

. .

.

. (Ø)=0.

. , де А, В – дві несумісні події.

Частота може бути обчислена після того, як проведена серія експериментів. Якщо проведемо іншу серію експериментів, або збільшимо n, то частота, взагалі кажучи, зміниться.

^ 1.3. Статистичне означення ймовірності.

Досвід показує, що для досить великих значень n частота зберігає майже сталу величину в даному експерименті. В цьому полягає стійкість частот для великих n.

Границя частоти при необмеженому збільшенні числа спроб n називається ймовірністю події А

.

Таке означення ймовірності називається статистичним. Для підрахунку ймовірності воно не використовується, оскільки для цього потрібно провести досить багато експериментів, що не раціонально і економічно невигідно.

^ 1.4. Класичне означення ймовірності.

Класичне означення ймовірності зводить поняття ймовірності до поняття рівноможливості елементарних подій, яке вважається таким, що не має формального означення. Нехай

складається з n елементарних подій , а подія А визначається m елементарними несумісними рівноможливими подіями. Тоді

,

тобто ймовірністю випадкової події А називається відношення числа елементарних подій (спроб) m , сприятливих події А, до кількості всіх можливих елементарних подій (числа спроб) n в даному експерименті.

При цьому сам експеримент не проводиться, а кожна елементарна рівноможлива подія

розглядається як така, що відбувається з ймовірністю . Простір елементарних подій вважається скінченним.

Основні властивості ймовірності:

. ,

.

. (Ø)=0.

Повернемось знову до прикладу 2. Якщо подія А:”герб з’явиться принаймні один раз”, то сприятливими для неї будуть три елементарні події. Всього в даному експерименті може реалізуватися чотири елементарні події. Отже, .

В більш складних випадках для обчислення ймовірності використовують методи комбінаторики.

Приклад 4. Із колоди з 36 карт навмання виймають 3 карти. Яка ймовірність того, що серед них буде точно один туз?

Три карти з 36 можна вибрати способами. Одного туза можемо вибрати способами, при цьому дві інші карти можна вибрати способами. Отже, m=· , n=,

і


^ 1.5. Геометрична ймовірність.

Якщо множина нескінченна, то класичне означення ймовірності не застосовується. В таких випадках користуються іншим методом обчислення ймовірності, який теж базується на понятті рівноможливості подій. Такий метод застосовується в задачах – випадкове кидання точки на скінченний відрізок прямої, частину площини або простору. Звідси і сама назва методу – геометрична ймовірність.

Обмежимося двовимірним випадком. Нехай на площині задана деяка область , площа якої , і в ній міститься інша область площею . В область навмання кидають точку. Треба обчислити ймовірність того, що точка попаде в область. Припустимо, що точка може попасти в довільну точку області і ймовірність попадання в якусь частину області пропорційна площі цієї частини. В цьому випадку ймовірність попадання в область дорівнює

,

тобто ймовірність попадання випадкової точки всередину деякої області визначається як відношення розміру цієї області до розміру всієї області , в яку може попасти дана точка.

В одновимірному випадку під розміром області розуміємо її довжину (довжину відрізка), в тривимірному – об’єм області.

^ 1.6. Поняття про аксіоматичне означення ймовірності.

Сучасна теорія ймовірностей, як строга математична наука, будується на аксіоматичному означенні ймовірності, запропонованому А. Колмогоровим. Ми дамо тільки поняття про аксіоматичну побудову, оскільки при використанні цього підходу необхідні знання з метричної теорії функцій і теорії множин, що виходить за рамки програми.

Отже, за Колмогоровим, задається простір елементарних подій – множина і -алгебра підмножин множини . Ці підмножини називаються випадковими подіями. Довільній події А ставиться у відповідність невід’ємне число - ймовірність події А. Трійка називається ймовірнісним простором.

Аксіоми, які визначають -алгебру множини :

. , Ø;

. ;

. .

Звідси випливає, що.


Ймовірність як функція множини А задовольняє аксіоми:

. ;

. , де - попарно несумісні події;

. .

Аксіома – це розширена аксіома додавання, з неї випливає, що (Ø)=0.

Дійсно, оскільки Ø =ØØ….., то (Ø)= (Ø)+ (Ø)…. Звідки (Ø)=0.


§2. Основні теореми теорії ймовірностей.


Ми в подальшому викладі будемо користуватися поняттями, що базуються на класичному означенні ймовірності. Розглянемо, як обчислити ймовірність суми двох несумісних подій. При аксіоматичному підході (див. §1, п.1.6) це приймається як аксіома.

^ 2.1.Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

Якщо події А і В несумісні (АВ= Ø), причому відомі їх ймовірності Р(А) і Р(В), то ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей

. (1)

Дійсно, нехай n – число всіх елементарних подій в деякому досліді, - число елементарних подій, сприятливих події ^ А, - число елементарних подій, сприятливих події В. Тоді появі події сприяють + елементарних подій. Отже , за класичним означенням ймовірності


.

Наслідок 1. Ймовірність протилежної події обчислюється за формулою . (2)

Дійсно, оскільки , то . З іншого боку, . Отже, , звідки .

Наслідок 2. , (3)

де () – попарно несумісні події.

Наслідок 3. Якщо події () утворюють повну групу попарно несумісних подій, то

. (4)

Дійсно, за означенням повної групи попарно несумісних подій маємо , але . Отже, за наслідком 2 маємо формулу (4).


Приклад 1. В партії з 20 деталей є 16 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна.

Розв’язання. Нехай подія : виявиться точно одна стандартна; подія: виявиться дві стандартні; подія: виявиться три стандартні деталі. Ці події попарно несумісні.

Нехай подія: серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна. Отже, і за формулою (3) маємо

.

Обчислимо ймовірності подій ,,:

; ; .

Отже, .

Інший спосіб. При розв’язуванні задач часто буває зручно переходити до протилежної події. Так, якщо подія : не виявиться жодної стандартної деталі, то є протилежною до події , і події , ,, утворюють повну групу попарно несумісних подій. Отже, за формулою (2)

.

Обчисливши ймовірність , отримаємо .

^ 2.2. Умовна ймовірність.

Вище ми говорили, що в основі означення ймовірності випадкової події лежить сукупність деяких певних умов. Якщо ж ніяких інших обмежень, крім цих умов, при обчисленні ймовірності не накладається, то така ймовірність називається безумовною. Якщо ж поява деякої події відбувається за умови, що відбулась інша подія , причому , то ймовірність появи події називають умовною і обчислюють за формулою

, (). (5)

Деколи використовують таке позначення умовної ймовірності .

Приклад 2. Підкидають гральний кубик. Нехай подія (випала парна кількість очок), подія (випала кількість очок, більше трьох). Між цими подіями є зв’язок. Дійсно, зводиться до трьох елементарних подій: випало 4, 5, 6 очок. Якщо подія наступила, то події сприятимуть дві елементарні події: випало 4 або 6 очок.

Отже, .

Умовна ймовірність служить характеристикою залежності однієї події від іншої.

Дві події і називаються залежними, якщо

, (6)

і незалежними, якщо . (7)

^ 2.3. Теорема множення ймовірностей залежних подій.

Розглянемо дві залежні події і , причому відомі ймовірності і . Ймовірність суміщення цих подій обчислюється за теоремою:

Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчисленої за умови, що перша відбулася

(8)

або .

Дійсно, за означенням умовної ймовірності із співвідношення (5) маємо

.

Оскільки , то .

Наслідок. Якщо події (), залежні , то

, (9)

тобто ймовірність сумісної появи декількох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх решти, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події відбулися.

Зокрема, для трьох залежних подій А, В, С маємо

.

^ 2.4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

Ця теорема є наслідком попередньої. Дійсно, якщо А , В - незалежні події , то, враховуючи (7), маємо . (10)

Декілька подій називаються попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні.

Наприклад, події А, В, С попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, В і С.

Декілька подій називаються незалежними в сукупності, якщо незалежні кожні дві з них і незалежні кожна з них і всі можливі добутки решти подій.

Наприклад, якщо події А, В, С незалежні в сукупності, то незалежні події А і В, А і С, В і С,

А і ВС, В і С, і . Варто зауважити, якщо декілька подій попарно незалежні, то це ще не означає, що вони незалежні в сукупності.

Відповідно для незалежних в сукупності подій () теорема множення ймовірностей записується . (11)

Приклад 3. Ймовірності появи кожної з двох незалежних подій і задані і . Знайти ймовірність появи тільки однієї з цих подій.

Розв’язання. Введемо позначення , , , .

Нехай подія : поява тільки події ;

подія : поява тільки події .

Події і несумісні, отже .

Події і незалежні, отже незалежні і події , , тому

,

.

Отже, .


^ 2.5. Наслідки з теорем додавання і множення ймовірностей.

      1. Ймовірність появи принаймні однієї події.

Нехай в результаті експерименту можуть з’явитися події , , , незалежні в сукупності, причому відомі ймовірності їх появи і ймовірності не появи , () , ().

Нехай - подія, яка полягає в появі принаймні однієї з подій , , , тобото поява або однієї, або двох, або трьох подій

=()()()().

Подія (не появилася жодна з подій) є протилежною до події : =.

Отже, , або +()=1.

Звідки =1-(), оскільки події,, незалежні в сукупності, або інакше .

Для подій , ,…, маємо

. (12)

Зокрема, якщо , то і

. (13)

Приклад 4. Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець попаде в “десятку”, дорівнює 0,6. Скільки пострілів він повинен зробити, щоб з ймовірністю не менше 0,8 він попав в “десятку” принаймні один раз?

Розв’язання. За умовами задачі 0,6: 0,4. . За формулою (13)

або . Остання нерівність виконується для . Отже, стрілець повинен зробити не менше двох пострілів.

^ 2.5.2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Нехай дві події і сумісні, причому відомі ймовірності цих подій , та ймовірність їх сумісної появи .

Ймовірність появи принаймні однієї з двох сумісних подій і дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи

. (14)

Дійсно, оскільки події і сумісні , то подія наступить, якщо наступить одна з трьох несумісних подій , або :

=()()().

Подія наступить, якщо відбудеться одна з двох несумісних подій або .

Аналогічно, подія наступить, якщо відбудеться одна з двох несумісних подій або.

Отже, = ()(); = ()()

і за теоремою додавання ймовірностей сумісних подій (формула (1)) маємо

,

()=()+() ()= ().

Таким чином,

+ = .

Для трьох сумісних подій формула (14) має вигляд

. (15)

^ 2.5.3. Формула повної ймовірності.

Нехай - несумісні події, які утворюють повну групу (так звані гіпотези), причому відомі їх ймовірності . Деяка подія може наступити разом з однією , причому відомі умовні ймовірності .

Ймовірність появи події , яка може відбутися разом з однією з гіпотез , дорівнює сумі добутків ймовірностей гіпотез на відповідні умовні ймовірності події

. (16)

Це так звана формула повної ймовірності.

Дійсно, подія наступає разом з однією з подій , тобто

.

За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо

,

а використовуючи теорему множення ймовірностей залежних подій , отримаємо формулу (16).

^ 2.5.4. Формули Байєса.

Ймовірності відомі до проведення досліду (так звані апріорні ймовірності). Як зміняться ймовірності гіпотез після проведення досліду? Тобто як обчислити ймовірності гіпотез

? Відповідь на це питання дає теорема гіпотез:

Ймовірності гіпотез після проведення досліду, тобто коли відбулася подія , обчислюються за формулою

= (17)

Це формули Байєса.

Дійсно, за теоремою множення ймовірностей залежних подій маємо

.

Звідки отримаємо формули (17). Ймовірності називаються апостеріорними, тобто такими, що змінилися після проведення досліду.

Приклад 5. Два стрільці стріляють по мішені незалежно один від одного по одному разу. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця ; для другого - . В мішені виявлено одне влучення. Знайти ймовірність того, що влучив перший стрілець.

Розв’язання. Подія : в мішені виявлено одне влучення. Розглянемо такі гіпотези:

: обидва не влучили; : обидва влучили; - перший влучив, другий не влучив; - другий влучив, перший не влучив.

Обчислимо ймовірності цих гіпотез: =. =.

Контроль: +++=0,08+0,48+0,12+0,32=1.

Оскільки умовні ймовірності =0, =0, =1, =1, то за формулою повної ймовірності (16) ==0,44.

Отже, шукана ймовірність .








Похожие:

Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconВступ до теорії ймовірностей. Основні поняття
Стохастичним називається експеримент, результат якого не можна передбачити наперед
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconМетодичні вказівки та учбові завдання до курсу "Теорія ймовірностей" для курсантів Військового інституту
Теорії ймовірностей “ таким як “Випадкові події”, “ Випадкові величини”, “ Граничні теореми”. В посібнику розглядаєтся теоретичні...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconПоложення теорії ймовірностей та математичної статистики Основні поняття та визначення: поняття стохастичної с-ми експерименту, ймовірності, випадкової величини ймовірнісний розподіл
Як правило досліджувана с-ма містить ряд елементів, що мають певну невизначеність. Такі системи називаються стохастичними, оскільки...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconАксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей
Нехай  – простір елементарних подій. Припустимо, що в  виділена система  підмножин, яка є -алгеброю. Це означає, що
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconОсновні теореми теорії ймовірностей
Ми в подальшому викладі будемо користуватися поняттями, що базуються на класичному означенні ймовірності. Розглянемо, як обчислити...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconВступ
Розділ основні положення теорії діагностики фінансового стану
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття icon11 Основні поняття теорії ігор
Потім головна увага знову була звернута до економічних проблем. Нині сфера застосування теорії ігор значно розширилась. Так, у соціальних...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconОсновні теорії походження держави. Особливості виникнення держав у різних народів світу Основні теорії походження держави
Патріархальна теорія (Аристотель, Р. Філмер, Н. К. Михайловський, М. Н. Покровський). Відповідно до цієї теорії держава походить...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconОснови метрології лекція Основні поняття теорії випадкових похибок
Випадкову похибку розглядають як випадкову подію. Під подією в теорії ймовірності розуміється всякий факт, який у результаті випробувань...
Вступ до теорії ймовірностей. Основні поняття iconЗаконність та правопорядок Вступ
Для того, щоб визначити основні поняття по даній темі, необхідно перш за все визначити об’єкт та мету мого дослідження, сформулювати...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы