Класичне означення ймовірності Частота випадкової події icon

Класичне означення ймовірності Частота випадкової події



НазваниеКласичне означення ймовірності Частота випадкової події
Дата конвертации22.01.2013
Размер75.53 Kb.
ТипДокументы


Класичне означення ймовірності


Частота випадкової події. Нехай   простір елементарних подій. Розглянемо деякий стохастичний експеримент і подію А, яка спостерігається в цьому експерименті. Повторимо експеримент n раз. Позначимо через Kn(А) - число експериментів, в яких відбулася подія А . Частотою подій А називається відношення

.

Частота може бути обчислена лише після того, як проведена серія експериментів, і, взагалі кажучи, частота змінюється, при переході від однієї до інщої серії з n експериментів, або з зміною n. Але, як показує досвід, при достатньо великих n для більшості таких серій експериментів частота зберігає майже постійну величину, причому великі відхилення спостерігаються тим рідше, чим більше n.

Якщо при великих n частота події ^ А мало відрізняється від деякого фіксованого значення р, то говорять, що подія А стохастично стійка, а число р є ймовірностю події А. Тобто, ймовірність події А є число близьке до частоти появи події А в довгій серії тотожніх експериментів.

^ Ймовірності в дискретних просторах елементарних подій. Простір елементарних подій називається дискретним, якщо множина  скінченна або зліченна.

Нехай простір  ={ ω1, ω2 , … , ωn, …}елементарних подій дискретний. Припустимо, що кожній елементарній події ωк можна поставити у відповідність невід’ємне число рк (ймовірність ω к ), причому . Якщо Авипадкова подія ( А   ), то , де р(А)  називається ймовірністю події А.


Мають місце властивості:

  1. P(A)≥0,

  2. P (АВ)=P(A)+ P(B), якщо А та В несумісні.

  3. Р( )=1.

Приклад 1 . Нехай підкидають симетричний шестиграний кубик. Тоді в якості  природньо розглянути множину  =1,2,3,4,5,6. Якщо кубик симетричний, то кожна елементарна подія і=і є рівноможливою, тому припишемо їй ймовірність 1/6. Тим самим буде побудована ймовірнісна модель експерименту, який полягає в підкиданні шестигранного симетричного грального кубика. Якщо Авипадкова подія, яка полягає в тому, що число очок, яке з’явиться, кратне 3, тобто А={3,6}, то Р(А) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Приклад 2. Нехай симетричну монету підкидають до того часу, поки вперше не з’явиться герб. Тоді  ={W1,W2 , … , Wn , … W}, де Wn = Р … РГ означає, що герб вперше з’явиться при n-тому підкиданні монети, а
W  елементарна подія, яка означає що герб ніколи не з’явиться. Припишемо ^ Wn ймовірність ½n , а W  ймовірність 0. Тоді . Таким чином, побудована ймовірнісна модель експерименту, який полягає в підкиданні монети до першої появи герба. Підрахуємо тепер ймовірність події А , яка полягає в тому, що буде проведено не більше трьох підкидань монети (А={Г, РГ, РРГ}). Маємо .


^ Класична схема. Нехай простір  складається з n елементарних рівноможливих подій, тобто для довільного  . До складу А входить m з цих подій. В цьому випадку ймовірність події А визначається формулою .

Це так зване класичне означення ймовірності.

При розрахунках ймовірностей в класичній схемі мають справу з елементами комбінаторики.

Основний принцип комбінаторики (правило множення).

Нехай треба послідовно виконати к дій. Якщо першу дію можна виконати n1  способами, після чого другу  n2  способами, потім третю 
n3  способами і т.д. до к-ї дії, яку можна виконати
nк  способами, то всі к-дій можуть бути виконані

n1 n2 n3 … nк

способами.

Комбінації (сполуки) з n елементів по к. Нехай є множина А, що містить n елементів. Тоді число підмножин множини А, що містить к елементів, дорівнює

.

Комбінаціями з n елементів {а1, а2,…, аk} по к називають к-елементні підмножини множини А ={а1, а2,…, ап}.

Упорядковані множини. Множина з n елементів називається впорядкованою, якщо кожному елементу цієї множини поставлене у відповідність певне число (номер елементу) від 1 до n так, що різним елементам відповідають різні числа. Упорядковані множини вважаються різними, якщо вони відрізняються або своїми елементами, або їх порядком.

Перестановки даної множини. Різні впорядковані множини, які відрізняються порядком елементів (тобто можуть бути утворені з тієї ж самої множини), називаються перестановками цієї множини. Число перестановок множини з n елементів дорівнює Рn=n!

Розміщення з n по к. Упорядковані к-елементні підмножини множини, що містять n елементів, називаються розміщеннями з n по к. Число розміщень з
n по к дорівнює


.

Задача 1. Товариство з n чоловік сідає за круглий стіл. Знайти ймовірність того, що певні дві особи займуть місця поряд? Відповідь.р=.

Задача 2 . З послідовності чисел 1,2,…., n відмічено число k . Знайти ймовірність того, що серед двох чисел вибраних навмання з цієї послідовності, одне буде меньше k, а друге більше k.

Задача 3 .Замок містить на загальній осі 4 диски, кожний з яких розділений на 5 секторів, які відмічені певними літерами. Замок відкривається тільки в тому випадку, коли літери утворюють певну комбінацію. Яка ймовірність відкрити замок, якщо установити довільну комбінацію літер? Відповідь р=.

Задача 4. Підкидають 4 гральних кубика. Знайти ймовірність того, що на всіх кубиках випаде одинакове число очок. Відповідь р=.

Задача 5. Кожна з букв А, У, К, С, З записані на одній із 5-ти карток. Картки розкладаються в довільному порядку. Знайти ймовірність того, що при цьому утворюється слово КАЗУС .Відповідь р=1/120.

Задача 6. Набираючи номер телефону, абонент забув останні три цифри і, пам’ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрані потрібні цифри. Відповідь р=1/720.

Задача 7. У ліфті 7 пасажирів; ліфт зупиняється на 10-ти поверхах. Яка ймовірність того, що жодного разу два пасажири не вийдуть на одному поверсі? Відповідь.р= .

Задача 8. Обчислити ймовірності того, що дні народження 12 осіб припадатемуть на різні місяці року. Відповідь р=0,0005.


Задача 9. В групі r студентів. Яка ймовірність того, що принаймі у двох із них збігаються дні народження? Відповідь. 1- .

Задача 10.В урні а білих та в чорних куль. З урни виймаються дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими

Розв’язання . Позначимо через А подію, яка полягає в появі двох білих куль. Число елементів  -простору елементарних подій дорівнює . Число елементів  , які сприяють появі події А дорівнює . Таким чином, згідно класичній схемі .

Задача 11. Із колоди в 32 карти навмання вибирається 4. Знайти ймовірність того, що серед них буде хоча б один туз.

Розв’язування.



Задача 12. Із урни, яка містить кулі з номерами 1, 2, …, N, k раз виймається куля і кожен раз повертається назад. Знайти ймовірність того, що номери витягнутих куль утворюють зростаючу послідовність.

Задача 13. Розв’язати попередню задачу при умові, що витягнуті кулі до урни не повертаються. Відповідь р=.

Задача 14. Товариство складається з 5 чоловіків та 10 жінок. Знайти ймовірність того, що при випадковому групуванні їх на 5 груп по 3 особи в кожній групі серед трьох осіб буде 1 чоловік. Відповідь р==.

Задача 15.Повна колода карт (52 карти) ділиться пополам. Знайти ймовірність того, що число чорних карт в обох пачках буде однаковим (13). Відповідь р  0,22.


Задача 16. Літак –бомбардирувальник для виконання бойового завдання повинен пройти через зону зенітної оборони противника, в якій по ньому, незалежно один від одного, ведуть вогонь чотири зенітні гармати. Кожна гармата проводить 10 пострілів, ймовірність попадання в літак при кожному із яких дорівнює 0,02. Для того щоб збити літак достатньо одного попадання. В випадку якщо літак не буде збитий вогнем зенітної артилерії, він виходить на ціль і скидає бомби. Ймовірність виконання бойового завдання прои цьому дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що бомбардирувальник виконає завдання , незважаючи на протидію зенітної артилерії. ( Вказівка. Розглянути випадкову подію А={непопадання при всіх 40 пострілах}.Відповідь р=0, 268.

Задача 17. Проводиться стрільба по деякій цілі, ймовірність попадання в яку при одному пострілі дорівнює 0,2. Стрільба припиняється при першому попаданні. Знайти ймовірністьтого, що буде проведено рівно 6 пострілів Відповідь р=0,066.

Задача 18. Послідовність чисел 1,2,…,N розбивається навмання на дві рівні групи. Знайти ймовірність того, що а) в кожній групі буде порівно парних та непарних чисел; б) всі числа , кратні N, виявляться в першій групі; в) числа кратні N, поділяться порівну між групами.Відповідь до пункту в), р= .

Задача 19. З урни, яка містить n білих та m чорних куль, взяли навмання к куль. Яка ймовірність ймовірність того, що серед винятих куль буде r білих куль(r ≤ n ) ?

Задача 20. Вкладники банку за сумами вкладів та віком мають такий процентний розподіл:


Сума вкладу

Вік $1000 $1000-5000 $ 5000


30 років

5%

15%

8%

30-50 років

8%

25%

20%

50 років

7%

10%

2%


Нехай А та В – такі події:

А={ у навмання вибраного клієнта вклад більший $ 5000}.

B={ вік навмання вибраного клієнта більший 30 років}.

Визначити: Р(А), Р (В), Р(АВ).

Добавить документ в свой блог или на сайт



Похожие:

Класичне означення ймовірності Частота випадкової події iconВипадкової події та ймовірності випадкової події
Стохастичний експеримент. Простір елементарних подій. Випадкові події та операції над ними

Класичне означення ймовірності Частота випадкової події iconВипадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні І неперевні випадкові величини
В теорії ймовірностей поряд з поняттям випадкової події І ймовірності одним з основних є поняття випадкової величини. Наприклад,...

Класичне означення ймовірності Частота випадкової події iconУмовні ймовірності, незалежні випадкові події. Умовна ймовірність
В  . Умовною ймовірністю події а (А  ) при умові, що відбулася подія В, називається величина

Класичне означення ймовірності Частота випадкової події iconПоложення теорії ймовірностей та математичної статистики Основні поняття та визначення: поняття стохастичної с-ми експерименту, ймовірності, випадкової величини ймовірнісний розподіл
Як правило досліджувана с-ма містить ряд елементів, що мають певну невизначеність. Такі системи називаються стохастичними, оскільки...

Класичне означення ймовірності Частота випадкової події icon33 9 формула повної ймовірності. Формула байєса повна група подій
Повна група подій. Випадкові події Н1, Н2, …, Нn (Нi  , i = 1, 2, …, n) утворюють повну групу подій, якщо

Класичне означення ймовірності Частота випадкової події iconФормула повної ймовірності. Формула Байєса Повна група подій
Повна група подій. Випадкові події Н1, Н2, …, Нn (Нi  , I = 1, 2, …, n) утворюють повну групу подій, якщо

Класичне означення ймовірності Частота випадкової події iconРеферат на тему: Рекурсивні означення та підпрограми Рекурсивні означення Був собі білий бичок. І пішов він у ліс… з усної народної творчості
Часто кажуть, що рекурсивне означення – це коли щось означається з його ж допомогою. Фраза ця не зовсім точна, а вірніше, зовсім...

Класичне означення ймовірності Частота випадкової події icon§ Числові характеристики системи випадкових величин
Початковим моментом порядку системи називається математичне сподівання добутку –го степеня випадкової величини І –го степеня випадкової...

Класичне означення ймовірності Частота випадкової події iconЗакон великих чисел
Наприклад, частота події при великій кількості спроб стає стійкою, те ж саме стосується І середнього значення випадкових величин....

Класичне означення ймовірності Частота випадкової події iconЛінійна алгебра. Визначники
Легко перевірити, що означення визначника другого та третього порядку задовольняє загальне означення

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы