Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей icon

Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей



НазваниеАксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей
Дата конвертации22.01.2013
Размер56.47 Kb.
ТипДокументы



Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей

Нехай  – простір елементарних подій. Припустимо, що в  виділена система  підмножин, яка є -алгеброю. Це означає, що

A1)   

A2) якщо A  , то Ā =  \ A  

A3) якщо Aі  , ( і=1, 2, …), то .

Множини з  називають випадковими подіями. Припустимо, що кожній випадковій події А (множині з ) поставлено у відповідність число Р(А) (назвемо його ймовірністю випадкової події А)таке,що виконані умови:

P1) Р(А)  0 для кожної А   ;

P2) =1;

P3) якщо {Ai}  послідовність випадкових подій така, що Ai Aj = , то .

Твердження А1, А2, А3, Р1, Р2, Р3 становлять систему аксіом теорії ймовірностей. У такому вигляді аксіоматика теорії ймовірностей була зформульована А.М. Колмогоровим та виявилася надзвичайно плідною для розвитку теорії ймовірностей та цілої низки її нових розділів, насамперед теорії випадкових процесів.

Зазначимо, що аксіоми Р1 та Р3 вказують на те, що функція множини Р(А), визначена на  , є мірою, що задовольняє додаткову умову Р() = 1. Така міра називається ймовірнісною мірою. Трійка    , Р , де   є -алгебра підмножин із , а Р()  ймовірнісна міра на , називається ймовірнісним простором. Кажуть, що побудована ймовірнісна модель експерименту, якщо побудовано ймовірнісний простір    , Р , т.б. вказано простір


елементарних подій , -алгебра  випадкових подій та визначена ймовірнісна міра Р() на .

Приклад.[1].Розглянемо стохастичний експеримент з cкінечним числом однаково можливих елементарних подій  = 1, 2, …, n. В якості  візьмемо -алгебру всіх підмножин із . Нехай Р(А) = mn , де m  число елементарних подій, що входять до А. Тоді всі твердження А1, А2, А3, Р1, Р2, Р3 виконані. Таким чином    , Р   ймовірнісна модель даного експерименту.

Побудова ймовірнісного простору    , Р  є основним етапом в створенні математичної моделі (формалізації) того чи іншого експеримента.

Задача.За допомогою аксіом теорії ймовірностей довести, що а) Р() = 0;
б) Р(Ā) = 1 - Р(А); в) якщо АВ, то Р(А)  Р(В); г) Р(А)  1 для кожної випадкової події. Розв’язування.

а) Р() = 0. Це випливає із рівності      властивостей ймовірності Р 2 та Р3.

б) Р(Ā) = 1 - Р(А). Так як   Ā   та   Ā  , то згідно аксіомі Р3 маємо, що Р(А) + Р(Ā) = Р(). Тому Р(Ā) = 1 - Р(А).

в) якщо АВ, то Р(А)  Р(В). Дійсно, так як
В =   ĀВ й   Ā В = , то за аксіомою Р3 Р(В) = =Р() + Р(ĀВ). Звідки Р(В)  Р(А), так як Р(Ā В)  0.

г) Р(А)  1. Для цього досить скористатися розв’язком попередньої задачі (А  ) та аксіомою Р2 ( =1 ).

Теорема додавання ймовірностей

Теорема 1. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Р( А  В ) = Р ( А ) + Р ( В ).


Наслідок. Ймовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р( А1  А2  … Аn ) = P(A1 + A2+…+ An ).

Задача1.Виконується бомбометання по трьох складах боєприпасів, причому скидається одна бомба. Ймовірність влучити в перший склад 0,01; в другий  0,008; в третій  0,025. При влучанні в один із складів вибухнуть всі три. Знайти ймовірність того, що склади будуть зірвані.
Розв’язування. Розглянемо події : А =зрив складів, А1 =влучання в перший склад, А2 =влучання в другий склад, А3 =влучання в третій склад. Очевидно А= А1 А2 А3. . Так як при скиданні однієї бомби події А1 , А2 , А3 несумісні, то Р(А) = Р(А1) + Р( А2) + Р( А3) = 0,01 + 0,008 + 0,025 = 0,043.

Задача 2. На стелажі бібліотеки в випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому 5 із них в перепльоті. Бібліотекар бере навмання три підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б один з взятих підручників буде в перепльоті. ( р=67/91).

Задача 3. Кругова мішень складається з трьох зон: І, ІІ, ІІІ. Ймовірність влучання в першу зону при одному пострілі 0,15, в другу 0,23, в третю - 0,17. Знайти ймовірність промаху.

Розв’язування. Позначемо через А- промах,-попадання. Тоді

=, де 1 , 2, 3- попадання відповідно в першу, другу та третю зони

Р()=Р(1) + Р(2 )+ Р(3) = 0,15+0,23+0,17=0,55,

Звідки Р(А)=1-Р()=0,45.


Задача 4. На екзамені може бути запропоновано N питань. Студент знає відповіді на n питань. Екзаменатор задає студентові k питань, а для того, щоб скласти екзамен, треба відповісти не менше, як на r питань (r). Яка ймовірність того, що студент складе екзамен? ( Відповідь. р=).


Задача 5. У лотарєї є n білетів, серед яких є m виграшних. Обчислити ймовірність виграшу для того хто має r білетів. Відповідь. р=.

Задача 6. Учасник лотереї “Спортлото” з 49 назв видів спорту (позначених числами від 1 до 49) повинен назвати 6. Повний виграш одержує той, хто правильно вкаже всі шість назв. Виграші одержують і ті, хто вгадає не менше трьох назв. Обчислити ймовірність повного виграшу в спортлото. Обчислити ймовірність того, що учасник спортлото відгадає 5, 4 і 3 назви. Яка ймовірність одержати виграш у “Спортлото”?

Теорема 2. Нехай А та В - випадкові події. Тоді ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих двох подій без ймовірності їх сумісної появи:

      

Теорема може бути узагальнена на довільне число сумісних подій.

Теорема 3. Нехай А1, А2, …,Аn  випадкові події. Тоді

^ Приклад (задача про співпадання).

На окремих картках написані числа 1, 2, …., n. Картки розташовані в “абсолютно випадковому” порядку. Яка ймовірність того,що хоча б одне з чисел буде на місці з таким же номером?

Під “абсолютно випадковим” розташуванням карточок ми розуміємо наступне: всі n! можливих перестановок карточок рівноможливі. Нехай Ai  подія, що полягає в тому, що картка з номером i опиниться на місці з номером і. Треба обрахувати . Маємо :




,

…………………………

.

Використовуючи теорему2, маємо:



Зазначимо, що шукана ймовірність є частковою сумою ряду Тейлора функції 1-ех при х = -1. Тому для великих n маємо  1-е-1
0,63.

В частинному випадку, коли n=3, тобто для трьох сумісних подій маємо :

    С     +С    С  ВС +
+ С.

Задача . По залізничному мосту, незалежно один від одного, проводять серійне бомбометання три літаки. Кожний з літаків скидає одну серію бомб. Ймовірність влучання хоча б однієї бомби з серії першого літака дорівнює 0,2, для другого  0,3, для третього  0,4. Знайти ймовірність того, що міст буде зруйновано. Відповідь р = 0,664




Похожие:

Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей iconВступ до теорії ймовірностей. Основні поняття
В наш час методи теорії ймовірностей широко застосовуються в теорії надійності, теорії масового обслуговування, теорії інформації,...
Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей iconМетодичні вказівки та учбові завдання до курсу "Теорія ймовірностей" для курсантів Військового інституту
Теорії ймовірностей “ таким як “Випадкові події”, “ Випадкові величини”, “ Граничні теореми”. В посібнику розглядаєтся теоретичні...
Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей iconВступ до теорії ймовірностей. Основні поняття
Стохастичним називається експеримент, результат якого не можна передбачити наперед
Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей iconЕлементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2x2 матриць
Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей...
Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей iconДоведення теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку
Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей...
Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей iconОсновні теореми теорії ймовірностей
Ми в подальшому викладі будемо користуватися поняттями, що базуються на класичному означенні ймовірності. Розглянемо, як обчислити...
Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей iconПриклад: Додавати матриці однакових розмірів: Приклад
Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей...
Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей iconПоложення теорії ймовірностей та математичної статистики Основні поняття та визначення: поняття стохастичної с-ми експерименту, ймовірності, випадкової величини ймовірнісний розподіл
Як правило досліджувана с-ма містить ряд елементів, що мають певну невизначеність. Такі системи називаються стохастичними, оскільки...
Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей iconСхема незалежних спроб. Формула Бернуллі. Граничні теореми
В численних застосуваннях теорії ймовірностей часто зустрічається схема незалежних спроб (або схема Бернуллі)
Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей iconВипадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні І неперевні випадкові величини
В теорії ймовірностей поряд з поняттям випадкової події І ймовірності одним з основних є поняття випадкової величини. Наприклад,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы