Знаходження оберненої матриці методом Гауса icon

Знаходження оберненої матриці методом Гауса



НазваниеЗнаходження оберненої матриці методом Гауса
Дата конвертации18.01.2013
Размер36.13 Kb.
ТипДокументы

Знаходження оберненої матриці методом Гауса


Нехай дано матрицю




а11 а12 . . . а1n

а21 а22 . . . а2n

A= . . . . . . . . . .

an1 аn2 . . . аnn


Для знаходження її оберненої матриці




x11 x12 . . . x1n

x21 x22 . . . x2n

A-1 = . . . . . . . . . .

xn1 xn2 . . . xnn


Використаємо основні співвідношення




а11 а12 . . . а1n x11 x12 . . . x1n 1 0 . . . 0

а21 а22 . . . а2n x21 x22 . . . x2n 0 1 . . . 0

A= . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . = . . . . . .

an1 аn2 . . . аnn xn1 xn2 . . . xnn 0 0 . . . 1


Перемножуючи A та A-1 будемо мати n систем рівняння відносно n2 невідомих xij


a11x11 + a12x21 + . . . + a1nxn1 = 1

a21x11 + a22x21 + . . . + a2nxn1 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . .

an1x11 + an2x21 + . . . + annxn1 = 0

……………………………….

……………………………….


a11x12 + a12x22 + . . . + a1nxn2 = 0

a21x12 + a22x22 + . . . + a2nxn2 = 1

. . . . . . . . . . . . . . . . .

an1x12 + an2x22 + . . . + annxn2 = 0

……………………………….

……………………………….

a11x1n + a12x2n + . . . + a1nxnn = 0

a21x1n + a22x2n + . . . + a2nxnn = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . .

an1x1n + an2x2n + . . . + annxnn = 1

Отримані n системи лінійних рівнянь для j = 1,2,…,n , які мають одну і ту ж матрицю A і різні вільні члени. Метод Гауса для обернення матриці потребує n операцій ділення, 3n3-n2/2, операцій множення, 3n3-4n2+n/2 , операцій додавання, умовних арифметичних операцій.

Обчислювальна схема обернення матриці методом Гауса реалізується наступним чином:

а) будують прямокутну матрицю В розміром n*2n, в якій перший n стовпців представляють собою початкову матрицю, а останні n стовпців – одиничну матрицю:


а11 а12 . . . а1n 1 0 . . . 0

а21 а22 . . . а2n 0 1 . . . 0

В=[bij] = . . . . . . . . . . . . . . . . ; (56)

an1 аn2 . . . аnn 0 0 . . . 1


б) якщо в (56) b11 ≠ 0, то перший рядок матриці (56) ділять на b11, вираховують із другої, третьої і т.д. і, на кінець, n-го рядка отримано перший рядок, помножений на b21, b31, . . . , bnn, в результаті отримують матрицю, в якій перший стовпець складається з нулів за винятком першого елементу, який дорівнює 1, і т.д.




а12 . . . а1n а1,n+1 . . . b1,2n

а22 . . . а2n а2,n+1 . . . b2,2n

В(1) = . . . . . . . . . . . . . . ; (57)

an2 . . . аnn аn,n+1 . . . bn,2n


де bij = bij/b11, j > I;

bij = bij – bi1*b1j/b11, i = 2,3,..,n;


в) якщо в (56) b11 = 0, то шукають в першому стовпці елементи bi1 ≠ 0 (i = 2,3, …, n); потім переставляють перший рядок із рядком, я кому першим був знайдений елемент bi1 ≠ 0, таким чином отримують матрицю B = [bij], в якій елемент b11 ≠ 0 і через це цю матрицю можна обробляти так само, як це робилося в б);


г) Розглядають матрицю (57) і в ній елементи b22, якщо b22 ≠ 0, то ділять другий рядок одержаної матриці B(1) на b22, вираховують на всіх останніх рядках (крім другого) другий рядок, помножений на відповідний елемент другого стовпця. Отримають матрицю B(1) = [bij], у якого всі елементи першого і другого стовпця, крім діагональних, будуть дорівнювати 0. Діагональні елементи в першому і другому рядках будуть дорівнювати одиниці,


1 0 а13 . . . а1n а1,n+1 . . . b1,2n

0 1 а23 . . . а2n а2,n+1 . . . b2,2n

В(2) = . . . . . . . . . . . . . . . . . ; (58)

0 0 an3 . . . аnn аn,n+1 . . . bn,2n




д) якщо ж b22 = 0, то шукають рядок, в якому b12 ≠ 0 (i = 3,4, … , n), і переставляють місцями цей рядок з другим рядком матриці (57);


е) через n кроків отримують на місці перших n стовпців матриці B(n) одиничну матрицю. Останні n стовпців будуть оберненою матрицею

A(-1) = [bij] (j = n+1, n+2, … , 2n; i = 1,2, … , n).




Похожие:

Знаходження оберненої матриці методом Гауса iconМетод lu – розкладу (метод розкладу на трикутні матриці або метод lu – факторизації )
Алгоритми цього методу досить близькі до методу Гауса. Основна перевага методу lu – факторизації в порівнянні з методом Гауса є можливість...
Знаходження оберненої матриці методом Гауса iconОбчислення визначника методом Гауса (матриця 4х4) Текст програми на мові Turbo Pascal

Знаходження оберненої матриці методом Гауса iconОбчислення визначника методом Гауса (матриця 4х4) Текст програми на мові Turbo Pascal

Знаходження оберненої матриці методом Гауса iconОбчислення визначника методом Гауса
Визначники другого та третього порядків. Нехай є множина чотирьох чисел, розміщених у вигляді квадратної таблиці
Знаходження оберненої матриці методом Гауса iconЦі нерівності точні, оскільки перетворюються в рівність для матриці
Для доведення лівої частини нерівностей 1 – 3 використаємо очевидну нерівність: перша, друга та сферична норми матриці не менше максимального...
Знаходження оберненої матриці методом Гауса iconРеферат на тему: " Теорема Гауса"
Цілі: Засвоєння та закріплення загальних відомостей про статичні електричні поля. Навчити розв’язувати задачі за допомогою використання...
Знаходження оберненої матриці методом Гауса iconЕлементи лінійної алгебри матриці   Матриці, дії над ними
Матриці, дії над ними. Обернена матриця. Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь та її розв’язок
Знаходження оберненої матриці методом Гауса iconВласні числа та власні вектори матриці
Задача знаходження всіх власних векторів лінійного перетворення має важливе значення як для кінцево вимірних просторів, так і у випадку...
Знаходження оберненої матриці методом Гауса iconЗадание 1: подготовить исходный файл в формате
Задание 2: классифицировать исходные данные байесовским методом, методом 8, методом id3, методом 1R, методом svm
Знаходження оберненої матриці методом Гауса iconРанг матриці
Нехай задано матрицю Атхп = А. Виділимо в матриці а будь-які k рядків І стільки ж стовпців, де k — число, не більше чисел т І п,...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы