Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду icon

Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду



НазваниеОднокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду
Дата конвертации11.09.2012
Размер31.1 Kb.
ТипДокументы

Метод Ейлера


Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду

(1)

Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку. Точність його не велика.

- настільки мале, що значення

функції мало відрізняється від

лінійної функції

- тангенс кута нахилу дотичної в



x

h

Тобто крива заміняється дотичними. Рух відбувається не по інтегральній кривій, а по відрізках дотичної .

Метод Ейлера базується на розкладі функції в ряд Тейлора в околі точки



(2)

Якщо мале, то, члени розкладу, що містять в собі і т.д. є малими високих порядків і ними можна знехтувати.


Тоді (3)

Похідну знаходимо з рівняння (1), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні від початкової точки. Цей процес можна продовжувати, використовуючи співвідношення.

,

роблячи як завгодно багато кроків.

Похибка методу має порядок , оскільки відкинуті члени, що містять в другій і вище степенях.

Недолік методу Ейлера - нагромадження похибок, а також збільшення об’ємів обчислень при виборі малого кроку з метою забезпечення заданої точності.

В методі Ейлера на всьому інтервалі тангенс кута нахилу дотичної приймається незмінним і рівним . Очевидно, що це призводить до похибки, оскільки кути нахилу дотичної в точках та різні. Точність методу можна суттєво підвищити, якщо покращити апроксимацію похідної.

Це можна зробити, якщо, наприклад, використати середнє значення похідної на початку та в кінці інтервалу. В т.з. модифікованому методі Ейлера (метод Ейлера з перерахунком) спочатку обчислюється значення функції в наступній точці за звичайним методом Ейлера.

(4)

Воно використовується для обчислення наближеного значення похідної в кінці інтервалу .

Обчисливши середнє між цим значенням похідної та її значенням на початку інтервалу, знайдемо більш точне значення :


(5)


Цей прийом ілюструється на рисунку.















xn h/2 xn+1


Принцип модифікованого методу можна пояснити інакше. Якщо в розкладі в ряд Тейлора зберегти член з


(6)


Замість другої похідної можна використати наближення кінцевою різницею


(7)


. Підставивши (7) в (6) одержимо


(8)


Що співпадає по формі з (5). Відмінність між (8) та (5): в (5) точне значення похідної замінимо на . Похибка при такій заміні має порядок .

Відмітимо, що за підвищення точності доводиться платити додатковими затратами машинного часу.

В обчислювальній практиці використовується також метод Ейлера-Коші з ітераціями:

  1. знаходиться грубе початкове наближення (за звичайним методом Ейлера)





  1. будується ітераційний процес


(9)


Ітерації продовжують до тих пір, доки два послідовні наближення не співпадуть з заданою похибкою . Якщо після декількох ітерацій співпадання нема, то потрібно зменшити крок .





Тобто в модифікованому методі Ейлера, в методі Ейлера-Коші з ітераціями спочатку (на першому етапі) знаходиться наближення для , а потім воно вже коригується за формулами (5) або (9).

Добавить документ в свой блог или на сайт



Похожие:

Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду iconОднокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду
...

Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду icon1 Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість
Клас диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах, досить невеликий, тому мають велике значення наближені методи розв’язку...

Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду iconРозв’язування звичайних диференціальних рівнянь
ДР), що містить лише одну незалежну змінну І похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1). Др, що містить...

Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду iconПитання з курсу “Диференціальні рівняння” (спеціальність – прикладна математика)
Загальні визначення понять диференціальних рівнянь першого порядку. Поняття розв’язку, загального розв’язку, інтегралу диференціального...

Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду iconВизначення. Простір називається метричним, якщо для довільних двох точок
Клас диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах, досить невеликий, тому мають велике значення наближені методи розв’язку...

Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду icon12. 11. Лінійна однорідна система диференціальних рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами
Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві...

Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду iconЗадача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки. План: Задача Коші
Для диференціальних рівнянь вищих порядків, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими...

Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду iconДиференціальні рівняння першого порядку, диференціальні рівняння вищого порядку, лінійні диференціальні рівняння, системи диференціальних рівнянь
Наведемо декілька основних визначень теорії диференціальних рівнянь, що будуть використовуватися надалі

Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду icon4 Метод невизначених коефіцієнтів
Якщо система лінійних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами, а векторна функція спеціального виду, то частинний розв’язок...

Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду icon4. Системи диференціальних рівнянь Загальна теорія
Визначення. Розв’язком системи диференціальних рівнянь називається набір неперервно диференційованих функцій тотожно задовольняючих...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©rushkolnik.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы